Wahlteil

Berechnen des Umfangs des oberen Kranzes.

Die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Kreises lautet:

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}=2\cdot \mathrm{r}\cdot \mathrm{\pi }$

Einsetzen der bekannten Größe:

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{z}}=2\cdot \mathrm{1,20}\cdot \mathrm{\pi }$

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{z}}=\mathrm{7,54}\text{ m}$

Der Umfang des oberen Kranzes beträgt: $\mathrm{7,54}\text{ m}$.

Berechnen der Seillänge $\text{a}$ des oberen Kranzes.

Die Seillänge $\text{𝐚}$ bildet mit dem Radius ${\text{𝐫}}_{\text{𝐚}}$ und der Höhe $\mathrm{1,60}\text{ m}$ ein rechtwinkliges Dreieck, wobei die Seillänge $\text{𝐚}$ die Hypotenuse dieses Dreiecks ist.

Im rechtwinkligem Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.

Der Satz des Pythagoras lautet:

${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2$

Der Satz des Pythagoras angewandt auf unser Dreieck:

${\mathrm{a}}^2=({\mathrm{r}}_{\mathrm{a}}{)}^2+{\mathrm{1,60}}^2$

$\mathrm{a}=\sqrt{{\mathrm{1,20}}^2+{\mathrm{1,60}}^2}\Rightarrow \mathrm{a}=\sqrt{\mathrm{1,44}+\mathrm{2,56}}$

$\text{a}=2\text{ m}$

Die Seillänge $\text{𝐚}$ des oberen Kranzes beträgt: $2\text{ m}$.

Berechnen der Größe des Winkels $\text{α}$.

Die Definition des Tangens im rechtwinkligem Dreieck lautet:

$\tan (\mathrm{\alpha })={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}}$

Angewandt auf unser Dreieck:

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\mathrm{1,6}}{\mathrm{1,2}}}$

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{4}{3}}\Rightarrow \alpha ={\mathrm{53,13}}^{\circ }$

Der Winkel $\alpha$ beträgt: ${\mathrm{53,13}}^{\circ }$.

Berechnen der Größe des Winkels $\delta$.

Die Definition des Tangens im rechtwinkligem Dreieck lautet:

$\tan (\mathrm{\alpha })={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}}$

Angewandt auf unser Dreieck:

$\tan (\delta )={\displaystyle \frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{1,6}}}$

$\tan (\delta )={\displaystyle \frac{3}{4}}\Rightarrow \alpha ={\mathrm{36,87}}^{\circ }$

Der Winkel $\delta$ beträgt: ${\mathrm{36,87}}^{\circ }$.

Berechnen des Radius ${\text{𝐫}}_{\text{𝐛}}$ des unteren Kranzes.

Der Radius ${\text{𝐫}}_{\text{𝐛}}$ und die Höhe ${\text{𝐡}}_{\text{𝐛}}$ bilden mit der Seillänge $\text{𝐛}$ ein rechtwinkliges Dreieck, wobei der Radius ${\text{𝐫}}_{\text{𝐛}}$ die Ankathete des Winkels ${16}^{\circ }$ ist.

Die Definition des Kosinus im rechtwinkligem Dreieck lautet:

$\cos (\mathrm{\alpha })={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}}$

Angewandt auf unser Dreieck:

$\cos ({16}^{\circ })={\displaystyle \frac{{\mathrm{r}}_{\mathrm{b}}}{\mathrm{b}}}\Rightarrow {\mathrm{r}}_{\mathrm{b}}=\mathrm{b}\cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({16}^{\circ })$

${\mathrm{r}}_{\mathrm{b}}=\mathrm{2,50}\cdot \mathrm{0,9613}$

${\mathrm{r}}_{\mathrm{b}}=\mathrm{2,40}\text{ m}$

Der Radius ${\text{𝐫}}_{\text{𝐛}}$ des unteren Kranzes beträgt: $\mathrm{2,40}\text{ m}$.

Die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Kreise lautet:

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}=\mathrm{d}\cdot \mathrm{\pi }$

Verdoppeln des Durchmessers:

$\mathrm{n}\cdot {\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}=2\cdot \mathrm{d}\cdot \mathrm{\pi }$

Ersetzen von ${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}$ durch ($\mathrm{d}\cdot \mathrm{\pi }$)

$\mathrm{n}\cdot \mathrm{d}\cdot \mathrm{\pi }=2\cdot \mathrm{d}\cdot \mathrm{\pi }$

$\mathrm{n}={\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{d}\cdot \mathrm{\pi }}{\mathrm{d}\cdot \mathrm{\pi }}}\Rightarrow \mathrm{n}=2$

Dann ist:

$2\cdot {\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}=2\cdot \mathrm{d}\cdot \mathrm{\pi }$

Wenn der Durchmesser eines Kreises verdoppelt wird, dann wird sein Umfang doppelt so groß.

Kreuze entsprechend an.