Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Ebenen

Hier findest du Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Ebenen. Lerne, die Lagebeziehung zu untersuchen und lineare Gleichungssysteme zu lösen!

Untersuche die gegenseitige Lage der gegebenen Ebenen in Koordinatenform. Bestimme die Schnittgerade, falls sich die Ebenen schneiden.

$E_{1} : - x_{1} + 2 \cdot x_{2} + x_{3} = 1$

$E_{2} : x_{1} + 4 \cdot x_{2} + 3 \cdot x_{3} = 7$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen

Gegeben sind die beiden Ebenen:

$\begin{array}{rrcrcrcr} E_{1} : & - x_{1} & + & 2 \cdot x_{2} & + & x_{3} & = & 1 \\ E_{2} : & x_{1} & + & 4 \cdot x_{2} & + & 3 \cdot x_{3} & = & 7 \end{array}$

Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.

Gleichungssystem lösen

$\begin{array}{rrcrcrcr} (I) & - x_{1} & + & 2 \cdot x_{2} & + & x_{3} & = & 1 \\ (I I) & x_{1} & + & 4 \cdot x_{2} & + & 3 \cdot x_{3} & = & 7 \end{array}$

Löse eine der beiden Gleichungen nach einer der Variablen auf,

z.B. die erste Gleichung nach $x_{3}$ .

$(I) - x_{1} + 2 x_{2} + x_{3}$	$=$	$1$	$+ x_{1} - 2 x_{2}$
$(I^{'}) x_{3}$	$=$	$1 + x_{1} - 2 x_{2}$

Setze dies in die Gleichung $(I I)$ ein.

$(I^{'})$ in $(I I)$ :

$(II) x_{1} + 4 x_{2} + 3 x_{3}$	$=$	$7$
	↓	Setze $x_{3} = 1 + x_{1} - 2 x_{2}$ ein.
$x_{1} + 4 x_{2} + 3 \cdot (1 + x_{1} - 2 x_{2})$	$=$	$7$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
$x_{1} + 4 x_{2} + 3 + 3 x_{1} - 6 x_{2}$	$=$	$7$
	↓	Fasse zusammen.
$4 x_{1} - 2 x_{2} + 3$	$=$	$7$	$- 3$
	↓	Vereinfache die Gleichung, indem du die konstanten Terme auf dieselbe Seite bringst und zusammenrechnest.
$4 x_{1} - 2 x_{2}$	$=$	$4$	$- 4 x_{1}$
	↓	Löse diese Gleichung jetzt nach einer der Variablen auf, zum Beispiel nach $x_{2}$ .
$- 2 x_{2}$	$=$	$4 - 4 x_{1}$	$: (- 2)$
$({II}^{'}) x_{2}$	$=$	$- 2 + 2 x_{1}$

Setze dies wiederum in $(I^{'})$ ein.

$(I I^{'})$ in $(I^{'})$ :

$(I^{'}) x_{3}$	$=$	$1 + x_{1} - 2 x_{2}$
	↓	Setze $x_{2} = - 2 + 2 x_{1}$ ein.
$x_{3}$	$=$	$1 + x_{1} - 2 \cdot (- 2 + 2 x_{1})$
	↓	Löse die Klammer auf.
$x_{3}$	$=$	$1 + x_{1} + 4 - 4 x_{1}$
	↓	Fasse zusammen.
$x_{3}$	$=$	$5 - 3 x_{1}$

Das ist die neue Gleichung, die du statt Gleichung $(I^{'})$ nun erhalten hast.

$\Rightarrow (I^{''}) x_{3} = 5 - 3 x_{1}$

Da das Gleichungssytem zwar drei Unbekannte enthält, aber nur aus zwei Gleichungen besteht, ist es unterbestimmt. Das heißt, es wird keine eindeutig bestimmte Lösung dazu geben.

Du hast jedoch mit den Gleichungen $(I I^{'})$ und $(I^{''})$ das Gleichungssystem so umgeformt, dass du $x_{2}$ und $x_{3}$ in Abhängigkeit von $x_{1}$ dargestellt hast.

$\begin{array}{rrcrcr} (I I^{'}) & x_{2} & = & - 2 & + & 2 x_{1} \\ (I^{''}) & x_{3} & = & 5 & - & 3 x_{1} \end{array}$

Betrachte nun $x_{1}$ als Parameter, der einen beliebigen reellen Wert annehmen kann, und wähle dafür geeigneter Weise irgendeinen für Parameter "üblichen" Buchstaben als Bezeichnung.

Setze $t = x_{1}$ . Dadurch kannst du $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ in Abhängigkeit von t ausdrücken.

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & t \\ x_{2} & = & - 2 + 2 t \\ x_{3} & = & 5 - 3 t \end{array}$

Damit kannst du die Lösungsmenge angeben.

$𝕃 = {(t | - 2 + 2 t | 5 - 3 t) | t \in ℝ}$

Gleichung der Schnittgerade angeben

Mit Vektoren geschrieben, sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:

g : \vec{x} = (\begin{array}{c} t \\ - 2 + 2 t \\ 5 - 3 t \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ 5 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array})

Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen hat die Gleichung:

g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ 5 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array})

