Aufgaben zur Kettenregel

Hier kannst du die Anwendung der Kettenregel üben. In diesen Aufgaben lernst du, wie du verkettete Funktionen ableiten kannst.

1
Bestimme die Ableitung. Benutze dafür die Kettenregel.
$f (x) = \sqrt{x^{3}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
$f (x) = \sqrt{x^{3}}$
Finde die einzelnen Funktionen.
$g (x) = \sqrt{x}$
$\begin{array}{l} h (x) = x^{3} \end{array}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x) = g (h (x)) \end{array}$
Finde die einzelnen Ableitungen.
$g^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$
$h^{'} (x) = 3 x^{2}$
Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.
$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x) \\ = & \frac{1}{2 \sqrt{h (x)}} \cdot 3 x^{2} \\ = & \frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3}}} \end{array}$
Am Ende könntest du noch vereinfachen.
$f^{'} (x) = \frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3}}} = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{x^{4}}{x^{3}}} = \frac{3}{2} \sqrt{x}$

$f (x) = \sqrt{2 x^{- 3}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
$f (x) = \sqrt{2 x^{- 3}}$
Finde die einzelnen Funktionen.
$\begin{array}{l} g (x) = \sqrt{x} \end{array}$
$\begin{array}{l} h (x) = \frac{2}{x^{3}} \end{array}$
$\Rightarrow f (x) = g (h (x))$
Finde die einzelnen Ableitungen.
$\begin{array}{l} g^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \end{array}$
$h^{'} (x) = - \frac{6}{x^{4}}$
Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.
$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x) \\ = & \frac{1}{2 \sqrt{h (x)}} \cdot \frac{- 6}{x^{4}} \\ = & \frac{- 3}{x^{4} \sqrt{2 x^{- 3}}} \\ = & \frac{- 3}{\sqrt{2 x^{5}}} \end{array}$
Hinweis: du kannst diese Aufgabe auch über die Ableitung von Potenzfunktionen lösen:
$f (x) = \sqrt{2 x^{- 3}} = \sqrt{2} \cdot x^{- 3 / 2}$
Also ist
$f^{'} (x)$ $=$ $\sqrt{2} \cdot \frac{- 3}{2} x^{- 5 / 2}$
$=$ $- \frac{3}{\sqrt{2}} x^{- 5 / 2}$
Das ist dasselbe Ergebnis wie oben nur etwas anders geschrieben.

$f (x) = e^{x^{3}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
$f (x) = e^{x^{3}}$
Finde die einzelnen Funktionen.
$\begin{array}{l} g (x) = e^{x} \end{array}$ $\begin{array}{l} h (x) = x^{3} \end{array}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow f (x) = g (h (x)) \end{array}$
Bestimme die einzelnen Ableitungen.
$\begin{array}{l} g^{'} (x) = e^{x} \end{array}$ $\begin{array}{l} h^{'} (x) = 3 x^{2} \end{array}$
Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.
$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x) \\ = & e^{x^{3}} \cdot 3 x^{2} \end{array}$

$f (x) = \ln (x^{2} + 4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
$f (x) = l n (x^{2} + 4)$
Finde die einzelnen Funktionen.
$g (x) = l n (x)$
$h (x) = x^{2} + 4$
$\Rightarrow f (x) = g (h (x))$
Bilde die Ableitung zu den gefundenen Funktionen.
$\begin{array}{l} g^{'} (x) = \frac{1}{x} \end{array}$ $\begin{array}{l} h^{'} (x) = 2 x \end{array}$
Setze nun alles Benötigte in die Formel ein.
$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x) \\ = & \frac{1}{h (x)} \cdot 2 x \\ = & \frac{2 x}{x^{2} + 4} \end{array}$
2
Sei $f (x)$ eine differenzierbare Funktion, sodass $f (x) > 0$ für alle $x \in ℝ$ gilt.
Berechne die Ableitung von $\ln (f (x))$ mit der Kettenregel.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Zuerst bestimmen wir die Funktionen $v (x)$ und $u (x)$ . Hier ist $v (x) = f (x)$ und $u (x) = \ln (x)$ . Wir wissen, dass $v^{'} (x) = f^{'} (x)$ und $u^{'} (x) = 1 / x$ . Einsetzen ergibt
$(\ln (f (x)))^{'} = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x) = \frac{1}{v (x)} \cdot f^{'} (x) = \frac{f^{'} (x)}{f (x)} .$

