Aufgaben zur Kettenregel

$f\left(x\right)=\cos \left(x^2\right)$

Zerlege $f$, sodass die Kettenregel angewandt werden kann.

$\begin{array}{l}g\left(x\right)=\cos \left(x\right)\\ h\left(x\right)=x^2\text{}\end{array}$

$\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)$

Berechne die einzelnen Ableitungen.

$\begin{array}{l}{g}^{\prime }\left(x\right)=-\sin \left(x\right)\\ h^{\prime }\left(x\right)=2x\end{array}$

Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein.

$f\left(x\right)={\left(\sin \left(x\right)\right)}^2$

Zerlege $f$, sodass die Kettenregel angewandt werden kann.

$\begin{array}{l}g\left(x\right)=x^2\\ h\left(x\right)=\sin \left(x\right)\\ \end{array}$

$\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)$

Berechne die einzelnen Ableitungen.

$\begin{array}{l}{g}^{\prime }\left(x\right)=2\cdot x\\ h^{\prime }\left(x\right)=\cos \left(x\right)\end{array}$

Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein.

$f^{\prime }\left(x\right)=g^{\prime }\left(h\left(x\right)\right)\cdot h^{\prime }\left(x\right)$

Setze zunächst $g^{\prime }$ und $h^{\prime }$ ein.

$=2\cdot (h\left(x\right))\cdot \cos \left(x\right)$

Nun setze $h(x)=\sin (x)$ ein.

$=2\cdot \sin \left(x\right)\cdot \cos \left(x\right)$

$f\left(x\right)=\sin \left(\frac{1}{x}\right)$

Zerlege $f$, sodass die Kettenregel angewandt werden kann

$\begin{array}{l}g\left(x\right)=\sin \left(x\right)\\ h\left(x\right)=\frac{1}{x}\\ \Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)\end{array}$

Berechne die einzelnen Ableitungen

$\begin{array}{l}{g}^{\prime }\left(x\right)=\cos \left(x\right)\\ h^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{x^2}\end{array}$

Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein

$f(x)=\sin (\cos (\sin (x)))$

Zerlege $f$ so, dass du die Kettenregel anwenden kannst.

Man sieht, dass die Verkettung (Kompositon) der Funktionen $g$ und $h$ mit

$\begin{array}{l}g(x)=\sin (x)\\ h(x)=\cos (\sin (x))\\ \end{array}$

gerade $f$ ergibt.

$\Rightarrow f(x)=(g\circ h)(x)=g(h(x)))=\sin (\cos (\sin (x)))$

Du siehst, dass $h$ wiederum als eine Verkettung von zwei Funktionen geschrieben werden kann. Das wird später verwendet, um die Ableitung $h^{\prime }$ zu bestimmen.

Nach der Kettenregel gilt dann

$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)$.

$g^{\prime }(h(x))$ kannst du direkt bestimmen:

Bestimme Ableitung von $g$ und setze $h$ ein.

$g^{\prime }(x)=\cos (x)$

$\Rightarrow g^{\prime }(h(x))=\cos (\cos (\sin (x)))$

Um $h$ abzuleiten, benötigst du wieder die Kettenregel. Zerlege also $h$ entsprechend in $u$ und $v$.

$\begin{array}{l}u(x)=\cos (x)\\ v(x)=\sin (x)\\ \end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow h(x)=u\circ v=u(v(x))=\cos (\sin (x))\\ \end{array}$

Berechne die Ableitungen von $u$ und $v$, um die Kettenregel

$h^{\prime }(x)=u^{\prime }(v(x))\cdot v^{\prime }(x)$

zu verwenden.

$\begin{array}{l}{u}^{\prime }(x)=-\sin (x)\\ v^{\prime }(x)=\cos (x)\end{array}$

Berechne $h^{\prime }$.

$\begin{array}{rcl}{h}^{\prime }(x)& =& u^{\prime }(v(x))\cdot v^{\prime }(x)\\ & =& -\sin (\sin (x))\cdot \cos (x)\end{array}$

Jetzt benutze die Kettenregel, um die Ableitung von $f$ zu berechnen