$E_{1} : - 4 \cdot x_{1} + 3 \cdot x_{2} + 2 \cdot x_{3} = 5$

$E_{2} : 2 \cdot x_{1} + x_{2} - x_{3} = 0$

$E_{1} : - x_{1} + 2 \cdot x_{2} - 2 \cdot x_{3} = 5$
$E_{2} : 2 \cdot x_{1} - 4 \cdot x_{2} + 4 \cdot x_{3} = - 10$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
$\begin{array}{rrcrcrcr} E_{1} : & - x_{1} & + & 2 x_{2} & - & 2 x_{3} & = & 5 \\ E_{2} : & 2 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & 4 x_{3} & = & - 10 \end{array}$
Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Gleichungssystem lösen
$\begin{array}{rrcrcrcr} (I) & - x_{1} & + & 2 x_{2} & - & 2 x_{3} & = & 5 \\ (I I) & 2 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & 4 x_{3} & = & - 10 \end{array}$
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: $2 (I) + (II)$
$\begin{array}{rrcrcrcr} 2 \cdot (I) & - x_{1} & + & 2 x_{2} & - & 2 x_{3} & = & 5 \\ + (I I) & 2 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & 4 x_{3} & = & - 10 \end{array}$
$0 x_{1} + 0 x_{2} + 0 x_{3} = 0$
Da das Ergebnis aus der Addition der Gleichungen eine Gleichung ist, die immer richtig ist ( $0 = 0$ ), sind die beiden Gleichungen $(I)$ und $(II)$ identisch. Somit sind die Ebenen auch gleich und liegen aufeinander.
Lösung: Die Ebenen sind identisch.
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
$E_{1} : - x_{1} + 2 \cdot x_{2} + x_{3} = 1$
$E_{2} : 2 \cdot x_{1} - 4 \cdot x_{2} - 2 \cdot x_{3} = - 5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
$\begin{array}{rrcrcrcr} E_{1} : & - x_{1} & + & 2 x_{2} & - & x_{3} & = & 1 \\ E_{2} : & 2 x_{1} & - & 4 x_{2} & - & 2 x_{3} & = & - 5 \end{array}$
Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Gleichungssystem lösen
$\begin{array}{rrcrcrcr} (I) & - x_{1} & + & 2 x_{2} & - & x_{3} & = & 1 \\ (II) & 2 x_{1} & - & 4 x_{2} & - & 2 x_{3} & = & - 5 \end{array}$
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: $2 (I) + (II)$
$\begin{array}{rrcrcrcr} 2 \cdot (I) & - x_{1} & + & 2 x_{2} & - & x_{3} & = & 1 \\ + (II) & 2 x_{1} & - & 4 x_{2} & - & 2 x_{3} & = & - 5 \end{array}$
$0 x_{1} + 0 x_{2} + 0 x_{3} = - 3$
Es existiert keine Lösung des linearen Gleichungssystems. Die Gleichung, die sich aus der Addition der Gleichungen $(I)$ und $(II)$ ergibt, ist immer falsch ( $0 = - 3$ ). Daher sind die Ebenen parallel zueinander.
Antwort: Die Ebenen verlaufen echt parallel zueinander.
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
$E_{1} : x_{1} + x_{2} - x_{3} - 1 = 0$
$E_{2} : 4 \cdot x_{1} - x_{2} - x_{3} - 3 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen: $\begin{array}{cccccccl} E_{1} : x_{1} & + & x_{2} & - & x_{3} & - & 1 & = & 0 \\ E_{2} : 4 \cdot x_{1} & - & x_{2} & - & x_{3} & - & 3 & = & 0 \end{array}$
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.
Gleichungssystem lösen
$\begin{array}{cccccccl} (I) & x_{1} & + & x_{2} & - & x_{3} & = & 1 \\ (I I) & 4 \cdot x_{1} & - & x_{2} & - & x_{3} & = & 3 \end{array}$
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: $(I) + (II)$
$\begin{array}{rccccccl} (I) & x_{1} & + & x_{2} & - & x_{3} & = & 1 \\ + (I I) & 4 \cdot x_{1} & - & x_{2} & - & x_{3} & = & 3 \end{array}$
$= (I^{'}) 5 x_{1} + 0 x_{2} - 2 x_{3} = 4$
Die neu entstandene Gleichung $(I^{'})$ kannst du nun nach $x_{1}$ auflösen.
$(I^{'}) 5 x_{1} - 2 x_{3}$ $=$ $4$ $+ 2 x_{3}$
$5 x_{1}$ $=$ $4 + 2 x_{3}$ $: 5$
$x_{1}$ $=$ $\frac{4}{5} + \frac{2}{5} x_{3}$
↓
Wandle in Dezimalbrüche um.
$({II}^{'}) x_{1}$ $=$ $0,8 + 0,4 x_{3}$
Nun hast du $x_{1}$ in Abhängigkeit von $x_{3}$ dargestellt. Stelle nun auch noch $x_{2}$ in Abhängigkeit von $x_{3}$ dar. Setze dafür zum Beispiel Gleichung $(I I^{'})$ in Gleichung $(I)$ ein und löse nach $x_{2}$ auf:
$({II}^{'})$ in $(I)$ :
$x_{1} + x_{2} - x_{3}$ $=$ $1$
↓
Setze $x_{1} = 0,8 + 0,4 x_{3}$ ein.
$(0,8 + 0,4 x_{3}) + x_{2} - x_{3}$ $=$ $1$
↓
Löse die Klammer auf.
$0,8 + 0,4 x_{3} + x_{2} - x_{3}$ $=$ $1$
↓
Vereinfache.
$0,8 + x_{2} - 0,6 x_{3}$ $=$ $1$ $- 0,8 + 0,6 x_{3}$
↓
Löse nach $x_{2}$ auf.
$x_{2}$ $=$ $0,2 + 0,6 x_{3}$
Wähle nun $x_{3} = t$ . Dadurch kannst du $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ in Abhängigkeit von $t$ ausdrücken.
$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & 0,8 + 0,4 t \\ x_{2} & = & 0,2 + 0,6 t \\ x_{3} & = & t \end{array}$
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
$𝕃 = {(0,8 + 0,4 t | 0,2 + 0,6 t | t) | t \in ℝ}$
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0,8 + 0,4 t \\ 0,2 + 0,6 t \\ t \end{array}) = (\begin{array}{c} 0,8 \\ 0,2 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 0,4 \\ 0,6 \\ 1 \end{array})$
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ hat die Gleichung:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0,8 \\ 0,2 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 0,4 \\ 0,6 \\ 1 \end{array})$
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
$E_{1} : 2 \cdot x_{1} - 3 \cdot x_{2} + x_{3} = 2$
$E_{2} : - 6 \cdot x_{1} + 9 \cdot x_{2} - 3 \cdot x_{3} = 5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen: $\begin{array}{cccccccl} E_{1} : 2 x_{1} & - & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 2 \\ E_{2} : - 6 x_{1} & + & 9 x_{2} & - & 3 x_{3} & = & 5 \end{array}$
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Lösen des Gleichungssystems
$\begin{array}{cccccccl} (I) & 2 x_{1} & - & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 2 \\ (I I) & - 6 x_{1} & + & 9 x_{2} & - & 3 x_{3} & = & 5 \end{array}$
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: $3 \cdot (I) + (II)$
$\begin{array}{rccccccl} 3 \cdot (I) & 2 x_{1} & - & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 2 \\ + (I I) & - 6 x_{1} & + & 9 x_{2} & - & 3 x_{3} & = & 5 \end{array}$
$0 x_{1} + 0 x_{2} + 0 x_{3} = 11$
Es existiert keine Lösung des linearen Gleichungssystems. Die Gleichung, die sich aus der Addition der Gleichungen $(I)$ und $(II)$ ergibt, ist immer falsch ( $0 = 11$ ). Daher sind die Ebenen parallel zueinander.
Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ sind parallel zueinander.
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
$E_{1} : - x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 5 \cdot x_{3} = 10$
