Aufgaben zur direkten Proportionalität

1
Die folgende Wertetabelle enthält direktproportionale Wertepaare. Berechne die fehlenden Werte und trage die Wertepaare in ein Gitternetz ein.
Menge in Liter
4
6
8
Preis in €
6
12
16,5

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität
Graphisch Lösen
Zeichne die beiden Wertepaare $(4 | 6)$ und $(8 | 12)$ in ein Koordinatensystem und zeichne die Gerade durch die beiden Punkte. Nun kannst du die anderen Werte ablesen.
$x$ -Achse: $1 cm$ entspricht $2 l$ $y$ -Achse: $1 cm$ entspricht $2 €$
Menge in Liter
4
6
8
$11$
Preis in €
6
$9$
12
16,5
Rechnerische Lösung
Verwende die Proportionalitätskonstante, um den Preis pro Liter zu bestimmen. Dividiere dazu bei einem Wertepaar den Preis durch die Literanzahl:
$6$ € $: 4 l = 1,5$ €/ $l$
Ein Liter kostet also $1,50$ €
Berechne damit den Preis für $6 l$ :
$6 l \cdot 1,5$ €/ $l = 9$ €
$6 l$ kosten also $9$ €.
Beim letzen Wertepaar weißt du, dass $16,50$ € bezahlt wurden. Teile diese Zahl durch den Literpreis von $1,50$ €/ $l$
$16,50$ € $: 1,50$ € $/ l = 11 l$
Für $16,50$ € bekommt man also $11 l$ .
Hinweis: Man kann diese Aufgabe auch anders lösen, zum Beispiel mit dem Dreisatz. Wenn du einen anderen, richtigen Lösungsweg hast, kannst du ihn hier gerne noch ergänzen.
2
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Ein Getränkemarkt verkauft für ein Fest 55 Kisten Cola für 522,50 Euro. Wie viel muss man für 77 Kisten zahlen, wenn es keinen Rabatt gibt?
€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität
55 Kisten kosten 522,50€.
Dividiere durch 5, um auszurechnen, wieviel 11 Kisten kosten.
$522,50 € : 5 = 104,50 €$
11 Kisten kosten 104,50€.
Multipliziere mit 7, um auszurechnen, wieviel 77 Kisten kosten.
$104,50 € \cdot 7 = 731,50 €$
$\Rightarrow$ 77 Kisten kosten 731,50€.
3
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Ein Getränkemarkt verkauft für ein Fest 55 Kisten Cola für 522,50 Euro. Wie viele Kisten erhält man für 200 Euro? (Aufschreiben des Rechenausdrucks genügt, ausrechnen ist nicht verlangt.)
Kisten erhält man ungefähr für 200€.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität
Für diese Aufgabe brauchst du Direkte Proportionalität.
55 Kisten kosten 522,50€. Das heißt also
$55 Kisten \hat{=} 522,50 € .$
Dividiere durch 522,50, um auszurechnen, welchen Anteil einer Kiste man für 1€ bekommt.
$\frac{55}{522,50} Kisten \hat{=} 1 €$
Multipliziere mit 200, um auszurechnen, wieviele Kisten man für 200€ bekommt.
$\frac{55 \cdot 200}{522,50} Kisten \approx 21 Kisten \hat{=} 200 €$
$\Rightarrow$ Man kann etwa 21 Kisten für 200€ kaufen.
4
Zeichne jeweils rechtwinklige Dreiecke mit Hypotenuse $c = 5 c m$ und den Katheten $a = 1,0 c m$ ; $1,5 c m$ ; $2,5 c m$ bzw. $3,0 c m$ . Miss in jedem Dreieck den zugehörigen Winkel $α$ und trage ihn in unten stehende Tabelle ein. Sind Seitenlänge $a$ und Winkel $α$ zueinander proportional?
Seitenlänge a
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
Winkel $α$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Proportionalitäten
Seitenlänge a
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
Winkel $α$
11,8°
18,3°
25,8°
35,3°
48,6°
Keine Proportionalität, da das Verhältnis $\frac{a}{α}$ nicht konstant.
5
Ein 8,4m langer Pfahl steckt zu $\frac{1}{4}$ im Boden und zu 30% im Wasser. Fertige eine Skizze mit den gegebenen Daten an und berechne, wie viele Meter des Pfahls aus dem Wasser herausragen.
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität
Aus der Angabe entnimmst du folgende Informationen:
Länge des Pfahls: $8,4 m$
im Wasser: $30 %$ des Pfahls
im Boden: $\frac{1}{4}$ des Pfahls
Zeichne zuerst eine Skizze mit den angegebenen Daten.
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Nun gibt es 2 Möglichkeiten, die Aufgabe zu lösen.
1. Möglichkeit:
Strategie: Berechne zuerst wie viel Prozent des Pfahls und anschließend wie viele Meter des Pfahls aus dem Wasser herausragen.
Wandle zunächst die Anteile in Prozentangaben um.
30% des Pfahls sind im Wasser.
$\frac{1}{4} = 25 %$ des Pfahls stecken in der Erde.
Addiere die Prozentangaben um den Anteil zu erhalten, der nicht aus dem Wasser herausragt.
25% + 30% = 55%
Berechne den Anteil des Pfahls der aus dem Wasser herausragt.
100% entsprechen der gesamten Länge des Pfahls.55% des Pfahls sind unter Wasser oder in der Erde.
Also sind 100% - 55% = 45% über Wasser.
Jetzt kannst du den Anteil in Meter berechnen, der aus dem Wasser herausragt.
$0.45 \cdot 8,4 m = 3,78 m$
Diese 45% entsprechen 3,78m.
2. Möglichkeit:
Strategie: Berechne zunächst wie viel Meter des Pfahls im Wasser bzw. im Boden sind und subtrahiere dies anschließend von der Gesamtlänge des Pfahls.
Bestimme die Länge des Pfahls, die im Boden steckt.
$\frac{1}{4}$ von den 8,4 $m$ stecken im Boden. $\frac{1}{4} \cdot 8,4 m = 2,1 m$ .
2,1 $m$ des Pfahls stecken im Boden.
Berechne die Länge des Pfahls, die im Wasser steht, mit Hilfe des Dreisatzes.
$8,4 m$ $\hat{=}$ $100 %$
$\frac{8.4}{100} m = 0.084 m$ $\hat{=}$ $1 %$
$\frac{8.4}{100} m \cdot 30$ $\hat{=}$ $1 % \cdot 30$
$\Rightarrow 30 %$ $\hat{=}$ $2,52 m$
$2,52 m$ des Pfahls stehen im Wasser.
Subtrahiere die beiden Längen von der Gesamtlänge, um die Länge des Pfahls zu berechnen, die aus dem Wasser herausragt.
$8.4 m - 2.52 m - 2.1 m = 3,78 m$
Es ragen 3,78 $m$ des Pfahls aus dem Wasser.
6
Überprüfe, ob jeweils eine direkte proportionale Zuordnung vorliegt und begründe kurz.
Verbrauch in l
Strecke in km
4,25
70
12,75
210
Ja
Nein

