Aufgaben zur Kettenregel

$f\left(x\right)=\sqrt{x^3}$

Finde die einzelnen Funktionen.

$g(x)=\sqrt{x}$

$\begin{array}{l}\\ h(x)=x^3\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ \Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)\end{array}$

Finde die einzelnen Ableitungen.

$g^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$h^{\prime }\left(x\right)=3x^2$

Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }\left(x\right)& =& g^{\prime }\left(h\left(x\right)\right)\cdot h^{\prime }\left(x\right)\\ & & \\ & =& \frac{1}{2\sqrt{h\left(x\right)}}\cdot 3x^2\\ & & \\ & =& \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3}}\end{array}$

Am Ende könntest du noch vereinfachen.

$f(x)=\sqrt{2x^{-3}}$

Finde die einzelnen Funktionen.

$\begin{array}{l}g(x)=\sqrt{x}\\ \end{array}$

$\begin{array}{l}h(x)=\frac{2}{x^3}\\ \end{array}$

$\Rightarrow f(x)=g(h(x))$

Finde die einzelnen Ableitungen.

$\begin{array}{l}{g}^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}\\ \end{array}$

$h^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{6}{x^4}}$

Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{h(x)}}}\cdot {\displaystyle \frac{-6}{x^4}}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{-3}{x^4\sqrt{2x^{-3}}}}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{-3}{\sqrt{2x^5}}}\end{array}$

$f\left(x\right)=e^{x^3}$

Finde die einzelnen Funktionen.

$\begin{array}{l}g\left(x\right)=e^x\\ \end{array}$$\begin{array}{l}\\ h\left(x\right)=x^3\\ \end{array}$$\begin{array}{l}\\ \Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)\end{array}$

Bestimme die einzelnen Ableitungen.

$\begin{array}{l}{g}^{\prime }\left(x\right)=e^x\\ \end{array}$$\begin{array}{l}\\ h^{\prime }\left(x\right)=3x^2\end{array}$

Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }\left(x\right)& =& g^{\prime }\left(h\left(x\right)\right)\cdot h^{\prime }\left(x\right)\\ & & \\ & =& e^{x^3}\cdot 3x^2\end{array}$

$f(x)=ln(x^2+4)$

Finde die einzelnen Funktionen.

Bilde die Ableitung zu den gefundenen Funktionen.

$\begin{array}{l}{g}^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{x}\\ \end{array}$$\begin{array}{l}\\ h^{\prime }\left(x\right)=2x\end{array}$

Setze nun alles Benötigte in die Formel ein.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }\left(x\right)& =& g^{\prime }\left(h\left(x\right)\right)\cdot h^{\prime }\left(x\right)\\ & & \\ & =& \frac{1}{h\left(x\right)}\cdot 2x\\ & & \\ & =& \frac{2x}{x^2+4}\end{array}$