$E_{2} : 2 \cdot x_{1} - 4 \cdot x_{2} + x_{3} = 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen: $\begin{array}{cccccccl} E_{1} : - x_{1} & + & 2 x_{2} & + & 5 x_{3} & = & 10 \\ E_{2} : 2 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & x_{3} & = & 4 \end{array}$
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Lösen des Gleichungssystems
$\begin{array}{rccccccl} (I) & - x_{1} & + & 2 x_{2} & + & 5 x_{3} & = & 10 \\ (I I) & 2 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & x_{3} & = & 4 \end{array}$
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: $2 \cdot (I) + (II)$
$\begin{array}{lrrrrrrrrr} 2 \cdot (I) & - x_{1} & + & 2 x_{2} & + & 5 x_{3} & = & 10 \\ + & (I I) & 2 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & x_{3} & = & 4 \\ = & (I^{'}) & 0 x_{1} & + & 0 x_{2} & + & 11 x_{3} & = & 24 \end{array}$
Löse die entstandene Gleichung nach $x_{3}$ auf.
$11 x_{3}$ $=$ $24$ $: 11$
$x_{3}$ $=$ $\frac{24}{11}$
Setze nun Gleichung $x_{3}$ z. B. in Gleichung $(I)$ ein und löse nach $x_{1}$ auf:
$(I) - x_{1} + 2 x_{2} + 5 x_{3}$ $=$ $10$
↓
Setze $x_{3} = \frac{24}{11}$ ein.
$- x_{1} + 2 x_{2} + 5 \cdot \frac{24}{11}$ $=$ $10$
$- x_{1} + 2 x_{2} + \frac{120}{11}$ $=$ $10$ $+ x_{1} - 10$
↓
Löse nach $x_{1}$ auf.
$2 x_{2} + \frac{120}{11} - 10$ $=$ $x_{1}$
↓
Addiere die Zahlen.
$2 x_{2} + \frac{120}{11} - \frac{110}{11}$ $=$ $x_{1}$
$2 x_{2} + \frac{10}{11}$ $=$ $x_{1}$
Du hast nun $x_{1}$ in Abhängigkeit von $x_{2}$ dargestellt. Für $x_{2}$ kannst Du z. B. den Parameter $t$ setzen. Dadurch kannst du $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ in Abhängigkeit von $t$ ausdrücken.
$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & \frac{10}{11} + 2 t \\ x_{2} & = & t \\ x_{3} & = & \frac{24}{11} \end{array}$
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
$𝕃 = {(\frac{10}{11} + 2 t | t | \frac{24}{11}) | t \in ℝ}$
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} \frac{10}{11} + 2 t \\ t \\ \frac{24}{11} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{10}{11} \\ 0 \\ \frac{24}{11} \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})$
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ hat die Gleichung:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} \frac{10}{11} \\ 0 \\ \frac{24}{11} \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})$
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
$E_{1} : \frac{1}{3} \cdot x_{1} + \frac{1}{6} \cdot x_{2} + \frac{1}{2} \cdot x_{3} = 1$
$E_{2} : 2 \cdot x_{1} + x_{2} + 3 \cdot x_{3} - 6 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen: $\begin{array}{cccccccl} E_{1} : \frac{1}{3} x_{1} & + & \frac{1}{6} x_{2} & + & \frac{1}{2} x_{3} & = & 1 \\ E_{2} : 2 x_{1} & + & x_{2} & + & 3 x_{3} & - 6 = & 0 \end{array}$
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Lösen des Gleichungssystems
Forme $E_{2}$ noch so um, dass die 6 auf der rechten Seite steht.
$\begin{array}{rccccccl} (I) & \frac{1}{3} x_{1} & + & \frac{1}{6} x_{2} & + & \frac{1}{2} x_{3} & = & 1 \\ (I I) & 2 x_{1} & + & x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 6 \end{array}$
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: $6 \cdot (I) - (II)$
$\begin{array}{rrrrrrrrrl} 6 \cdot (I) & \frac{1}{3} x_{1} & + & \frac{1}{6} x_{2} & + & \frac{1}{2} x_{3} & = & 1 \\ - & (I I) & 2 x_{1} & + & x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 6 \\ 0 x_{1} & + & 0 x_{2} & + & 0 x_{3} & = & 0 \end{array}$
Da das Ergebnis aus der Addition der Gleichungen eine Gleichung ist, die immer richtig ist ( $0 = 0$ ), sind die beiden Gleichungen $(I)$ und $(II)$ identisch. Somit sind die Ebenen auch gleich und liegen aufeinander.
Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ sind identisch.
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
$E_{1} : 5 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 3 \cdot x_{3} = 30$
$E_{2} : 10 \cdot x_{1} + 7 \cdot x_{2} - 12 \cdot x_{3} = 45$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen: $\begin{array}{rcccccl} E_{1} : & 5 x_{1} & + & 2 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 30 \\ E_{2} : & 10 x_{1} & + & 7 x_{2} & - & 12 x_{3} & = & 45 \end{array}$
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.
Lösen des Gleichungssystems
$\begin{array}{rccccccl} (I) & 5 x_{1} & + & 2 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 30 \\ (I I) & 10 x_{1} & + & 7 x_{2} & - & 12 x_{3} & = & 45 \end{array}$
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: $(- 2) \cdot (I) + (II)$
$\begin{array}{rrrrrrrrrr} (- 2) (I) & 5 x_{1} & + & 2 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 30 \\ + & (I I) & 10 x_{1} & + & 7 x_{2} & - & 12 x_{3} & = & 45 \\ 0 x_{1} & + & 3 x_{2} & - & 18 x_{3} & = & - 15 \end{array}$
Löse die entstandene Gleichung nach $x_{2}$ oder $x_{3}$ auf. Auflösen nach $x_{2}$ ergibt:
$3 x_{2} - 18 x_{3}$ $=$ $- 15$ $+ 18 x_{3}$
$3 x_{2}$ $=$ $- 15 + 18 x_{3}$ $: 3$
$({II}^{'}) x_{2}$ $=$ $- 5 + 6 x_{3}$
Setze nun die neue Gleichung $(I I^{'})$ z. B. in Gleichung $(I)$ ein und löse nach $x_{1}$ auf:
$5 x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3}$ $=$ $30$
↓
Setze $x_{2} = - 5 + 6 x_{3}$ ein.
$5 x_{1} + 2 \cdot (- 5 + 6 x_{3}) + 3 x_{3}$ $=$ $30$
$5 x_{1} - 10 + 12 x_{3} + 3 x_{3}$ $=$ $30$
↓
Fasse zusammen.
$5 x_{1} - 10 + 15 x_{3}$ $=$ $30$ $+ 10 - 15 x_{3}$
↓
Löse nach $x_{1}$ auf.
$5 x_{1}$ $=$ $40 - 15 x_{3}$ $: 5$
$x_{1}$ $=$ $8 - 3 x_{3}$
Du hast nun $x_{1}$ und $x_{2}$ in Abhängigkeit von $x_{3}$ dargestellt. Für $x_{3}$ kannst Du z. B. den Parameter $t$ setzen.
$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & 8 - 3 t \\ x_{2} & = & - 5 + 6 t \\ x_{3} & = & t \end{array}$
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
$𝕃 = {(8 - 3 t | - 5 + 6 t | t) | t \in ℝ}$
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 8 - 3 t \\ - 5 + 6 t \\ t \end{array}) = (\begin{array}{c} 8 \\ - 5 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 6 \\ 1 \end{array})$
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ hat die Gleichung:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 8 \\ - 5 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 6 \\ 1 \end{array})$
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.