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität
Hier liegt eine direkte proportional Zuordnung vor. Der Proportionalitätsfaktor ist konstant.
Es gilt: $70 k m : 4,25 l = 210 k m : 12,75 l$

Stückzahl
Preis in €
2
1,60
4
3,20
10
7,20
Ja
Nein

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität
Diese Zuordnung ist nicht direkt proportional.
Es ist: $1,60 € : 2 = 0,80 € = 3,20 € : 4$ , aber $7,20 € : 10 = 0,72 € \neq 0,80 €$

Menge in kg
Preis in €
2,5
10
0,5
2,5
Ja
Nein

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität
Die Zuordnung ist nicht direkt proportional. Die Quotienten "Preis pro Menge" sind nicht gleich groß.
$10 € : 2,5 k g = 4 € : k g \neq 5 € : k g = 2,5 € : 0,5 k g$
7
Eine Spiralfeder gehorcht dem Hooke’schen Gesetz. Peter hat in einer Schülerübung mit einer Spiralfeder folgende Messwerte notiert.
F (N)
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
s (cm)
4,0
8,1
11,9
16,1
19,9
Überlege dir einen geeigneten Maßstab und stelle die Messwerte graphisch dar.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität

Gib eine Gleichung an, die den Zusammenhang zwischen Kraft $F$ und Dehnung $s$ der verwendeten Feder beschreibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität
$ F = c \cdot s, c = 0,125 N / c m$