Sei $a$ eine positive relle Zahl. Benutze die Formel aus Teilaufgabe a), um die Ableitung von $f (x) = a^{x}$ zu berechnen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus-Regeln
Wir verwenden die Formel aus a)
$(\ln (f (x)))^{'} = \frac{f^{'} (x)}{f (x)}$
und formen nach $f^{'} (x)$ um. Dafür multiplizieren wir auf beiden Seiten der Formel mit $f (x)$ und erhalten
$f^{'} (x) = (\ln (f (x)))^{'} \cdot f (x) .$
Nun setzen wir $f (x) = a^{x}$ ein. Jetzt erkennen wir, dass wir mit den Logarithmus-Regeln $\ln (a^{x}) = x \cdot \ln (a)$ schreiben können. Damit folgt $(\ln (a^{x}))^{'} = \ln (a)$ . Das ergibt
$f^{'} (x) = \ln (a) \cdot a^{x} .$

Wie kannst du den Lösungsweg aus b) verändern, wenn du die Ableitung von $x^{x}$ berechnen willst?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Wie in b) erhalten wir für eine beliebige Funktion $f (x)$ die Formel
$f^{'} (x) = (\ln (f (x)))^{'} \cdot f (x) .$
Jetzt setzen wir $f (x) = x^{x}$ ein. Mit den Logarithmusregeln folgt $\ln (f (x)) = x \cdot \ln (x)$ . Also ist
$(\ln (f (x)))^{'} = 1 \cdot \ln (x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln (x) + 1.$
Somit folgt
$f^{'} (x) = (\ln (f (x)))^{'} \cdot f (x) = (\ln (x) + 1) \cdot x^{x} .$
3
Bestimme die Ableitung der Funktion $f$ :
$f (x) = \cos (x^{2})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Ableitung mit der Kettenregel
$f (x) = \cos (x^{2})$
Zerlege $f$ , sodass die Kettenregel angewandt werden kann.
$\begin{array}{l} g (x) = \cos (x) \\ h (x) = x^{2} \end{array}$
$\Rightarrow f (x) = g (h (x))$
Berechne die einzelnen Ableitungen.
$\begin{array}{l} g^{'} (x) = - \sin (x) \\ h^{'} (x) = 2 x \end{array}$
Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein.
$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x) \\ = & - \sin (x^{2}) \cdot 2 x \\ = & - 2 x \sin (x^{2}) \end{array}$

$f (x) = {(\sin (x))}^{2^{}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Ableitung mit der Kettenregel
$f (x) = {(\sin (x))}^{2}$
Zerlege $f$ , sodass die Kettenregel angewandt werden kann.
$\begin{array}{l} g (x) = x^{2} \\ h (x) = \sin (x) \end{array}$
$\Rightarrow f (x) = g (h (x))$
Berechne die einzelnen Ableitungen.
$\begin{array}{l} g^{'} (x) = 2 \cdot x \\ h^{'} (x) = \cos (x) \end{array}$
Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein.
$f^{'} (x) = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)$
Setze zunächst $g^{'}$ und $h^{'}$ ein.
$= 2 \cdot (h (x)) \cdot \cos (x)$
Nun setze $h (x) = \sin (x)$ ein.
$= 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)$

$f (x) = \sin (\frac{1}{x})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Ableitung mit der Kettenregel
$f (x) = \sin (\frac{1}{x})$
Zerlege $f$ , sodass die Kettenregel angewandt werden kann
$\begin{array}{l} g (x) = \sin (x) \\ h (x) = \frac{1}{x} \\ \Rightarrow f (x) = g (h (x)) \end{array}$
Berechne die einzelnen Ableitungen
$\begin{array}{l} g^{'} (x) = \cos (x) \\ h^{'} (x) = - \frac{1}{x^{2}} \end{array}$
Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein
$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x) \\ = & \cos (\frac{1}{x}) \cdot (- \frac{1}{x^{2}}) \\ = & - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} \end{array}$

