Aufgaben zur Teilbarkeit natürlicher Zahlen

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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Berechne die Primfaktorzerlegungen folgender Zahlen:
57

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
Beachte die Quersumme von 57 ist 12. 12 ist durch 3 teilbar.
$57 : 3 = 19$
Die Primzahlzerlegung von 57 ist $3 \cdot 19$ .

225

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
Alle Zahlen, die auf 5 enden, sind durch 5 teilbar.
$225 : 5 = 45$
$45 : 5 = 9$
$9 : 3 = 3$
Die Primzahlzerlegung von lautet $225 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$

13

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
Die 13 ist eine Primzahl.

24

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
$24$
$\Rightarrow$ Erster möglicher Primfaktor ist 2.
$24 : 2 = 12$
$\Rightarrow$ Möglicher Primfaktor ist 2.
$12 : 2 = 6$
$\Rightarrow$ Möglicher Primfaktor 2.
$6 : 2 = 3$
$\Rightarrow 24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$

238

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
$238$
$\Rightarrow$ Erster möglicher Primfaktor ist 2.
$238 : 2 = 119$
$\Rightarrow$ Möglicher Primfaktor ist 7.
$119 : 7 = 17$
$\Rightarrow 238 = 2 \cdot 7 \cdot 17$

456

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
$456$
$\Rightarrow$ Erster möglicher Primfaktor ist 2.
$456 : 2 = 228$
$\Rightarrow$ Nächster möglicher Primfaktor ist 2.
$228 : 2 = 114$
$\Rightarrow$ Nächster möglicher Primfaktor ist 2.
$114 : 2 = 57$
$\Rightarrow$ Nächster möglicher Primfaktor ist 3.
$57 : 3 = 19$
$\Rightarrow$ Die Primfaktorzerlegung ist abgeschlossen.
$\Rightarrow 456 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 19$
2
Wie lautet das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen:
3 und 8

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kleinstes gemeinsames Vielfaches
3 und 8
3 ist bereits eine Primzahl.
8 ist nicht durch 3 teilbar.
Daraus folgt sofort das Ergebnis.
Multiplikation der beiden Zahlen.
$kgV (3,8) = 3 \cdot 8 = 24$

5 und 25

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kleinstes gemeinsames Vielfaches
5 und 25
Bestimme das kgV von 5 und 25 als Produkt von 5 und 25 geteilt durch $ggT (5,25)$ .
Nutze dabei, dass der ggT von 25 und 5 gleich 5 ist. Dies gilt, da $25 = 5^{2}$ ist.
$kgV (5,25) = \frac{5 \cdot 25}{ggT (5,25)} = \frac{5 \cdot 25}{5} = 25$

14, 7, 25

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kleinstes gemeinsames Vielfaches
14, 7, 25
Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung
$7$ ist eine Primzahl.
$14 = 2 \cdot 7$
$25 = 5 \cdot 5$
Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.
Primzahl $2$ hat Vielfachheit 1, $5$ hat Vielfachheit 2 und $7$ hat Vielfachheit 1.
Somit gilt: $kgV (14,7,25) = 2 \cdot 5^{2} \cdot 7 = 350.$

15, 22, 121

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kleinstes gemeinsames Vielfaches
15, 22, 121
Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.
$15 = 3 \cdot 5$
$22 = 2 \cdot 11$
$121 = 11^{2}$
Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.
Primzahl $2$ hat Vielfachheit 1, $3$ hat Vielfachheit 1, $5$ hat Vielfachheit 1 und $11$ hat Vielfachheit 2.
Somit gilt: $kgV (15,22,121) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11^{2} = 3630.$

444, 753, 280

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kleinstes gemeinsames Vielfaches
444, 753 und 280
Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.
$444 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 37$
$753 = 3 \cdot 251$
$280 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7$
Erkenntnis aus der Primfaktorzerlegung.
Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.
Primzahl $2$ hat Vielfachheit 3, $3$ hat Vielfachheit 1, $5$ hat Vielfachheit 1, $7$ hat Vielfachheit 1, $37$ hat Vielfachheit 1 und $251$ hat Vielfachheit 1.
Somit gilt: $kgV (444,753,280) = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 37 \cdot 251 = 7 801 080$ .