$E_{1} : - 2 \cdot x_{1} + 3 \cdot x_{2} + 4 \cdot x_{3} = 12$

$E_{2} : x_{1} + 4 \cdot x_{2} - 3 \cdot x_{3} = 0$

$E_{1} : 3 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} + x_{3} - 4 = 0$
$E_{2} : - 2 \cdot x_{1} + x_{2} - 3 \cdot x_{3} = 7$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
$\begin{array}{cccccccl} E_{1} : 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & x_{3} & - & 4 & = & 0 & und \\ E_{2} : - 2 x_{1} & + & x_{2} & - & 3 x_{3} & = & 7 \end{array}$
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.
Lösen des Gleichungssystems
$\begin{array}{cccccccl} (I) 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & x_{3} & = & 4 \\ (I I) - 2 x_{1} & + & x_{2} & - & 3 x_{3} & = & 7 \end{array}$
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: $(I) + 2 \cdot (II)$
$\begin{array}{rrrrrrr} (I) & 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & x_{3} & = & 4 \\ + & 2 \cdot (I I) & - 2 x_{1} & + & x_{2} & - & 3 x_{3} & = & 7 \\ - x_{1} & + & 0 x_{2} & - & 5 x_{3} & = & 18 \end{array}$
Löse die neu entstandene Gleichung nach $x_{1}$ auf.
$- x_{1} - 5 x_{3}$ $=$ $18$ $+ x_{1} - 18$
$(I^{'}) x_{1}$ $=$ $- 5 x_{3} - 18$
Setze nun Gleichung $(I^{'})$ z. B. in Gleichung $(I)$ ein und löse nach $x_{2}$ auf:
$(I) 3 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3}$ $=$ $4$
↓
Setze $x_{1} = - 5 x_{3} - 18$ ein.
$3 \cdot (- 5 x_{3} - 18) - 2 x_{2} + x_{3}$ $=$ $4$
$- 15 x_{3} - 54 - 2 x_{2} + x_{3}$ $=$ $4$
$- 14 x_{3} - 54 - 2 x_{2}$ $=$ $4$ $- 4 + 2 x_{2}$
$- 14 x_{3} - 58$ $=$ $2 x_{2}$ $: 2$
$- 7 x_{3} - 29$ $=$ $x_{2}$
Du hast nun $x_{1}$ und $x_{2}$ in Abhängigkeit von $x_{3}$ dargestellt. Für $x_{3}$ kannst Du z. B. den Parameter $t$ setzen. Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
$𝕃 = {(- 18 - 5 t | - 29 - 7 t | t) | t \in ℝ}$
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 18 - 5 t \\ - 29 - 7 t \\ t \end{array}) = (\begin{array}{c} - 18 \\ - 29 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ - 7 \\ 1 \end{array})$
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ hat die Gleichung:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 18 \\ - 29 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ - 7 \\ 1 \end{array})$
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.

