Aufgaben zu Volumenberechnung bei geraden Prismen und Zylindern

1
Der Durchmesser des Mülleimers ist 30 cm und die Höhe ist 60 cm (ohne den Deckel). Wie groß ist das Volumen?
Runde auf ganze $c m^{3}$ .
cm³

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
$V = r^{2} \cdot π \cdot h$
Das ist die Formel für das Volumen eines Zylinders.
Die Höhe 60 cm ist in der Aufgabe angegeben, den Radius berechnest du aus dem Durchmesser.
$r = d : 2 = 30 cm : 2 = 15 cm$
Nun kannst du in die Volumenformel einsetzen.
$V = (15 cm)^{2} \cdot π \cdot 60 cm$
Das rechnest du aus,
$= 13 500 \cdot π {cm}^{3}$
$= 42 411,5008 \dots . {cm}^{3}$
und rundest das Ergebnis.
$\approx 42 412 {cm}^{3}$
2
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Ein zylindrisches Ausdehnungsgefäß hat d=35 cm Durchmesser und h=450 mm Höhe.
Wie viel Liter fasst das Gefäß?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Gegeben:
Zylinder mit
Durchmesser $d = 35 cm$
Höhe $h = 450 mm$
Gesucht:
Volumen $V$ in Litern $(l)$
Lösung:
Lösungidee:
$V=?$
Da es sich bei dem Gefäß um einen Zylinder handelt, brauchst du die Formel für das Volumen eines Zylinders:
$V_{Z y l i n d e r} = G \cdot h = π \cdot r^{2} \cdot h$
$V_{Z y l i n d e r} = π \cdot r^{2} \cdot h$
Die Höhe $h$ ist gegeben, und den Radius $r$ kannst du aus dem Durchmesser $d$ berechnen.
Allerdings sollten, wenn du in die Formel einsetzt, $h$ und $r$ die gleiche Einheit haben.
Tipp: Wenn du $h$ und $r$ (oder $d$ ) schon jetzt beide in $dm$ umwandelst, kommt das Volumen in ${dm}^{3}$ (= in Litern $l$ ) heraus. Andernfalls musst du eben nachher die Volumeneinheit noch umrechnen.
Umrechnen, Einsetzen der Zahlen und Ausrechnen:
$h = 450 mm = 4,5 dm$
$d = 35 cm = 3,5 dm$
Aus dem Durchmesser $d$ berechnest du dann den Radius $r$ ,
$r = \frac{d}{2} = 1,75 dm$
… und setzt $r$ und $h$ in die Volumenformel ein:
$V = π \cdot {(1,75 dm)}^{2} \cdot 4,5 dm$
Das rechnest du aus und rundest das Ergebnis.
$V \approx 43,3 {dm}^{3}$
${dm}^{3}$ sind dasselbe wie Liter.
Wenn du mit anderen Einheiten gerechnet hast (was natürlich auch möglich ist), musst du dein Ergebnis jetzt noch umrechnen .
$V \approx 43,3 l$
3
Dieses Glas hat einen Durchmesser von 7 cm und seine Höhe ist 8 cm.
Berechne das Volumen des Glases. Runde dein Ergebnis auf Einer.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
$V = r^{2} \cdot π \cdot h$
Das ist die Formel für das Volumen eines Zylinder. Die Höhe 8 cm ist in der Aufgabe angegeben, den Radius berechnest du aus dem Durchmesser. Nun kannst du in die Volumenformel einsetzen.
$V = (3,5 cm)^{2} \cdot π \cdot 8 cm$
$= 98 \cdot π {cm}^{3}$
$= 307,876 \dots {cm}^{3}$
$\approx 308 {cm}^{3}$
4
Gegeben ist ein Zylinder mit einem Durchmesser von $8 m$ und einer Höhe von $5 m$ .
Berechne das Volumen, die Mantelfläche und die Oberfläche des Zylinders.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen, Mantelfläche und Oberfläche eines Zylinders
Der Radius $r$ ist halb so lang wie der Durchmesser, also gilt $r = 4 m$ .
$\begin{array}{l} V = r^{2} πh \\ M = 2 rπh \\ O = 2 r^{2} π + 2 rπh \end{array}$
$V = r^{2} πh = (4 m)^{2} \cdot 3,14 \cdot 5 m = 16 m^{2} \cdot 3,14 \cdot 5 m = 251,2 m^{3}$
$M = 2 r πh = 2 (4 m) \cdot 3,14 \cdot 5 m = 8 m \cdot 3,14 \cdot 5 m = 125,6 m^{2}$
$O = 2 r^{2} π + 2 rπh = 2 (4 m)^{2} \cdot 3,14 + 2 \cdot 4 m \cdot 3,14 \cdot 5 m$
$= 100,48 m^{2} + 125,60 m^{2} = 226,08 m^{2}$
Das Volumen des Zylinders beträgt $251,2 m^{3}$ , die Mantelfläche $125,6 m^{2}$ und die Oberfläche $226,08 m^{2}$ .
5
Welches Volumen hat ein $4,5 m$ hohes Haus mit der Breite $4 m$ und der Länge $7 m$ , wenn das Dachgeschoss $2 m$ hoch ist?
Quelle: torange.biz, CC-BY-SA-4.0