21, 32, 16, 4, 7

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kleinstes gemeinsames Vielfaches
21, 32, 16, 4, 7
Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.
$21 = 3 \cdot 7$
$32 = 2^{5}$
$16 = 2^{4}$
$4 = 2^{2}$
$7$ ist eine Primzahl.
Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.
Primzahl $2$ hat Vielfachheit 5, $3$ hat Vielfachheit 1 und $7$ hat Vielfachheit 1.
Somit gilt: $kgV (21,32,16,4,7) = 2^{5} \cdot 3 \cdot 7 = 672.$
3
Berechne den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen.
123, 456, 789

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Größter gemeinsamer Teiler
Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.
$123 = 3 \cdot 41$
$456 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 19$
$789 = 3 \cdot 263$
Erkenntnis aus der Primfaktorzerlegung: 3 ist der einzige Primfaktor, der Teiler von allen drei Zahlen ist.
$ggT = 3$

24 und 32

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Größter gemeinsamer Teiler
Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.
$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$
$32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$
Erkenntnis aus der Primfaktorzerlegung.
$ggT (24,32) = 8$

22, 154, 66

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Größter gemeinsamer Teiler
Primfaktorzerlegung
Zerlege die Zahlen einzeln in Primfaktoren.
$22 = 2 \cdot 11$
$66 = 2 \cdot 3 \cdot 11$
$154 = 2 \cdot 7 \cdot 11$
Suche gemeinsame Primfaktoren.
Gemeinsame Primfaktoren sind die Zahlen 2 und 11.
$ggT (22,66,154) = 22$ .

105 und 25

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Größter gemeinsamer Teiler
Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.
$105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$
$25 = 5 \cdot 5$
Erkenntnis aus der Primfaktorzerlegung.
$ggT (105,25) = 5$

13, 169, 2197

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Größter gemeinsamer Teiler
Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.
$13$ ist eine Primzahl.
$169 = 13 \cdot 13$
$2197 = 13 \cdot 13 \cdot 13$
$ggT (13,169,2197) = 13$

984, 1002, 382

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Größter gemeinsamer Teiler
Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.
$984 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 41$
$1002 = 2 \cdot 3 \cdot 167$
$382 = 2 \cdot 191$
Bestimme nun den größten Primfaktor bzw. das größte Produkt von Primfaktoren, das in allen drei Zahlen vorkommt.
Dieses ist gerade der größte gemeinsame Teiler.
$ggT (984,1002,382) = 2$
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Primzahlzwillinge und Primzahldrilling
Ein Primzahlzwilling besteht aus zwei Primzahlen, deren Differenz zwei ist z.B. (5,7). Gib alle Primzahlzwillinge zwischen 1 und 100 an.
Primzahldrillinge werden entsprechend den Primzahlzwillingen festgelegt, z. B. (3,5,7). Gib alle Primzahldrillinge zwischen 0 und 100 an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primzahlen
(3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), (71,73)
(3,5,7)
5
Zerlege in Primfaktoren: 377208

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
Erster möglicher Primfaktor von $377208$ ist $2$ .
$377208 : 2 = 188604$
Erster möglicher Primafktor von $188604$ ist $2$ .
$188604 : 2 = 94302$
Möglicher Primfaktor von $94302$ ist $2$ .
$94302 : 2 = 47151$
Möglicher Primfaktor von $47151$ ist $3$ .
$47151 : 3 = 15717$
Möglicher Primfaktor von $15717$ ist $3$ .
$15717 : 3 = 5239$
Möglicher Primfaktor von $5239$ ist $13$ .
$5239 : 13 = 403$
Möglicher Primfaktor von $403$ ist $13$ .
$403 : 13 = 31$
$31$ ist Primzahl und somit nicht weiter zerlegbar.
$377208 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 13^{2} \cdot 31$
Jetzt hast du $377208$ vollständig in Primfaktoren zerlegt.
6
Zerlege 931 in Primfaktoren und bestimme mit Hilfe dieser Primfaktoren die Teilermenge T(931).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
Hier geht es um die Primfaktorzerlegung und die Teilermenge.
Erster möglicher von $931$ Primfaktor ist $7$ .
$931 : 7 = 133$
Nächster möglicher Primfaktor ist 7.
$133 : 7 = 19$
Die Primfaktorzerlegung ist abgeschlossen.
$\Rightarrow 931 = 7 \cdot 7 \cdot 19$
Teilermenge
Multipliziere alle Primfaktoren untereinander:
$7 \cdot 7 = 49$
$7 \cdot 19 = 133$
$7 \cdot 7 \cdot 19 = 931$
Stelle dann die Teilermenge auf. Nehme die 1, die Primfaktoren und die gerade errechneten Produkte auf.
$T (931) = {1; 7; 19; 49; 133; 931}$
7
Zerlege 11011 in Primfaktoren und bestimme die Teilermenge T(11011).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
Primfaktorzerlegung und Teilermenge
Primfaktorzerlegung
$11011$
Da 11011 weder durch 2, 3 noch durch 5 teilbar ist, ist der erste mögliche Primfaktor 7.
$11011 : 7 = 1573$
Der nächste mögliche Primfaktor ist 11.
$1573 : 11 = 143$
Der nächste mögliche Primfaktor ist wiederum 11.
$143 : 11 = 13$
Die Primfaktorzerlegung ist damit abgeschlosssen.
$\Rightarrow 11011 = 7 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 13$
Teilermenge
Multipliziere alle Primfaktoren untereinander:
$7 \cdot 11 = 77$
$7 \cdot 13 = 91$
$11 \cdot 11 = 121$
$11 \cdot 13 = 143$
$7 \cdot 11 \cdot 11 = 847$
$7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001$
$11 \cdot 11 \cdot 13 = 1573$
$7 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 13 = 11011$
Stelle dann die Teilermenge auf. Nimm die 1, die Primfaktoren und die gerade errechneten Produkte auf.
$T (11011) = {1; 7; 11; 13; 77; 91; 121; 143; 847; 1001; 1573; 11011}$
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Zerlege in Primfaktoren: 945252000