2
Bestimme die Schnittmenge der in Parameter- und Normalenform gegebenen Ebenen.
$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$ und
$E_{2} : (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ - 6 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 3 \end{array})] = 0$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Zunächst muss die Koordinatenform der Ebene $E_{2}$ gebildet werden. Dazu ist das Skalarprodukt aus Normalenvektor ${\vec{n}}_{2}$ und dem Differenzvektor zu bilden:
$(\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ - 6 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ - 6 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 3 \end{array}) = 0$
$\Rightarrow 2 x_{1} - 3 x_{2} - 6 x_{3} - (8 - 12 - 18) = 0$
Daraus folgt die Koordinatenform:
$E_{2} : 2 x_{1} - 3 x_{2} - 6 x_{3} + 22 = 0$
Die Parameterform von $E_{1}$ besteht aus 3 Gleichungen für $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ . Diese werden an die Stelle der 3 Koordinaten in $E_{2}$ eingesetzt:
$2 \cdot (1 + 3 r + 0 s) - 3 \cdot (4 + 2 r - 2 s) - 6 \cdot (2 + 0 r + s) + 22 = 0$
Die Klammern werden aufgelöst und passende Terme werden zusammengefasst:
$2 + 6 r - 12 - 6 r + 6 s - 12 - 6 s + 22 = 0 \Rightarrow 0 = 0$
Das Ergebnis war: $0 = 0$ . Das ist offensichtlich eine wahre Aussage. Unabhängig von den Werten der Parameter $r$ und $s$ entsteht immer eine wahre Aussage. Daher müssen die Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ identisch sein.
Wandle $E_{2}$ in Koordinatenform um. Nun können die drei Koordinaten (Zeilen) der Gleichung in Parameterform, also $E_{1}$ in die Koordinatenform von $E_{2}$ eingesetzt werden. Nach der Vereinfachung der Gleichung kann daran abgelesen werden, welche Lagebeziehung vorliegt!

$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array})$ und $E_{2} : (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})] = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zweier Ebenen
1) Der allgemeine Ortsvektor der Ebene $E_{1}$ wird in die Ebene $E_{2}$ eingesetzt.
$(\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})] = 0$
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
$(\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array})] = 0$
2) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
$(\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) = 0$
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
$(2 \cdot (- 2) + (- 3) \cdot 2 + 1 \cdot 0) + r \cdot (2 \cdot 2 + (- 1) \cdot (- 3) + (- 2) \cdot 1) + s \cdot (2 \cdot 2 + 1 \cdot (- 3) + 4 \cdot 1) = 0$
$(- 4 - 6 + 0) + r \cdot (4 + 3 - 2) + s \cdot (4 - 3 + 4) = 0$
$(I^{'}) : - 10 + 5 r + 5 s = 0$
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung $(I^{'})$ mit den beiden Parametern $r$ und $s$ erhalten. Diese Gleichung kannst Du nach einem der beiden Parameter auflösen, hier z.B. nach $s$ .
$(I^{''}) : s = 2 - r$
Du kannst nun die Gleichung $(I^{''})$ in die Ebenengleichung $E_{1}$ einsetzen:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) + (2 - r) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array}) =$
$(\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) + (- r) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array}) =$
$(\begin{array}{c} - 1 + 4 \\ 2 + 2 \\ 1 + 8 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 - 2 \\ - 1 - 1 \\ - 2 - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 9 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ - 6 \end{array})$
Du hast die Parameterform einer Geraden erhalten.
Antwort: Die Schnittmenge der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ ist eine Gerade mit der Gleichung: $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 9 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ - 6 \end{array})$
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{1}$ in die Normalenform der Ebene $E_{2}$ ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
2) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ und
$E_{2} : (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ - 7 \end{array})] = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Zunächst muss die Koordinatenform der Ebene $E_{2}$ gebildet werden. Rechne das Skalarprodukt aus.
$E_{2} : (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \circ \vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ - 7 \end{array}) = 0$
Daraus folgt die Koordinatenform:
$E_{2} : 0 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2} + 0 \cdot x_{3} - 2 = 0$
Für jede Koordinate $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ wird nun die entsprechende Zeile aus der Parameterform der Gleichung $E_{1}$ eingesetzt. (Beim Lösen von Gleichungen würde das als Einsetzverfahren bezeichnet werden.)
Setze $x_{1} = 0$ ; $x_{2} = - 1 + r + s$ und $x_{3} = 0$ in $E_{2}$ ein:
$1 \cdot (- 1 + r + s) - 2 = 0$
Die Klammer wird ausmultipliziert und die Gleichung wird nach dem Parameter $r$ aufgelöst:
$r = 3 - s$
Durch Einsetzen dieser Beziehung $r = 3 - s$ in $E_{1}$ kann ein Parameter eliminiert werden. Es ergibt sich so die Parameterform einer Geraden.
Die Schnittmenge der beiden Ebenen ist also eine Gerade.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) + (3 - s) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \Rightarrow$
$\vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) + 3 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) - s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \Rightarrow$
$\vec{x} = (\begin{array}{c} 8 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
Beginne damit die Ebene $E_{2}$ in die Koordinatenform umzuwandeln. Dann kannst du die Ebene $E_{1}$ in $E_{2}$ einsetzen und den Parameter finden, welcher zur Schnittgeraden führt.