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen zusammengesetzter Körper
Quelle: torange.biz, CC-BY-SA-4.0
Du kannst das Volumen von diesem Haus auf zwei Arten berechnen:
Entweder als ein Prisma mit der ganzen Vorderseite des Hauses als Grundfläche
oder als einen zusammengesetzten Körper aus einem Quader (unterer Teil des Hauses) und einem Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche (das Dach).
In dieser Lösung wird das Volumen für den zusammengesetzten Körper berechnet.
Volumen des Quaders (unterer Hausteil)
Gegeben: Länge des Quaders = $7 m$ Breite des Quaders = $4 m$
Die Höhe des Quaders musst du erst noch ausrechnen.
Höhe des Quaders = ?
Die Höhe berechnest du, indem du von der Gesamthöhe des Hauses ( $4,5 m$ ) die Höhe des Dachs ( $2 m$ ) abziehst.
Höhe des Quaders = $4,5 m - 2 m = 2,5 m$
Jetzt kannst du das Volumen des Quaders berechnen.
$V_{Quader} = Länge \cdot Breite \cdot Höhe = 7 m \cdot 4 m \cdot 2,5 m = 70 m^{3}$
Volumen des Prismas (Dach)
Gegeben: Länge des Dachs = $7 m$ Breite des Dachs = $4 m$ Höhe des Dachs = $2 m$
Für das Volumen des Prismas benötigst du zuerst seine Grundfläche. Diese ist hier ein Dreieck. Die Höhe des Dreiecks ist die Dachhöhe und die Grundseite ist die Breite des Dachs.
$G_{Prisma} = \frac{1}{2} \cdot Breite \cdot Höhe = \frac{1}{2} \cdot 4 m \cdot 2 m = 4 m^{2}$
Berechne jetzt das Volumen des Prismas. Beachte, dass die Höhe des Prismas hier die Länge des Dachs ist.
$V_{Prisma} = G_{Prisma} \cdot Länge = 4 m^{2} \cdot 7 m = 28 m^{3}$
Gesamtvolumen des Hauses
$V_{Haus} = \dots ?$
Addiere jetzt die einzelnen Teile, um das Gesamtvolumen zu berechnen.
$V_{Haus} = V_{Quader} + V_{Prisma} = 70 m^{3} + 28 m^{3} = 98 m^{3}$
Antwort: Das Haus hat ein Volumen von $98 m^{3}$ .
6
Gegeben ist ein Zylinder mit einer Oberfläche von $150,72 c m^{2}$ und einem Durchmesser von $6 c m$ .
Berechne die Höhe des Zylinders.
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche eines Zylinders
$O = 2 r^{2} π + 2 rπh | - 2 r^{2} π$
$O - 2 r^{2} π = 2 r π h | : 2 r π$
$h = \frac{O - 2 r^{2} π}{2 r π}$
$h = \frac{150,72 - 2 \cdot 9 \cdot 3,14}{2 \cdot 3 \cdot 3,14} = \frac{150,72 - 56,52}{18,84} = \frac{94,2}{18,84} = 5$
Die Höhe des Zylinders beträgt $5 c m$ .
7
Herr Müller möchte ein Kabel mit einem Volumen von $0,63 m^{3}$ verlegen. Der Radius beträgt $10 cm$ . Berechne die Länge des Kabels. Runde beim Ergebnis auf ganze Zahlen.
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Die allgemeine Formel für das Volumen eines Zylinders ist:
$V = π r^{2} \cdot l$
Da die Länge $l$ gesucht ist, musst du die Formel danach auflösen, wie folgt:
$V = π r^{2} \cdot l \Rightarrow l = \frac{V}{π r^{2}}$
Nun brauchst du nur noch die Werte einzusetzen. Hierbei musst du beachten, dass der Radius in $cm$ angegeben ist und in $m$ umgerechnet werden muss:
$\begin{array}{rcl} l & = & \frac{V}{π r^{2}} \\ l & = & \frac{0,63 m^{3}}{π \cdot (10 cm)^{2}} \\ l & = & \frac{0,63 m^{3}}{π \cdot (0,1 m)^{2}} \\ l & = & 20 m \end{array}$
Das heißt, dass die Länge des Kabels $20 m$ beträgt.
8
Eine Getränkedose hat eine Höhe $h$ von $16,8 cm$ . Der Durchmesser $d$ beträgt $6,7 cm$ . Berechne das Volumen der Dose.
Runde dein Ergebnis auf ganze Zahlen.
cm³