„Wenn wir an die Feder ein Massestück von $2 k g$ hängen, verlängert sie sich um ca. $1,6 m$ “, behauptet Peter. Beschreibe, wie er den Wert für die Verlängerung ermittelt haben könnte. Stimmst du seiner Aussage zu?
Peter hat recht mit seiner Aussage.
Peter's Aussage ist falsch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität
Peter hat recht. Einer Masse von $2 k g$ entspricht eine Kraft $F = 20 N$ . Für $F = 2 N$ beträgt $s = 16,1 c m$ , für $F = 20 N$ ist somit $s = 161 c m \approx 1,6 m$ .
8
Das ist ein Bild der Nationalflagge von England. Diese Fahne ist aus einem Tuch gefertigt worden, das $5,40 m$ lang und $3,00 m$ breit ist.
Zeichne die Figur für $b = 8 c m, a = 5 c m und x = 1 c m$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: direkte Proportionalität
Skizze nach Anweisung ins Heft zeichnen.

Berechne den Flächeninhalt eines der weißen Rechtecke im Inneren, wenn das Kreuz $\frac{2}{9}$ der Gesamtfläche einnimmt und die vier weißen Rechtecke kongruent sind.
m²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: direkte Proportionalität
Der Flächeninhalt der Fahne beträgt $3 m \cdot 5,40 m = 16,20 m^{2}$ .
Nach Aufgabenstellung nimmt das Kreuz $\frac{2}{9}$ des gesamten Flächeninhalts ein. Die vier Rechtecke nehmen als Komplement zusammen $1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$ der Fahnenfläche ein.
$\frac{7}{9} von 16,20 m^{2} = 12,60 m^{2}$ .
Die Rechtecke sind kongruent, also insbesondere gleich groß. Somit besitzt ein Rechteck im Inneren eine Fläche von $3,15 m^{2}$ .
9
Bei Wandverkleidungen werden häufig Profilbretter verwendet. Der im Handel angebotene Preis pro Quadratmeter bezieht sich aber auf die Fläche der Bretter und nicht auf die zusammengesteckten Bretter der zu bedeckenden Wandfläche. Es ist davon auszugehen, dass $1 m^{2}$ Bretter nur $0,9 m^{2}$ Wandfläche bedeckt.
Es sollen $12,4 m^{2}$ Wand verkleidet werden. Wie viel im Handel angebotene Quadratmeter Profilbretter müssen mindestens erworben werden?
m²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Proportionalitäten
$\frac{12,4}{0,9} m^{2} \approx 14 m^{2}$ im Handel angebotene Profilbretter müssen mindestens erworben werden.

Ein Brett ist $3,40 m$ lang und $121 m m$ breit. Wie viele Quadratmeter können mit diesem Brett tatsächlich bedeckt werden? Wie viele solcher Bretter braucht man mindestens für $1 m^{2}$ Wandfläche?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Proportionalitäten
$0, 9 \cdot (3, 40 m \cdot 121 m m) = 0,9 \cdot (3,40 m \cdot 0,121 m) \approx 0,37 m^{2}$ können mit diesem Brett tatsächlich bedeckt werden. Man braucht mindestens $3$ Bretter.

Im Prospekt wird der Quadratmeter Profilbretter zu $4,55 €$ angeboten. Wie hoch ist der Preis pro Quadratmeter Wandfläche? Reichen $75 €$ für eine Wandfläche von $13,5 m^{2}$ aus?
$75 €$ reichen für die Wandfläche.
$75 €$ reichen nicht.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Proportionalitäten
Der Preis pro Quadratmeter Wandfläche beträgt $\frac{4,55}{0,9} € \approx 5,06 €$ .
$13,5 \cdot 5,06 € = 68,31 € < 75 €$ . Also reichen $75 €$ .

Menge in Liter		4	6	8
Preis in €		6		12	16,5

Menge in Liter		4	6	8	$11$
Preis in €		6	$9$	12	16,5

Seitenlänge a	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0
Winkel $α$	11,8°	18,3°	25,8°	35,3°	48,6°

Verbrauch in l	Strecke in km
4,25	70
12,75	210

Stückzahl	Preis in €
2	1,60
4	3,20
10	7,20

Menge in kg	Preis in €
2,5	10
0,5	2,5

F (N)		0,5	1,0	1,5	2,0	2,5
s (cm)		4,0	8,1	11,9	16,1	19,9

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

Aufgaben zur direkten Proportionalität

Graphisch Lösen

Rechnerische Lösung

1. Möglichkeit:

2. Möglichkeit: