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Aufgaben zur Kettenregel

Bestimme die Ableitung von $f$ :

$f (x) = \ln (\sqrt{x})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Finde die einzelnen Funktionen
$f (x) = \ln (\sqrt{x})$
Finde die einzelnen Ableitungen
$\begin{array}{l} g (x) = \ln (x) \\ h (x) = \sqrt{x} \\ \Rightarrow f (x) = g (h (x)) \end{array}$
$\begin{array}{l} g^{'} (x) = \frac{1}{x} \\ h^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \end{array}$
Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein
$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x) \\ = & \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ = & \frac{1}{2 x} \end{array}$

$f (x) = e^{x^{2} + 2 \sqrt{x}}$

$f (x) = e^{\sin (x^{2})}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Zerlege $f$ so, dass du die Kettenregel anwenden kannst.
$f (x) = e^{\sin (x^{2})}$
Um die Ableitung von $f$ anzugeben, muss man die Ableitungen von $g$ und $h$ bestimmen.
$g$ kann direkt abgeleitet werden, um $h$ abzuleiten, muss die Kettenregel erneut verwendet werden. Zerlege dazu $h$ .
$\begin{array}{l} g (x) = e^{x} \\ h (x) = \sin (x^{2}) \\ \Rightarrow f (x) = g (h (x)) \end{array}$
Leite $u$ und $v$ ab.
$g^{'} (x) = e^{x}$
$\begin{array}{l} u (x) = \sin (x) \\ v (x) = x^{2} \\ \Rightarrow h (x) = u (v (x)) \end{array}$
Nun kannst du mit der Kettenregel alle Ableitungen bestimmen.
$\begin{array}{l} u^{'} (x) = \cos (x) \\ v^{'} (x) = 2 x \end{array}$
$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x) \\ = & e^{h (x)} \cdot h^{'} (x) \\ = & e^{\sin (x^{2})} \cdot u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x) \\ = & e^{\sin (x^{2})} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x \end{array}$

$f (t) = e^{t^{3} + \sin (t)}$

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