Aufgaben zu wichtigen Begriffen rund um Funktionen

1
Lies aus dem Graphen den y-Achsenabschnitt ab.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S (0 | 0)$ , also $y = 0$ .
Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S (0 | 3)$ , also $y = 3$ .
Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S (0 | - 4)$ , also $y = - 4$ .
Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S (0 | - 3)$ , also $y = - 3$ .
Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S (0 | 4)$ , also $y = 4$ .
Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S (0 | 5)$ , also $y = 5$ .
Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S (0 | 2)$ , also $y = 2$ .
Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S (0 | 3)$ , also $y = 3$ .
Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S (0 | - 1)$ , also $y = - 1$ .
Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S (0 | - 4)$ , also $y = - 4$ .
Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.
2
Zeichne anhand der gegebenen Wertetabelle den zugehörigen Graphen.
$𝐱$
$- 8$
$- 4$
$0$
$4$
$8$
$𝐲$
$0$
$1$
$2$
$3$
$4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Zeichne die fünf gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem und ziehe eine Gerade durch die Punkte.

$𝐱$
$- 2$
$0$
$2$
$4$
$𝐲$
$- 20$
$- 10$
$0$
$10$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Zeichne die vier gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem und ziehe eine Gerade durch die Punkte.
3
Lies aus dem Graphen die Nullstelle ab.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der x-Achse $N (0 | 0)$ , also $x = 0$ .
Die Nullstelle bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der x-Achse $N (1 | 0)$ , also $x = 1$ .
Die Nullstelle bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der x-Achse $(2 | 0)$ , also $x = 2$ .
Die Nullstelle bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der x-Achse $N (4 | 0)$ , also $x = 4$ .
Die Nullstelle bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der x-Achse $N (3 | 0)$ , also $x = 3$ .
Die Nullstelle bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der x-Achse $N (7 | 0)$ , also $x = 7$ .
Die Nullstelle bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse betrachtest.
4
Die folgende Wertetabelle enthält direktproportionale Wertepaare. Berechne die fehlenden Werte und trage die Wertepaare in ein Gitternetz ein.
Menge in Liter
4
6
8
Preis in €
6
12
16,5

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität
Graphisch Lösen
Zeichne die beiden Wertepaare $(4 | 6)$ und $(8 | 12)$ in ein Koordinatensystem und zeichne die Gerade durch die beiden Punkte. Nun kannst du die anderen Werte ablesen.
$x$ -Achse: $1 cm$ entspricht $2 l$ $y$ -Achse: $1 cm$ entspricht $2 €$
Menge in Liter
4
6
8
$11$
Preis in €
6
$9$
12
16,5
Rechnerische Lösung
Verwende die Proportionalitätskonstante, um den Preis pro Liter zu bestimmen. Dividiere dazu bei einem Wertepaar den Preis durch die Literanzahl:
$6$ € $: 4 l = 1,5$ €/ $l$
Ein Liter kostet also $1,50$ €
Berechne damit den Preis für $6 l$ :
$6 l \cdot 1,5$ €/ $l = 9$ €
$6 l$ kosten also $9$ €.
Beim letzen Wertepaar weißt du, dass $16,50$ € bezahlt wurden. Teile diese Zahl durch den Literpreis von $1,50$ €/ $l$
$16,50$ € $: 1,50$ € $/ l = 11 l$
Für $16,50$ € bekommt man also $11 l$ .
Hinweis: Man kann diese Aufgabe auch anders lösen, zum Beispiel mit dem Dreisatz. Wenn du einen anderen, richtigen Lösungsweg hast, kannst du ihn hier gerne noch ergänzen.
5
Bestimmung von Schnittpunkten
Im Koordinatensystem sind drei Geraden eingezeichnet. Lies die Schnittpunkte aus der Abbildung ab und gib sie nacheinander in das Eingabefeld ein.
Punkte können in dieser Form eingegeben werden: "(-2|0,5)"