$f (x) = \sin (\cos (\sin (x)))^{}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Ableitung mit der Kettenregel
$f (x) = \sin (\cos (\sin (x)))$
Zerlege $f$ so, dass du die Kettenregel anwenden kannst.
Man sieht, dass die Verkettung (Kompositon) der Funktionen $g$ und $h$ mit
$\begin{array}{l} g (x) = \sin (x) \\ h (x) = \cos (\sin (x)) \end{array}$
gerade $f$ ergibt.
$\Rightarrow f (x) = (g \circ h) (x) = g (h (x))) = \sin (\cos (\sin (x)))$
Du siehst, dass $h$ wiederum als eine Verkettung von zwei Funktionen geschrieben werden kann. Das wird später verwendet, um die Ableitung $h^{'}$ zu bestimmen.
Nach der Kettenregel gilt dann
$f^{'} (x) = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)$ .
$g^{'} (h (x))$ kannst du direkt bestimmen:
Bestimme Ableitung von $g$ und setze $h$ ein.
$g^{'} (x) = \cos (x)$
$\Rightarrow g^{'} (h (x)) = \cos (\cos (\sin (x)))$
Um $h$ abzuleiten, benötigst du wieder die Kettenregel. Zerlege also $h$ entsprechend in $u$ und $v$ .
$\begin{array}{l} u (x) = \cos (x) \\ v (x) = \sin (x) \end{array}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow h (x) = u \circ v = u (v (x)) = \cos (\sin (x)) \end{array}$
Berechne die Ableitungen von $u$ und $v$ , um die Kettenregel
$h^{'} (x) = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)$
zu verwenden.
$\begin{array}{l} u^{'} (x) = - \sin (x) \\ v^{'} (x) = \cos (x) \end{array}$
Berechne $h^{'}$ .
$\begin{array}{rcl} h^{'} (x) & = & u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x) \\ = & - \sin (\sin (x)) \cdot \cos (x) \end{array}$
Jetzt benutze die Kettenregel, um die Ableitung von $f$ zu berechnen
$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x) \\ = & \cos (h (x)) \cdot h^{'} (x) \\ = & \cos (\cos (\sin (x))) \cdot (- \sin (\sin (x))) \cdot \cos (x) \\ = & - \cos (x) \cdot \sin (\sin (x)) \cdot \cos (\cos (\sin (x))) \end{array}$
4
Finde die zugehörige Funktion zu den gegeben Ableitungen (durch Hinsehen). Beim Ableiten wurde die Kettenregel verwendet!
$f^{'} (x) = \cos (x^{2} + 1) \cdot 2 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Formuliere zunächst die Kettenregel:
${(g (h (x)))}^{'} = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)$
Bei der Ableitung wurde die Kettenregel angewendet. Die gesuchte Funktion hat also die Form: $f (x) = g (h (x))$ .
Die Ableitung hat dann die Form $f^{'} (x) = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)$
Bestimme mit dieser Formel durch Hinsehen die Teilfunktionen $g^{'} (x)$ , $h (x)$ und $h^{'} (x)$
$\begin{array}{rcccc} f^{'} (x) & = & \cos (x^{2} + 1) & \cdot & 2 x \\ = & g^{'} (h (x)) & \cdot & h^{'} (x) \end{array}$
Stelle eine Vermutung auf, was die gesuchten Teile sind. Das musst du dann aber noch überprüfen!
Vermutung
Stelle zunächst eine Vermutung auf für $h^{'} (x) = \dots ?$ und $g^{'} (h (x)) = \dots ?$
$h ´ (x)$ $=$ $2 x$
$g ´ (h (x))$ $=$ $\cos (x^{2} + 1)$
↓
Bestimme $g^{'} (x)$ und $h (x)$
$g ´ (x)$ $=$ $\cos (x)$
$h (x)$ $=$ $x^{2} + 1$
Überprüfe nun, ob die Ableitung $h^{'}$ und Funktion $h$ überhaupt zusammenpassen. Leite dafür $h$ ab.
$h (x) = x^{2} + 1$
Bestimme die Ableitung
$h^{'} (x) = (x^{2} + 1)^{'} = 2 x$
Die Vermutung $h^{'} (x) = 2 x$ passt also zu $h (x) = x^{2} + 1$ .
Funktion f bestimmen
Gesucht: $f (x) = g (h (x))$
Bekannt: $\begin{matrix} h (x) & = & x^{2} + 1 \\ g^{'} (x) & = & \cos (x) \end{matrix}$
Die Teilfunktion $h (x)$ kennst du bereits, also musst du nur noch $g (x)$ bestimmen. Überlege dir, welche Funktion die Ableitung $g^{'} (x) = \cos (x)$ hat.
$\Rightarrow g (x) = \sin (x)$
Setze nun in die Formel ein
$f (x) = g (h (x)) = \sin (x^{2} + 1)$
Zur Probe kannst du nochmal die Ableitung zu deiner gefunden Funktion bestimmen.