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders ist:
$V_{Zyl} = π r^{2} \cdot h$
Da der Durchmesser gegeben ist, musst du den Radius daraus erechnen, wie folgt:
$\begin{array}{rcl} d = 2 r \Rightarrow r & = & \frac{1}{2} d \\ r & = & \frac{1}{2} \cdot 6,7 cm = 3,35 cm \end{array}$
Nun kannst du die Werte in die Formel einsetzen, um das Volumen zu berechnen.
$\begin{array}{rcl} V_{Zyl} & = & π r^{2} \cdot h \\ V_{Zyl} & = & π \cdot (3,35 cm)^{2} \cdot 16,8 cm \\ V_{Zyl} & = & 592 {cm}^{3} \end{array}$
Daraus folgt, dass das Volumen des Zylinders $592 {cm}^{3}$ beträgt.
9
Ein zylinderförmiger Lautsprecher hat eine Höhe von $h = 18 cm$ . Der Radius beträgt $r = 3,75 cm$ . Berechne das Volumen.
Runde dein Ergebnis auf ganze Zahlen.
cm³

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders ist:
$V_{Zyl} = π r^{2} \cdot h$
In diese Formel setzt du nun die gegebnen Werte ein.
$\begin{array}{rcl} V_{Zyl} & = & π r^{2} \cdot h \\ V_{Zyl} & = & π \cdot (3,75 cm)^{2} \cdot 18 cm \\ V_{Zyl} & \approx & 795 c m^{3} \end{array}$
Daraus folgt, dass das Volumen des Zylinders ca. $795 c m^{3}$ beträgt.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

Aufgaben zu Volumenberechnung bei geraden Prismen und Zylindern

Lösung:

Lösungidee:

Umrechnen, Einsetzen der Zahlen und Ausrechnen:

Volumen des Quaders (unterer Hausteil)

Volumen des Prismas (Dach)

Gesamtvolumen des Hauses