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineares Gleichungssystem
Schnittpunkte ablesen
Im Bild rechts kann man die Koordinaten der drei Punkte ungefähr bestimmen. Diese lauten:
$S_{1} (- 2 ∣ 4)$
$S_{2} (2 ∣ 3)$
$S_{3} (- 1,5 | - 2)$
6
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Zeichne die Graphen folgender Geraden mit dem Schnittpunkt mit der y-Achse und dem Steigungsdreieck. Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse und überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen.
$f (x) = 2 x - 5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = 2 x - 5$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | - 5)$
$\Rightarrow m_{f} = 2$
Berechne nun den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$2 x - 5$ $=$ $0$ $+ 5$
$2 x$ $=$ $5$ $: 2$
$x_{0}$ $=$ $2,5$
$\Rightarrow P_{x} (2,5 | 0)$

$f (x) = - x - 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = - x - 3$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | - 3)$
$\Rightarrow m_{f} = - 1$
$- x - 3$ $=$ $0$ $+ x$
$- 3$ $=$ $x_{0}$
$\Rightarrow P_{x} (- 3 | 0)$

$f (x) = \frac{1}{2} x + 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = \frac{1}{2} x + 1$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | 1)$
$\Rightarrow m_{f} = \frac{1}{2}$
Berechne nun den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$\frac{1}{2} x + 1$ $=$ $0$ $- 1$
$\frac{1}{2} x$ $=$ $- 1$ $\cdot 2$
$x_{0}$ $=$ $- 2$
$\Rightarrow P_{x} (- 2 | 0)$

$f (x) = - \frac{1}{2} x - 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = - \frac{1}{2} x - 2$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | - 2)$
$\Rightarrow m_{f} = - \frac{1}{2}$
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$- \frac{1}{2} x - 2$ $=$ $0$ $+ 2$
$- \frac{1}{2} x$ $=$ $2$ $\cdot (- 2)$
$x_{0}$ $=$ $- 4$
$\Rightarrow P_{x} (- 4 | 0)$

$f (x) = \frac{1}{3} x - \frac{1}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = \frac{1}{3} x - \frac{1}{2}$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | - \frac{1}{2})$
$\Rightarrow m_{f} = \frac{1}{3}$
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$\frac{1}{3} x - \frac{1}{2}$ $=$ $0$ $+ \frac{1}{2}$
$\frac{1}{3} x$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot 3$
$x_{0}$ $=$ $\frac{3}{2}$
$\Rightarrow P_{x} (\frac{3}{2} | 0)$

$f (x) = - \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = - \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | \frac{3}{2})$
$\Rightarrow m_{f} = - \frac{1}{4}$
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$- \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}$ $=$ $0$ $- \frac{3}{2}$
$- \frac{1}{4} x$ $=$ $- \frac{3}{2}$ $\cdot (- 4)$
$x_{0}$ $=$ $6$
$\Rightarrow P_{x} (6 | 0)$

$f (x) = \frac{2}{3} x + 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = \frac{2}{3} x + 2$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | 2)$
$\Rightarrow m_{f} = \frac{2}{3}$
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$\frac{2}{3} x + 2$ $=$ $0$ $- 2$
$\frac{2}{3} x$ $=$ $- 2$ $: \frac{2}{3}$
$x_{0}$ $=$ $- 3$
$\Rightarrow P_{x} (- 3 | 0)$

$f (x) = - \frac{3}{4} x - 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = - \frac{3}{4} x - 1$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | - 1)$
$\Rightarrow m_{f} = - \frac{3}{4}$
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$- \frac{3}{4} x - 1$ $=$ $0$ $+ 1$
$- \frac{3}{4} x$ $=$ $1$ $: (- \frac{3}{4})$
$x_{0}$ $=$ $- \frac{4}{3}$
$\Rightarrow P_{x} (- \frac{4}{3} | 0)$