$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$ und $E_{2} : (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}) \circ \vec{x} - 4 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Die Ebene $E_{2}$ in Koordinatenform lautet: $3 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 1 \cdot x_{3} - 4 = 0$
Lies aus der Parameterform der Ebene $E_{1}$ die Gleichungen für die Koordinaten $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ ab.
$x_{1} = 1 + r - s; x_{2} = - 1 - r + 2 s$ und $x_{3} = 3 - r - s$
Einsetzen in $E_{2}$ :
$3 \cdot (1 + r - s) + 2 \cdot (- 1 - r + 2 s) + 1 \cdot (3 - r - s) - 4 = 0$
Die Klammern werden aufgelöst und passende Terme werden zusammengefasst:
$3 + 3 r - 3 s - 2 - 2 r + 4 s + 3 - r - s - 4 = 0 \Rightarrow 0 = 0$
Dies ist eine wahre Aussage unabhängig von den Werten der Parameter. Das bedeutet, dass die Ebenen identisch sind. (Die Ebenen liegen aufeinander.)
Einsetzen von $E_{1}$ in $E_{2}$ , den Parameter finden und einsetzen, um eine Schnittgerade zu bestimmen.

$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ - 1 \end{array})$ und $E_{2} : (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) \circ \vec{x} - 3 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lage zweier Ebenen
Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen
1) Wandle $E_{2}$ in die Koordinatenform um.
Rechne das Skalarprodukt aus.
$E_{2} : (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - 3 = 0 \Rightarrow 1 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2} - 2 \cdot x_{3} - 3 = 0$
2) Lies aus der Parameterform der Ebene $E_{1}$ die Gleichungen für die Koordinaten $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ ab.
$x_{1} = 2 + r + 2 s, x_{2} = 1 + r - 4 s, x_{3} = 1 + r - s$
3) Setze die Gleichungen für $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ in die Koordinatenform von $E_{2}$ ein.
$1 \cdot (2 + r + 2 s) + 1 \cdot (1 + r - 4 s) - 2 \cdot (1 + r - s) - 3 = 0$
Löse die Klammern auf und fasse zusammen. Du erhälst folgende Gleichung:
$0 \cdot r + 0 \cdot s - 2 = 0 \Rightarrow - 2 = 0$
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung $- 2 = 0$ erhalten. Dies ist eine falsche Aussage. Es gibt keine gemeinsame Schnittmenge zwischen den beiden Ebenen. Das bedeutet, dass die beiden Ebenen parallel zueinander sind.
Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1} $ und $E_{2}$ sind parallel zueinander.
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle $E_{2}$ in die Koordinatenform um.
2) Lies aus der Parameterform der Ebene $E_{1}$ die Gleichungen für die Koordinaten $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ ab.
3) Setze die Gleichungen für $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ in die Koordinatenform von $E_{2}$ ein.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$ und $E_{2} : (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \circ \vec{x} - 5 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lage zweier Ebenen
Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen
1) Wandle $E_{2}$ in die Koordinatenform um.
Rechne das Skalarprodukt aus.
$E_{2} : (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - 5 = 0 \Rightarrow 1 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2} + 1 \cdot x_{3} - 5 = 0$
2) Lies aus der Parameterform der Ebene $E_{1}$ die Gleichungen für die Koordinaten $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ ab.
$x_{1} = 1 + 2 r + s, x_{2} = 3 + r - s, x_{3} = 1 + s$
3) Setze die Gleichungen für $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ in die Koordinatenform von $E_{2}$ ein.
$1 \cdot (1 + 2 r + s) + 1 \cdot (3 + r - s) + 1 \cdot (1 + s) - 5 = 0$
Löse die Klammern auf und fasse zusammen. Du erhälst folgende Gleichung:
$5 + 3 r + s - 5 = 0 \Rightarrow s = - 3 r$
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Setze nun die Gleichung $s = - 3 r$ in die Ebenengleichung $E_{1}$ ein und fasse zusammen:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + (- 3 r) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$
$= (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 - 3 \\ 1 + 3 \\ 0 - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ - 3 \end{array})$
Du hast die Parameterform einer Geraden erhalten.
Antwort: Die Schnittmenge der beiden Ebenen $E_{1} $ und $E_{2}$ ist eine Gerade mit der Gleichung $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ - 3 \end{array})$
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle $E_{2}$ in die Koordinatenform um.
2) Lies aus der Parameterform der Ebene $E_{1}$ die Gleichungen für die Koordinaten $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ ab.
3) Setze die Gleichungen für $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ in die Koordinatenform von $E_{2}$ ein.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
3
Bestimme die Schnittmenge der beiden in Normalenform gegebenen Ebenen.
$E_{1} : (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 5 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})] = 0$ und $E_{2} : (\begin{array}{c} - 4 \\ 6 \\ - 10 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})] = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zweier Ebenen
1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.
Dazu wird für jede Ebene das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor $\vec{n}$ und dem Differenzvektor gebildet:
$E_{1} : (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 5 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 5 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{array}) = 0$
$E_{1} : 2 \cdot x_{1} - 3 \cdot x_{2} + 5 \cdot x_{3} - (0 + 3 - 5) = 0 \Rightarrow$
$(I) : 2 \cdot x_{1} - 3 \cdot x_{2} + 5 \cdot x_{3} = - 2$
Entsprechend für $E_{2} :$ $(\begin{array}{c} - 4 \\ 6 \\ - 10 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} - 4 \\ 6 \\ - 10 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = 0$
$E_{2} : - 4 \cdot x_{1} + 6 \cdot x_{2} - 10 \cdot x_{3} - (4 + 0 + 0) = 0 \Rightarrow$
$(I I) : - 4 \cdot x_{1} + 6 \cdot x_{2} - 10 \cdot x_{3} = 4$
Somit ergibt sich das folgende unterbestimmte Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen.
$\begin{array}{cccccccl} (I) : 2 \cdot x_{1} & - & 3 \cdot x_{2} & + & 5 \cdot x_{3} & = & - 2 \\ (I I) : - 4 \cdot x_{1} & + & 6 \cdot x_{2} & - & 10 \cdot x_{3} & = & 4 \end{array}$
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
$(I) \cdot 2 + (I I) \Rightarrow (I I^{'}) : 0 \cdot x_{1} + 0 \cdot x_{2} + 0 \cdot x_{3} = 0 \Rightarrow 0 = 0$
3) Durch die erhaltene Gleichung erkennst Du welche Lösungsmöglichkeit für das lineare Gleichungssystem eingetreten ist.
$0 = 0$
Dies ist eine wahre Aussage unabhängig von den Werten der Parameter. Das bedeutet, dass die Ebenen identisch sind.
Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ sind identisch.
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle beide Normalenformen der Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ in je eine Koordinatenform um.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.