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
Primfaktorzerlegung
$945252000$
Da es sich um eine gerade Zahl handelt ist der erste mögliche Primfaktor 2.
$945252000 : 2 = 472626000$
Wiederum ist 2 ein möglicher Primfaktor.
$472626000 : 2 = 236313000$
Auch hier ist 2 ein möglicher Primfaktor.
$236313000 : 2 = 118156500$
Nochmals ist 2 ein möglicher Primfaktor.
$118156500 : 2 = 59078250$
Hier ist 2 ebenfalls ein möglicher Primfaktor.
$59078250 : 2 = 29539125$
Hier ist 3 ein möglicher Primfaktor.
$29539125 : 3 = 9846375$
Auch hier ist 3 ein möglicher Primfaktor.
$9846375 : 3 = 3282125$
Hier ist 5 ein möglicher Primfaktor.
$3282125 : 5 = 656425$
Hier ist 5 ebenfalls ein möglicher Primfaktor.
$656425 : 5 = 131285$
Nochmals ist 5 ein möglicher Primfaktor.
$131285 : 5 = 26257$
Hier ist 7 ein möglicher Pimfaktor.
$26257 : 7 = 3751$
Ein möglicher Primfaktor ist 11.
$3751 : 11 = 341$
Hier ist nochmals 11 ein möglicher Primfaktor.
$341 : 11 = 31$
$\Rightarrow 2^{5} \cdot 3^{2} \cdot 5^{3} \cdot 7 \cdot 11^{2} \cdot 31$
9
Zerlege 3059 in Primfaktoren und bilde die Teilermenge T(3059).

Hier geht es um die Primfaktorzerlegung und die Teilermenge.
Primfaktorzerlegung
Erster möglicher Primfaktor bei $3059$ ist 7.
$3059 : 7 = 437$
Nächster möglicher Primfaktor ist 19.
$437 : 19 = 23$
Die Primfaktorzerlegung ist damit abgeschlossen.
$3059 = 7 \cdot 19 \cdot 23$
Teilermenge
Multipliziere alle Primfaktoren untereinander:
$7 \cdot 19 = 133$
$7 \cdot 23 = 161$
$19 \cdot 23 = 437$
$7 \cdot 19 \cdot 23 = 3059$
Stelle dann die Teilermenge auf. Nimm die 1, die Primfaktoren und die gerade errechneten Produkte auf.
$T (3059) = {1; 7; 19; 23; 133; 161; 437; 3059}$
10
Berechne die Teilermenge $T (819)$ und den $ggT (819,1001)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: größter gemeinsamer Teiler und Teilermenge
Primfaktorzerlegung
$819 = 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13$
$1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$
$\Rightarrow ggT (819, 1001) = 7 \cdot 13 = 91$
Teilermenge
Die Teilermenge ist die Menge aller Zahlen, die die Zahl teilen, also alle Kombinationen beliebig vieler Primfaktoren inklusive der 1.
$T (819) = {1,3,7,9,13,21,39,63,91,117,273,819}$
11
Zerlege die Zahl in Primfaktoren.
96