$f (x) = - 3 x + \frac{5}{10}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = - 3 x + \frac{5}{10}$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | \frac{5}{10})$
$\Rightarrow m_{f} = - 3$
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$- 3 x + \frac{5}{10}$ $=$ $0$ $- \frac{5}{10}$
$- 3 x$ $=$ $- \frac{1}{2}$ $: (- 3)$
$x_{0}$ $=$ $\frac{1}{6}$
$\Rightarrow P_{x} (\frac{1}{6} | 0)$

$f (x) = \frac{5}{7} x - \frac{12}{4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = \frac{5}{7} x - \frac{12}{4} = \frac{5}{7} x - 3$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | - 3)$
$\Rightarrow m_{f} = \frac{5}{7}$
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$\frac{5}{7} x - 3$ $=$ $0$ $+ 3$
$\frac{5}{7} x$ $=$ $3$ $: \frac{5}{7}$
$x_{0}$ $=$ $\frac{21}{5}$
$\Rightarrow P_{x} (\frac{21}{5} | 0)$
7
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Beschreibe mit Worten die Lage der Geraden mit der Gleichung:
$y = - 1$
Die Gerade liegt senkrecht im Koordinatensystem.
Die Gerade liegt waagerecht im Koordinatensystem.
Die Gerade hat die Steigung 1.
Die Gerade ist eine Horizontale, die die y-Achse beim Wert -1 schneidet.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Beschreibung von Geradengleichungen
Es handelt sich hier um eine konstante Funktion, d.h. die Funktion hängt nicht von $x$ ab. Jeder der $x$ -Werte hat den $y$ -Wert $- 1$ .Die Gleichung beschreibt eine Gerade, die eine Paralelle zur x-Achse ist, und die 1 unterhalb der x-Achse liegt.
$\Rightarrow y = - 1$ beschreibt also eine Gerade mit Steigung $0$ durch den Punkt $(0, - 1)$ .
So sieht der Graph aus:

$x + y = - 2$
Die Gerade steigt.
Die Gerade fällt.
Die Gerade geht durch den Punkt $P (0 | - 2)$ .
Die Gerade geht durch den Punkt $P (- 2 | 0)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Beschreibung von Geradengleichungen
$y + x = - 2$
Forme um, sodass $y$ alleine auf der einen Seite des Gleichheitszeichen steht.
$y = - x - 2$
Lese die Steigung $m$ und den y-Achsenabschnitt $t$ ab.
Die Gleichung beschreibt eine Gerade mit der Steigung $m = - 1$ und dem y-Achsenabschitt $t = - 2$ (Sie geht durch den Punkt $(0, - 2)$ ) , also die Winkelhalbierende des II und IV Quadranten um $2$ nach unten verschoben.
So sieht der Graph aus:
8
Bestimme von folgenden Geraden die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
$y = - 2 x + 3,5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der x-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcll} 0 & = & - 2 x + 3,5 & | + 2 x \\ 2 x & = & 3,5 & | : 2 \\ x & = & 1,75 \end{array}$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_{x} (1,75 | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein.
$y = - 2 \cdot 0 + 3,5$
$y = 3,5$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_{y} (0 | 3,5)$ .

$y = 5 x - 7$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der x-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcll} 0 & = & 5 x - 7 & | + 7 \\ 5 x & = & 7 & | : 5 \\ x & = & \frac{7}{5} = 1,4 \end{array}$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_{x} (1,4 | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein.
$y = 5 \cdot 0 - 7$
$y = - 7$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_{y} (0 | - 7)$ .

$y = \frac{3}{2} x + 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der x-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcll} 0 & = & \frac{3}{2} x + 2 & | - 2 \\ \frac{3}{2} x & = & - 2 & | \cdot \frac{2}{3} \\ x & = & - \frac{4}{3} \end{array}$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_{x} (- \frac{4}{3} | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein.
$y = \frac{3}{2} \cdot 0 + 2$
$y = 2$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_{y} (0 | 2)$ .