$E_{1} : (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 5 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})] = 0$ und
$E_{2} : (\begin{array}{c} - 4 \\ 6 \\ - 10 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})] = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zweier Ebenen
1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.
Dazu wird für jede Ebene das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor $\vec{n}$ und dem Differenzvektor gebildet:
$E_{1} : (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 5 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 5 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{array}) = 0$
$E_{1} : 2 \cdot x_{1} - 3 \cdot x_{2} + 5 \cdot x_{3} - (0 + 3 - 5) = 0 \Rightarrow$
$(I) : 2 \cdot x_{1} - 3 \cdot x_{2} + 5 \cdot x_{3} = - 2$
Entsprechend für $E_{2} :$
$E_{2} : (\begin{array}{c} - 4 \\ 6 \\ - 10 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} - 4 \\ 6 \\ - 10 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) = 0$
$E_{2} : - 4 \cdot x_{1} + 6 \cdot x_{2} - 10 \cdot x_{3} - (- 4 + 12 + 0) = 0 \Rightarrow$
$(I I) : - 4 \cdot x_{1} + 6 \cdot x_{2} - 10 \cdot x_{3} = 8$
Somit ergibt sich das folgende unterbestimmte Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen.
$\begin{array}{cccccccl} (I) : 2 \cdot x_{1} & - & 3 \cdot x_{2} & + & 5 \cdot x_{3} & = & - 2 \\ (I I) : - 4 \cdot x_{1} & + & 6 \cdot x_{2} & - & 10 \cdot x_{3} & = & 8 \end{array}$
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
$(I) \cdot 2 + (I I) \Rightarrow (I^{'}) : 0 \cdot x_{1} + 0 \cdot x_{2} + 0 \cdot x_{3} = 4 \Rightarrow 0 = 4$
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Du hast die Gleichung $0 = 4$ erhalten. Dies ist eine falsche Aussage, d.h. es gibt keine gemeinsame Schnittmenge zwischen den beiden Ebenen. Die Ebenen sind parallel zueinander.
Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ sind parallel zueinander.
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle beide Normalenformen der Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ in je eine Koordinatenform um.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.

