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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die Funktion $g : x \mapsto \frac{2 (x + 1)^{2}}{x^{2} - 1}$ mit der maximalen Definitionsmenge $D_{g} \subset ℝ$ .
Geben Sie $D_{g}$ an, prüfen Sie $g$ auf Nullstellen und folgern Sie daraus die Art der Definitionslücken. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte bei Annäherung an die Definitionslücken. (7 BE)

Definitionsmenge
Die Definitionsmenge einer Funktion gibt an, welche Zahlen man für $x$ einsetzen kann, damit die Funktion definiert ist.
Hier darf der Nenner nicht $0$ sein. Also setzt man den Nenner gleich $0$ um zu sehen für welche Zahlen die Funktion nicht definiert ist:
$x^{2} - 1 = 0$ | $+ 1$
$x^{2} = 1$ | $\sqrt{}$
$\Rightarrow x_{1} = 1$
$\Rightarrow x_{2} = - 1$
$D_{g} = ℝ \ {- 1; 1}$
Einfacher berechnet man das mit dem Satz vom Nullprodukt:
$x^{2} - 1 = (x - 1) \cdot (x + 1) = 0$
$⟺ x - 1 = 0 \lor x + 1 = 0$
$⟺ x = 1 \lor x = - 1$
Nullstellen
Um die Nullstellen dieser Funktion zu bestimmen, muss man den Zähler gleich $0$ setzen:
$2 (x + 1)^{2} = 0$
$⟺ 2 (x^{2} + 2 x + 1) = 0$
$⟺ 2 \cdot x^{2} + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot 1 = 0$
$⟺ 2 x^{2} + 4 x + 2 = 0$
Lösung mit der Mitternachtsformel
$x_{1,2} = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$
$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$x_{1,2} = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{4}$
$x_{1,2} = \frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{4}$
$x_{1,2} = \frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{4}$
$x = - 1$
Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt
"Ein Produkt ist $0$ , wenn einer der beiden Faktoren $0$ ist."
Also muss in diesem Fall nur $(x + 1)^{2}$ oder einfacher nur $(x + 1)$ gleich $0$ sein.
$x + 1 = 0$ | $- 1$
$x = - 1$
$x = - 1$ ist eine hebbare Lücke, weil hier der Zähler eine Nullstelle hat, wobei die Ordnung (2, es ist ja eine doppelte Nullstelle) größer oder gleich der Ordnung der Nullstelle des Nenners (1, es ist eine einfache Nullstelle) ist.
Bei $x = 1$ gibt es eine senkrechte Asymptote, weil es nur eine Definitionslücke ist.
Das Verhalten an Definitionslücken berechnet man mit dem Limes
von links:
$\lim_{x \to 1^{-}} g (x) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{2 (x + 1)^{2}}{x^{2} - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{2 (x + 1)^{2}}{(x + 1) (x - 1)} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$
Beim Grenzwert von rechts ändert sich nur das Vorzeichen des Nenners, also ist der Grenzwert $+ \infty .$
Alternativ kann man argumentieren, dass es wegen der einfachen Nullstelle des Nenners eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel ist.

Die Funktion $f : x \mapsto \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ mit $D_{f} = ℝ ∖ {1}$ ist die stetige Fortsetzung der Funktion $g$ (Nachweis nicht erforderlich). Ihr Graph wird mit $G_{f}$ bezeichnet.

Geben Sie Art und Gleichungen aller Asymptoten von $G_{f}$ an und untersuchen Sie, ob sich der Graph der Funktion $f$ für $x \to + \infty$ der Asymptote von oben oder unten nähert. (5 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionslücken
Senkrechte Asymptote
$x - 1$ $=$ $0$ $+ 1$
$x$ $=$ $1$
=> Senkrechte Asymptote bei x =1.
Waagerechte Asymptote
Es gibt eine waagerechte Asymptote bei y=2.
Begründung:
Wenn Zählergrad = Nennergrad dann gilt, dass die Faktoren vor dem höchsten Grad die horizontale Asymptote ergeben.
Faktor vor dem höchsten Grad im Zähler ist 2. Faktor vor dem höchsten Grad im Nenner ist 1 => $\frac{2}{1} = 2$ .
Die waagerechte Asymptote lautet demnach y = 2.
Eine Senkrechte Asymptote ist dort, wo die Funktion ihre Definitionslücke hat. Dazu muss der Nenner gleich 0 gesetzt werden.
Für die waagerechte Asympotte muss Zählergrad und Nennergrad betrachtet werden.

Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle von f und geben Sie die Wertemenge von f an. (4 BE)
$[mögliches Teilergebnis: f^{'} (x) = - \frac{4}{(x - 1)^{2}}]$

Zeichnen Sie $G_{f}$ und seine Asymptoten unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse für $- 4 \leq x \leq 6$ in ein kartesisches Koordinatensystem. (4 BE)

Der Graph $G_{f}$ , die $y$ -Achse und die Geraden $y = 2$ und $x = a$ mit dem reellen Parameter $a < – 1$ begrenzen ein Flächenstück A. Kennzeichnen Sie diese Fläche für $a = – 3$ im Koordinatensystem von Teilaufgabe e) und berechnen Sie deren Flächenmaßzahl $A (a)$ in Abhängigkeit von $a$ . (5 BE)
[mögliches Ergebnis: $A (a) = 4 \ln (1 - a)$ ]

Untersuchen Sie, ob $A (a)$ für $a \mapsto - \infty$ einen endlichen Wert annimmt. (2 BE)

Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion der Funktion $f .$ Geben Sie nur mit den bisherigen Ergebnissen die maximalen Monotonieintervalle des Graphen der Funktion $F$ für $x < 1$ an.
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Funktion $n$ beschreibt näherungsweise die zeitliche Entwicklung der Einwohnerzahl einer fränkischen Kleinstadt. Es gilt hierfür die Funktionsgleichung $n (t) = b (- e^{- 0,05 t} + e^{- 0,25 t} + 1,5)$ mit $t \geq 0$ , $b \in ℝ$ .
Der Zeitpunkt $t = 0$ wird auf den 1.1.1995 festgelegt. Dabei gibt n die Einwohnerzahl in Tausend und $t$ die Zeit in Jahren an. Auf Einheiten soll bei den Rechnungen verzichtet werden. Runden Sie die Ergebnisse sinnvoll.
Am 1.1.1999 hatte die Stadt $20983$ Einwohner. Bestimmen Sie damit den Wert des Parameters b. (2 BE)
[ Ergebnis: $b \approx 20$ ]

$n (t) = b (- e^{- 0,05 t} + e^{- 0,25 t} + 1,5)$
$n (4) = 20,983$
$n (4) = b (- e^{- 0,05 \cdot 4} + e^{- 0,25 \cdot 4} + 1,5) = 20,983$
$b = 20,983 / (- e^{- 0,2} + e^{- 1} + 1,5)$
$b \approx 20$

Berechnen Sie Art und Koordinaten des lokalen Extrempunktes des Graphen der Funktion n und interpretieren Sie Ihre Ergebnisse im gegebenen Sachzusammenhang. (7 BE)
[ mögliches Teilergebnis: $\dot{n} (t) = e^{- 0,05 t} - 5 e^{- 0,25 t}$ ]

Die Funktion $n (t)$ ist
$n (t) = 20 · (- e^{- 0,05 t} + e^{- 0,25 t} + 1,5)$
Ableiten ergibt $\dot{n} (t) = 20 \cdot (0,05 \cdot e^{- 0,05 t} - 0,25 \cdot e^{- 0,25 t})$
Das lässt sich vereinfachen zu
$\dot{n} (t) = e^{- 0,05 t} - 5 \cdot e^{- 0,25 t}$
Um einen Extrempunkt zu bestimmen, suchst du Werte für $t$ mit $\dot{n} (t) = 0.$
$\dot{n} (t)$ $=$ $0$
$e^{- 0,05 t} - 5 \cdot e^{- 0,25 t}$ $=$ $0$
↓
$+ 5 \cdot e^{- 0,25 t}$
$e^{- 0,05 t}$ $=$ $5 \cdot e^{- 0,25 t}$
↓
$\cdot e^{0,25 t}$
$e^{0,2 t}$ $=$ $5$
$0,2 t$ $=$ $\ln 5$
$t$ $=$ $5 \cdot \ln 5$
$t$ $\approx$ $8,05$
Um die Art des Extremums festzustellen, , leitest du noch einmal ab:
$\ddot{n} (t) = - 0,05 e^{- 0,05 t} + 1,25 e^{- 0,25 t}$
Setze jetzt $t_{1} = 8,05$ ein:
$\ddot{n} (t_{1}) \approx - 0,05 · e^{- 0,05 \cdot 0,08} + 1,25 · e^{- 0,25 \cdot 8,05} \approx 0,13$
Es handelt sich also um einen Tiefpunkt. Jetzt musst du noch den Funktionswert berechnen:
$n (t_{1}) \approx 20 \cdot (- e^{- 0,05 \cdot 8,05} + e^{- 0,25 * 8,05} + 1,5) \approx 19,3$
Zunächst sinkt die Einwohnerzahl zwischen 1995 und 2003 auf einen tiefsten Wert von etwa 19300, danach steigt sie wieder an.