$y = - \frac{2}{5} x + \frac{5}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der x-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcll} 0 & = & - \frac{2}{5} x + \frac{5}{2} & | + \frac{2}{5} x \\ \frac{2}{5} x & = & \frac{5}{2} & | \cdot \frac{5}{2} \\ x & = & \frac{25}{4} = 6,25 \end{array}$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_{x} (6,25 | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein.
$y = - \frac{2}{5} \cdot 0 + \frac{5}{2}$
$y = \frac{5}{2} = 2,5$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_{y} (0 | 2,5)$ .

$y = 2 (x - \frac{2}{3})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Klammer auflösen
Um eine allgemeine Geradengleichung $y = m \cdot x + t$ zu erhalten, multipliziere die Klammer aus.
$y = 2 (x - \frac{2}{3})$
$y = 2 x - \frac{4}{3}$
Schnittpunkt mit der x-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcll} 0 & = & 2 x - \frac{4}{3} & | + \frac{4}{3} \\ 2 x & = & \frac{4}{3} & | : 2 \\ x & = & \frac{2}{3} \end{array}$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_{x} ( \frac{2}{3} | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein und löse nach $x$ auf.
$y = 2 \cdot 0 - \frac{4}{3}$
$y = - \frac{4}{3}$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_{y} (0 | - \frac{4}{3})$ .

$y = - \frac{4}{3} - \frac{1}{2} x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Gleichung umstellen
Um eine allgemeine Geradengleichung $y = m \cdot x + t$ zu erhalten, vertausche auf der rechten Seite beide Elemente.
$y = - \frac{4}{3} - \frac{1}{2} x$
$= - \frac{1}{2} x - \frac{4}{3}$
Schnittpunkt mit der x-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcll} 0 & = & - \frac{4}{3} - \frac{1}{2} x & | + \frac{1}{2} x \\ \frac{1}{2} x & = & - \frac{4}{3} & | \cdot 2 \\ x & = & - \frac{8}{3} = - 2 \frac{2}{3} \end{array}$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_{x} ( - \frac{8}{3} | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein.
$y = - \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{4}{3}$
$y = - \frac{4}{3}$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_{y} (0 | - \frac{4}{3})$ .
9
Du fährst mit dem Fahrrad durch die Stadt. Eine App in deinem Handy misst alle 2 Minuten deine aktuelle Geschwindigkeit.
Beschreibe deine Fahrt, zum Beispiel, indem du erst einen Graphen zeichnest und diesen dann deutest. Was könnten Gründe für die jeweiligen Geschwindigkeiten sein?
Minuten nach Fahrtbeginn
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
aktuelle Geschwindigkeit (km/h)
0
5
5
0
10
5
5
2
2
0
0

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graphen mit einer Wertetabelle zeichnen
Graph zeichnen
Trage die Punkte aus der Wertetabelle in ein Koordinatensystem ein:
Graph/Tabelle beschreiben
Zunächst beschleunigst du und fährst dann für längere Zeit mit 5 km/h.
Dann bremst du und stehst während Minute 6.
Danach beschleunigst du sehr stark auf 10 km/h.
Anschließend fährst du erneut längere Zeit mit 5 km/h.
Während der 14. und 16. Minute fährst du langsamer, mit 2 km/h.
Nach der 18. Minute stehst du.
Deutung der Werte
Vermutlich fährst du auf geraden Strecken sehr bequem mit 5 km/h.
In der 6. Minute könntest du an einer Ampel stehen oder nochmal angehalten haben, um kurz etwas nachzusehen.
Danach geht es bergab, weshalb du sehr schnell fahren kannst.
Während du 2 km/h fährst, könnte es sein, dass du einen Berg hinauf fährst oder mehr Verkehr herrscht.
Vermutlich bist du nach 18 Minuten am Ziel angekommen.
Zeichne zuerst den Graphen oder stelle ihn dir vor und deute dann die Werte.

$𝐱$	$- 8$	$- 4$	$0$	$4$	$8$
$𝐲$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$

$𝐱$	$- 2$	$0$	$2$	$4$
$𝐲$	$- 20$	$- 10$	$0$	$10$

Menge in Liter		4	6	8
Preis in €		6		12	16,5

Menge in Liter		4	6	8	$11$
Preis in €		6	$9$	12	16,5

Minuten nach Fahrtbeginn	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
aktuelle Geschwindigkeit (km/h)	0	5	5	0	10	5	5	2	2	0	0

Forme die Gleichung so um, dass sie die Form $y = ax + b$ hat.

$2 x - y = 6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung umformen
$2 x - y$ $=$ $6$ $- 2 x$
$- y$ $=$ $6 - 2 x$ $\cdot (- 1)$
$y$ $=$ $2 x - 6$
$x = \frac{1}{2} (y + 1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung umformen
$x$ $=$ $\frac{1}{2} (y + 1)$ $\cdot 2$
↓
Der Bruch auf der rechten Seite fällt weg da $\frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ .
$2 x$ $=$ $y + 1$ $- 1$
↓
Linke und rechte Seite vertauschen.
$y$ $=$ $2 x - 1$

$\frac{2}{5} y = 2 x - 1$

$y = 3 (2 x - 1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung umformen
$y$ $=$ $3 (2 x - 1)$
↓
Die Klammer ausmultiplizieren.
$y$ $=$ $6 x - 3$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$\frac{1}{2} x + 1$	$=$	$0$	$- 1$
$\frac{1}{2} x$	$=$	$- 1$	$\cdot 2$
$x_{0}$	$=$	$- 2$

$- \frac{1}{2} x - 2$	$=$	$0$	$+ 2$
$- \frac{1}{2} x$	$=$	$2$	$\cdot (- 2)$
$x_{0}$	$=$	$- 4$

$\frac{1}{3} x - \frac{1}{2}$	$=$	$0$	$+ \frac{1}{2}$
$\frac{1}{3} x$	$=$	$\frac{1}{2}$	$\cdot 3$
$x_{0}$	$=$	$\frac{3}{2}$

$- \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}$	$=$	$0$	$- \frac{3}{2}$
$- \frac{1}{4} x$	$=$	$- \frac{3}{2}$	$\cdot (- 4)$
$x_{0}$	$=$	$6$

$\frac{2}{3} x + 2$	$=$	$0$	$- 2$
$\frac{2}{3} x$	$=$	$- 2$	$: \frac{2}{3}$
$x_{0}$	$=$	$- 3$

$- \frac{3}{4} x - 1$	$=$	$0$	$+ 1$
$- \frac{3}{4} x$	$=$	$1$	$: (- \frac{3}{4})$
$x_{0}$	$=$	$- \frac{4}{3}$

$- 3 x + \frac{5}{10}$	$=$	$0$	$- \frac{5}{10}$
$- 3 x$	$=$	$- \frac{1}{2}$	$: (- 3)$
$x_{0}$	$=$	$\frac{1}{6}$

$\frac{5}{7} x - 3$	$=$	$0$	$+ 3$
$\frac{5}{7} x$	$=$	$3$	$: \frac{5}{7}$
$x_{0}$	$=$	$\frac{21}{5}$

$2 x - y$	$=$	$6$	$- 2 x$
$- y$	$=$	$6 - 2 x$	$\cdot (- 1)$
$y$	$=$	$2 x - 6$

$x$	$=$	$\frac{1}{2} (y + 1)$	$\cdot 2$
	↓	Der Bruch auf der rechten Seite fällt weg da $\frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ .
$2 x$	$=$	$y + 1$	$- 1$
	↓	Linke und rechte Seite vertauschen.
$y$	$=$	$2 x - 1$

$y$	$=$	$3 (2 x - 1)$
	↓	Die Klammer ausmultiplizieren.
$y$	$=$	$6 x - 3$

Aufgaben zu wichtigen Begriffen rund um Funktionen

Graphisch Lösen

Rechnerische Lösung

Bestimmung von Schnittpunkten

Schnittpunkte ablesen

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Klammer auflösen

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Gleichung umstellen

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Graph zeichnen

Graph/Tabelle beschreiben

Deutung der Werte