Nachtermin Teil A

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1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A 1
In einem Säckchen befinden sich sechs Kugeln gleicher Art. Drei Kugeln sind als Niete („N“), eine Kugel ist als Joker („J“) und zwei Kugeln sind als Gewinn („G“) gekennzeichnet. Man zieht zufällig eine Kugel. Beim Joker darf man ein zweites Mal ziehen. Ansonsten darf man keine weitere Kugel ziehen. Es werden keine Kugeln zurück ins Säckchen gelegt.
Zeichnen Sie ein zugehöriges Baumdiagramm, in dem alle Anteile ersichtlich sind. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Zeichne ein zugehöriges Baumdiagramm, in dem alle Anteile ersichtlich sind
Baumdiagramm
Von sechs Kugeln sind drei Kugeln als Niete („N“), eine Kugel ist als Joker („J“) und zwei Kugeln als Gewinn („G“) gekennzeichnet.
Der 1. Pfad zu $N$ hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{3}{6}$ . Von $N$ aus geht es nicht weiter.
Der 2. Pfad zu $J$ hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$ . Von $J$ aus darf man ein zweites Mal ziehen. Dann kann man nur $N$ oder $G$ ziehen. Es gibt jetzt noch fünf Kugeln, davon sind drei Kugeln $N$ und zwei Kugeln $G$ . Die Wahrscheinlichkeit $N$ zu ziehen ist $\frac{3}{5}$ und die Wahrscheinlichkeit $G$ zu ziehen ist $\frac{2}{5}$ .
Der 3. Pfad zu $G$ hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{2}{6}$ . Von $G$ aus geht es nicht weiter.
Zeichne ein Baumdiagramm.
Nur wenn $J$ gezogen wird, darf man noch einmal ziehen.
Beachte: Es wird ohne Zurücklegen gezogen.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man am Ende eine als Gewinn
gekennzeichnete Kugel gezogen hat. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man am Ende eine als Gewinn gekennzeichnete Kugel gezogen hat
$P (Gewinn) = P (G) + P (J G) = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{10 + 2}{30} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass man am Ende eine als Gewinn gekennzeichnete Kugel gezogen hat, beträgt $\frac{2}{5}$ .
Berechne $P (Gewinn) = P (G) + P (J G)$ .
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A 2
Das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck $A B C$ ist die Grundfläche des geraden Prismas $A B C D E F$ mit einem Volumen von $1000 {cm}^{3}$ (vgl. Skizze).
Es gilt: $| A B | = | A C | = 10 cm$ .
Berechnen Sie die Länge der Strecke $A D$ .
(2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma
Berechne die Länge der Strecke $A D$
Gegeben ist $V_{Prisma} = 1000 {cm}^{3}$ .
Die Grundseite $G$ des Prismas ist ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit $| A B | = | A C | = 10 cm$ :
$G = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50 {cm}^{2}$
$V_{Prisma} = G \cdot h = 50 {cm}^{2} \cdot | A D | = 1000 {cm}^{3} \Rightarrow | A D | = \frac{1000 {cm}^{3}}{50 {cm}^{2}} = 20 cm$
Die Länge der Strecke $A D$ beträgt $20 cm$ .
Gegeben ist $V_{Prisma} = 1000 {cm}^{3} = G \cdot h$ .
Die Grundseite $G$ des Prismas ist ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck. Berechne die Dreiecksfläche $G$ .
Gesucht ist die Höhe $h = | A D |$ . Löse die obige Gleichung nach $h$ auf.
3
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A 3
Die Parabel $p$ hat die Gleichung $y = 0,5 x^{2} - 3 (x, y \in ℝ)$ .
Zeichnen Sie die Parabel $p$ für $x \in [- 3; 3]$ in das Koordinatensystem ein. (1,5 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel zeichnen
Erstelle eine Wertetabelle für $x \in [- 3; 3]$ . Trage die Punkte ins koordinatensystem ein und verbinde sie zum Graphen der Parabel $p$ .
$x$
$- 3$
$- 2$
$- 1$
$0$
$1$
$2$
$3$
$y$
$1,5$
$- 1$
$- 2,5$
$- 3$
$- 2,5$
$- 1$
$1,5$
Parabel
Erstelle eine Wertetabelle für $x \in [- 3; 3]$ . Trage die Punkte ins Koordinatensystem ein und verbinde sie zum Graphen der Parabel $p$ .