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion n in ein geeignetes Koordinatensystem.

Zum 1.1.2010 konnte die Stadt Fördergelder beantragen. Diese richteten sich nach der durchschnittlichen Einwohnerzahl der Stadt während der vergangenen 15 Jahre. Ermitteln Sie die Höhe der Fördermittel, wenn es pro durchschnittlichem Einwohner $500 €$ an Fördergeldern gab, indem Sie zunächst das Integral $I = \int_{0}^{15} n (t) d t$ berechnen. (5 BE)
[Teilergebnis: $I \approx 317$ ]

Stammfunktion:
$N (t) = \int 20 (- e^{- 0,05 · t} + e^{- 0,25 · t} + 1,5) d t = \frac{20}{0,05} · e^{- 0,05 · t} - \frac{20}{0,25} · e^{- 0,25 · t} + 20 · 1,5 · t$
$N (t) = 400 · e^{- 0,05 · t} - 80 · e^{- 0,25 · t} + 30 · t$
$J = N (15) - N (0) = 637,065 - 320 = 317,065$
Durchschnittliche Einwohnerzahl in 15 Jahren: $\frac{317,065}{15} · 1000 = 21138$
Fördermittel: $21138 · 500 € = 10569000 €$
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die subjektive Empfindung der Tonhöhe Z des menschlichen Gehörs in Abhängigkeit von der Frequenz $x$ in Hertz ( $H z$ ) kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:
$Z (x) = {\begin{matrix} x & für & 0 < x \leq 427 \\ 1127 \cdot \ln (1 + \frac{x}{700}) - 110 & für & 427 < x \leq 19000 \end{matrix}$
Die Einheit der Tonhöhe $Z$ ist $1 m e l$ . Runden Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen. Auf das Mitführen von Einheiten kann verzichtet werden.
Zeigen Sie, dass die Funktion $Z$ an der Nahtstelle $x = 427$ - im Rahmen der Rundungsgenauigkeit - stetig und differenzierbar ist. (5 BE)

Berechnen Sie die Frequenz $x$ , bei der die Tonhöhe von $1400 m e l$ empfunden wird. (3 BE)

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $Z$ im Bereich $0 < x \leq 2200$ . (4 BE).
(Maßstab: waagrechte Achse: $1 c m$ $\hat{=}$ $200 H z$ ; senkrechte Achse: $1 c m$ $\hat{=}$ $200 m e l$ )

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$\dot{n} (t)$	$=$	$0$
$e^{- 0,05 t} - 5 \cdot e^{- 0,25 t}$	$=$	$0$
	↓	$+ 5 \cdot e^{- 0,25 t}$
$e^{- 0,05 t}$	$=$	$5 \cdot e^{- 0,25 t}$
	↓	$\cdot e^{0,25 t}$
$e^{0,2 t}$	$=$	$5$
$0,2 t$	$=$	$\ln 5$
$t$	$=$	$5 \cdot \ln 5$
$t$	$\approx$	$8,05$

A I

Definitionsmenge

Nullstellen

Lösung mit der Mitternachtsformel

x1,2=−4±42−4⋅2⋅22⋅2

x1,2=−b±b2−4ac2a

x1,2=−4±16−164

Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt

Senkrechte Asymptote

Waagerechte Asymptote

$x_{1,2} = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x_{1,2} = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{4}$