$f^{'} (x) = e^{x^{4}} \cdot 4 x^{3}$

$f^{'} (x) = \frac{2}{2 x + 7}$

$f^{'} (x) = 2 s i n (x) \cdot c o s (x)$

Bestimme die Ableitung von $f$ :

$f (x) = \ln (\sqrt{x})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Finde die einzelnen Funktionen
$f (x) = \ln (\sqrt{x})$
Finde die einzelnen Ableitungen
$\begin{array}{l} g (x) = \ln (x) \\ h (x) = \sqrt{x} \\ \Rightarrow f (x) = g (h (x)) \end{array}$
$\begin{array}{l} g^{'} (x) = \frac{1}{x} \\ h^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \end{array}$
Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein
$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x) \\ = & \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ = & \frac{1}{2 x} \end{array}$

$f (x) = e^{x^{2} + 2 \sqrt{x}}$

$f (x) = e^{\sin (x^{2})}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Zerlege $f$ so, dass du die Kettenregel anwenden kannst.
$f (x) = e^{\sin (x^{2})}$
Um die Ableitung von $f$ anzugeben, muss man die Ableitungen von $g$ und $h$ bestimmen.
$g$ kann direkt abgeleitet werden, um $h$ abzuleiten, muss die Kettenregel erneut verwendet werden. Zerlege dazu $h$ .
$\begin{array}{l} g (x) = e^{x} \\ h (x) = \sin (x^{2}) \\ \Rightarrow f (x) = g (h (x)) \end{array}$
Leite $u$ und $v$ ab.
$g^{'} (x) = e^{x}$
$\begin{array}{l} u (x) = \sin (x) \\ v (x) = x^{2} \\ \Rightarrow h (x) = u (v (x)) \end{array}$
Nun kannst du mit der Kettenregel alle Ableitungen bestimmen.
$\begin{array}{l} u^{'} (x) = \cos (x) \\ v^{'} (x) = 2 x \end{array}$
$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x) \\ = & e^{h (x)} \cdot h^{'} (x) \\ = & e^{\sin (x^{2})} \cdot u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x) \\ = & e^{\sin (x^{2})} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x \end{array}$

$f (t) = e^{t^{3} + \sin (t)}$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$f (t)$	$=$	$e^{t^{3} + \sin (t)}$
	↓	Zerlege $f (t)$ , sodass die Kettenregel angewandt werden kann.
$g (t)$	$=$	$e^{t}$
$h (t)$	$=$	$t^{3} + \sin (t)$
	↓	Leite die einzelnen Funktionen ab.
$g ´ (t)$	$=$	$e^{t}$
$h ´ (t)$	$=$	$t^{3} + \sin (t)$
	↓	Kettenregel aufstellen
$f ´ (t)$	$=$	$g ´ (h (t)) \cdot h ´ (t)$
	↓	Setze alles in die Formel der Kettenregel ein.
$f ´ (t)$	$=$	$e^{t^{3} + \sin (t)} \cdot (3 t^{2} + \cos (t))$

$f^{'} (x)$	$=$	$\sqrt{2} \cdot \frac{- 3}{2} x^{- 5 / 2}$
	$=$	$- \frac{3}{\sqrt{2}} x^{- 5 / 2}$

$h ´ (x)$	$=$	$2 x$
$g ´ (h (x))$	$=$	$\cos (x^{2} + 1)$
	↓	Bestimme $g^{'} (x)$ und $h (x)$
$g ´ (x)$	$=$	$\cos (x)$
$h (x)$	$=$	$x^{2} + 1$

$f (x)$	$=$	$e^{x^{2} + 2 \sqrt{x}}$
	↓	Zerlege $f$ , sodass die Kettenregel angewandt werden kann
$g (x)$	$=$	$e^{x}$
	↓	Leite die einzelnen Funktionen ab
$h (x)$	$=$	$x^{2} + 2 \sqrt{x}$
$g ´ (x)$	$=$	$e^{x}$
$h ´ (x)$	$=$	$2 x + \frac{1}{\sqrt{x}}$
	↓	Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein
$f ´ (x)$	$=$	$g ´ (h (x)) \cdot h ´ (x)$
	$=$	$e^{x^{2} + 2 \sqrt{x}} \cdot (2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})$

Aufgaben zur Kettenregel

Ableitung mit der Kettenregel

Ableitung mit der Kettenregel

Ableitung mit der Kettenregel

Ableitung mit der Kettenregel

Vermutung

Funktion f bestimmen