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$1,5$	$- 1$	$- 2,5$	$- 3$	$- 2,5$	$- 1$	$1,5$

Aufgabe A 4

Die Parabel $q$ hat die Gleichung $y = - 0,5 x^{2} + 2 x + 1 (x, y \in ℝ) .$

Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel $q$ . (2 P)

5
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A 5
Nebenstehende Skizze zeigt den Halbkreisbogen $\overset{⌢}{P}$ mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $a$ sowie den Viertelkreisbogen $\overset{⌢}{Q}$ mit dem Mittelpunkt $P$ und dem Radius $2 a$ .
Zeigen Sie, dass die beiden Kreisbögen $\overset{⌢}{P}$ und $\overset{⌢}{Q}$ gleich lang sind. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisbogen, Kreissektor und Kreisring
Zeige, dass die beiden Kreisbögen $\overset{⌢}{P}$ und $\overset{⌢}{Q}$ gleich lang sind
Für den Kreisbogen gilt allgemein:
$b = \frac{α}{360^{\circ}} \cdot 2 π r$
Berechne die Kreisbogenlänge von $\overset{⌢}{P}$ :
Hier ist $α = 180^{\circ}$ und $r = a$ .
$\Rightarrow \overset{⌢}{P} = \frac{α}{360^{\circ}} \cdot 2 \cdot π \cdot r = \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2 \cdot π \cdot a = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot π \cdot a = π \cdot a$
Berechne die Kreisbogenlänge von $\overset{⌢}{Q}$ :
Hier ist $α = 90^{\circ}$ und $r = 2 a$ .
$\Rightarrow \overset{⌢}{Q} = \frac{α}{360^{\circ}} \cdot 2 \cdot π \cdot r = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2 \cdot π \cdot 2 a = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot π \cdot 2 a = π \cdot a$
Die beiden Kreisbögen $\overset{⌢}{P}$ und $\overset{⌢}{Q}$ sind gleich lang.
Für den Kreisbogen gilt allgemein: $b = \frac{α}{360^{\circ}} \cdot 2 π r$ .
Berechne jeweils die Kreisbogenlänge für $\overset{⌢}{P}$ und für $\overset{⌢}{Q}$ und vergleiche.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$y$	$=$	$- 0,5 x^{2} + 2 x + 1$
	↓	Klammere $- 0,5$ aus.
	$=$	$- 0,5 (x^{2} - 4 x - 2)$
	↓	Ergänze quadratisch mit $2^{2}$ .
	$=$	$- 0,5 (x^{2} - 4 x + 2^{2} - 2^{2} - 2)$
	↓	Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen.
	$=$	$- 0,5 ((x - 2)^{2} - 2^{2} - 2)$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$- 0,5 ((x - 2)^{2} - 6)$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$- 0,5 {(x - 2)}^{2} + 3$

Nachtermin Teil A

Aufgabe A 1

Zeichne ein zugehöriges Baumdiagramm, in dem alle Anteile ersichtlich sind

Baumdiagramm

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man am Ende eine als Gewinn gekennzeichnete Kugel gezogen hat

Aufgabe A 2

Berechne die Länge der Strecke $A D$

Aufgabe A 3

Aufgabe A 4

1. Möglichkeit: Lösung anhand der Scheitelform

2. Möglichkeit: Lösung anhand der allgemeinen Form

Aufgabe A 5

Zeige, dass die beiden Kreisbögen $\overset{⌢}{P}$ und $\overset{⌢}{Q}$ gleich lang sind

Berechne die Kreisbogenlänge von $\overset{⌢}{P}$ :

Berechne die Kreisbogenlänge von $\overset{⌢}{Q}$ :

Nachtermin Teil A

Aufgabe A 1

Zeichne ein zugehöriges Baumdiagramm, in dem alle Anteile ersichtlich sind

Baumdiagramm

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man am Ende eine als Gewinn gekennzeichnete Kugel gezogen hat

Aufgabe A 2

Berechne die Länge der Strecke AD

Aufgabe A 3

Aufgabe A 4

1. Möglichkeit: Lösung anhand der Scheitelform

2. Möglichkeit: Lösung anhand der allgemeinen Form

Aufgabe A 5

Zeige, dass die beiden Kreisbögen P⌢ und Q⌢ gleich lang sind

Berechne die Kreisbogenlänge von P⌢:

Berechne die Kreisbogenlänge von Q⌢:

Berechne die Länge der Strecke $A D$

Zeige, dass die beiden Kreisbögen $\overset{⌢}{P}$ und $\overset{⌢}{Q}$ gleich lang sind

Berechne die Kreisbogenlänge von $\overset{⌢}{P}$ :

Berechne die Kreisbogenlänge von $\overset{⌢}{Q}$ :