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
Da die gegebene Zahl 96 eine gerade Zahl ist, kannst du auf jeden Fall einmal mit 2 als erstem Primfaktor beginnen:
$96 : 2 = 48$
Ein nächster passender Teiler ist die 4:
$48 : 4 = 12$
Ein nächster passender Teiler ist die 6:
$12 : 6 = 2$
So ergibt folgende Zerlegung für 96:
$96 = 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 6$
Allerdings ist dies noch keine Primfaktorzerlegung, da 4 und 6 keine Primzahlen sind.
Deshalb musst du die 4 und die 12 noch weiter zerlegen:
$4 = 2 \cdot 2$
und:
$6 = 2 \cdot 3$
Damit erhältst du als Primfaktorzerlegung für 96:

$96 = 2 \cdot (2 \cdot 2) \cdot 2 \cdot (2 \cdot 3) = 2^{5} \cdot 3$
Natürlich gibt es noch mehr Möglichkeiten, die Teiler und Primfaktoren der Reihe nach zu bestimmen, aber das Endergebnis ist immer dasselbe.

126

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
Da die gegebene Zahl 126 eine gerade Zahl ist, kannst du auf jeden Fall einmal mit 2 als erstem Primfaktor beginnen:
$126 : 2 = 63$
Ein nächster passender Teiler ist die 3:
$63 : 3 = 21$
Ein nächster passender Teiler ist erneut die 3:
$21 : 3 = 7$
Die Zahl 7 ist bereits eine Primzahl, die Primfaktorzerlegung ist damit abgeschlossen.
$126 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 7$

250

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
Da die gegebene Zahl 250 ist, kannst du auf jeden Fall einmal mit 5 als erstem Primfaktor beginnen denn die Zahl endet mit einer Null. Alle Zahlen die mit der Null enden kann man durch 5 rechnen, Aber du kannst auch mit deinem gewählten Faktor anfangen.
$250 : 5 = 50$
Ein nächster passender Primfaktor ist erneut die 5:
$50 : 5 = 10$
Ein nächster passender Primfaktor ist die 2:
$10 : 2 = 5$
So ergibt sich folgende Primfaktorzerlegung für 250:
$= > 250 = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 5^{3}$

36

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
Da die gegebene Zahl 36 eine gerade Zahl ist, kannst du auf jeden Fall einmal mit 2 als erstem Primfaktor beginnen:
$36 : 2 = 18$
Ein nächster passender Primfaktor ist wieder die 2:
$18 : 2 = 9$
Ein nächster passender Primfaktor ist die 3:
$9 : 3 = 3$
So ergibt sich die folgende Primfaktorzerlegung.
$\Rightarrow 36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^{2} \cdot 3^{2}$

42

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
Ein erster möglicher Primfaktor ist 7:
$42 : 7 = 6$
Ein nächster passender Primfaktor ist die 3:
$6 : 3 = 2$
Damit erhälst du als Primfaktorzerlegung für 42:
$\Rightarrow 42 = 7 \cdot 3 \cdot 2$
12
Ermittle die Anzahl der Teiler der Zahl 425?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
Um die Teiler von $425$ zu bestimmen, zerlege die Zahl in ihre Primfaktoren:
$425 = 5^{2} \cdot 17 = 5 \cdot 5 \cdot 17$
Die Zahl $1$ , die Primfaktoren und deren Produkte sind dann Teiler der Zahl $425$ .
In der Primfaktorzerlegung der Teiler kann der Faktor 5 insgesamt 0,1 oder 2-mal verwendet werden. Das sind 3 Möglichkeiten. Für den Faktor 17 haben wir nur die Wahl, ob wir ihn 0 oder 1-mal benutzen (2 Möglichkeiten). Insgesamt sind das
$3 \cdot 2 = 6$
also 6 mögliche Teiler, die sich aus den Primfaktoren bilden lassen.

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Aufgaben zur Teilbarkeit natürlicher Zahlen

Primfaktorzerlegung

Teilermenge

Primfaktorzerlegung und Teilermenge

Primfaktorzerlegung

Teilermenge

Primfaktorzerlegung

Primfaktorzerlegung

Teilermenge

Primfaktorzerlegung

Teilermenge