$E_{1} : (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})] = 0$ und $E_{2} : (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ - 2 \end{array})] = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zweier Ebenen
1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.
Dazu wird für jede Ebene das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor $\vec{n}$ und dem Differenzvektor gebildet:
$E_{1} : (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = 0$
$E_{1} : 2 \cdot x_{1} - 1 \cdot x_{2} + 3 \cdot x_{3} - (2 - 1 + 3) = 0 \Rightarrow$
$(I) : 2 \cdot x_{1} - 1 \cdot x_{2} + 3 \cdot x_{3} = 4$
Entsprechend für $E_{2} :$
$(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) = 0$
$E_{2} : 1 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} - 1 \cdot x_{3} - (- 2 + 2 + 2) = 0 \Rightarrow$
$(I I) : 1 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} - 1 \cdot x_{3} = 2$
Somit ergibt sich das folgende unterbestimmte Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen.
$\begin{array}{cccccccl} (I) : 2 \cdot x_{1} & - & 1 \cdot x_{2} & + & 3 \cdot x_{3} & = & 4 \\ (I I) : 1 \cdot x_{1} & + & 2 \cdot x_{2} & - & 1 \cdot x_{3} & = & 2 \end{array}$
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
$(I) + (I I) \cdot (- 2) \Rightarrow (I^{'}) : 0 \cdot x_{1} - 5 \cdot x_{2} + 5 \cdot x_{3} = 0 \Rightarrow x_{2} = x_{3}$
3) Durch die erhaltene Gleichung erkennst Du welche Lösungsmöglichkeit für das lineare Gleichungssystem eingetreten ist.
Setze nun Gleichung $(I^{'}) : x_{2} = x_{3}$ z. B. in Gleichung $(I I)$ ein:
$(I I) : 1 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} - 1 \cdot x_{3} = 2$ und löse nach $x_{1}$ auf:
$x_{1} + 2 x_{3} - x_{3} = 2 \Rightarrow x_{1} = 2 - x_{3}$
Du hast nun $x_{1}$ und $x_{2}$ in Abhängigkeit von $x_{3}$ dargestellt. Für $x_{3}$ kannst Du z. B. den Parameter $t$ setzen. Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
$𝕃 = {(2 - t | t | t) | t \in ℝ}$
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 - t \\ t \\ t \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})$
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ hat die Gleichung:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})$
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle beide Normalenformen der Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ in je eine Koordinatenform um.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
4
Bestimme die Schnittmenge der beiden in Parameterform gegebenen Ebenen.
$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})$ und $E_{2} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 14 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ - 3 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln
$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})$
Berechne den Normalenvektor der Ebene $E_{1}$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \cdot 3 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot (- 1) - 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 0 - 1 \cdot (- 1) \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ - 6 \\ 1 \end{array})$
Wähle einen beliebigen Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a}$ , der in der Ebene $E_{1}$ liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: $\vec{a} = (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \end{array})$
Setze die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalenform ein:
$E_{1} : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0 \Rightarrow (\begin{array}{c} 3 \\ - 6 \\ 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \end{array})] = 0$
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.
$(\begin{array}{c} 3 \\ - 6 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 14 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \end{array})] = 0$
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
$(\begin{array}{c} 3 \\ - 6 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} - 2 \\ - 4 \\ - 18 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ - 3 \end{array})] = 0$
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
$(\begin{array}{c} 3 \\ - 6 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 2 \\ - 4 \\ - 18 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 \\ - 6 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 \\ - 6 \\ 1 \end{array}) = 0$
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
$(3 \cdot (- 2) + (- 6) \cdot (- 4) + 1 \cdot (- 18)) + r \cdot (1 \cdot 3 + 1 \cdot (- 6) + 3 \cdot 1) + s \cdot (5 \cdot 3 + 2 \cdot (- 6) + (- 3) \cdot 1) = 0$
$(- 6 + 24 - 18) + r \cdot (3 - 6 + 3) + s \cdot (15 - 12 - 3) = 0$
$0 + r \cdot 0 + s \cdot 0 = 0 \Rightarrow 0 = 0$
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung $0 = 0$ erhalten. Dies ist eine wahre Aussage unabhängig von den Werten der Parameter. Das bedeutet, dass die beiden Ebenen identisch sind.
Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ sind identisch.
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 3 \end{array})$ und $E_{2} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln.
$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 3 \end{array})$
Berechne den Normalenvektor der Ebene $E_{1}$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} (- 1) \cdot 3 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot (- 2) - 0 \cdot 3 \\ 0 \cdot 0 - (- 1) \cdot (- 2) \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$
Wähle einen beliebigen Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a}$ , der in der Ebene $E_{1}$ liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: $\vec{a} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 3 \end{array})$
Setze die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalenform ein:
$E_{1} : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0 \Rightarrow (\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 3 \end{array})] = 0$
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.
$(\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 3 \end{array})] = 0$
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
$(\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} - 6 \\ 3 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})] = 0$
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
$(\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 6 \\ 3 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) = 0$
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
$(- 3 \cdot (- 6) + 0 \cdot 3 + (- 2) \cdot (- 3)) + r \cdot (0 \cdot (- 3) + 0 \cdot 0 + (- 1) \cdot (- 2)) + s \cdot (2 \cdot (- 3) + (- 1) \cdot 0 + 3 \cdot (- 2)) = 0$
$(18 + 0 + 6) + r \cdot (0 + 0 + 2) + s \cdot (- 6 + 0 - 6)) = 0 \Rightarrow$
$24 + 2 \cdot r - 12 \cdot s = 0 \Rightarrow r = - 12 + 6 \cdot s$
4) Der Parameter $r$ wird in die Ebenengleichung $E_{2}$ eingesetzt und es wird zusammengefasst.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + (- 12 + 6 s) \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$
Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ lautet:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 12 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 3 \end{array})$
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert und nach einem Parameter aufgelöst.
4) Dieser Parameter wird in die Ebenengleichung $E_{2}$ eingesetzt und passend zusammengefasst.

$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ 6 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 3 \end{array})$ und $E_{2} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 6 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 4 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln.
$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ 6 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 3 \end{array})$
Berechne den Normalenvektor der Ebene $E_{1}$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \cdot 3 - (- 1) \cdot 1 \\ (- 1) \cdot 0 - 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 1 - 4 \cdot 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 13 \\ - 6 \\ 2 \end{array})$
Wähle einen beliebigen Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a}$ , der in der Ebene $E_{1}$ liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: $\vec{a} = (\begin{array}{c} 5 \\ 6 \\ 2 \end{array})$
Setze die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalenform ein:
$E_{1} : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0 \Rightarrow (\begin{array}{c} 13 \\ - 6 \\ 2 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 5 \\ 6 \\ 2 \end{array})] = 0$
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.
$(\begin{array}{c} 13 \\ - 6 \\ 2 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 1 \\ 6 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 5 \\ 6 \\ 2 \end{array})] = 0$
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
$(\begin{array}{c} 13 \\ - 6 \\ 2 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ - 5 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 4 \end{array})] = 0$
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert und zu einer Gleichung zusammengefasst.
$(\begin{array}{c} 13 \\ - 6 \\ 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ - 5 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 13 \\ - 6 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 13 \\ - 6 \\ 2 \end{array}) = 0$
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
$(13 \cdot (- 4) + (- 6) \cdot 0 + 2 \cdot (- 5)) + r \cdot (2 \cdot 13 + 5 \cdot (- 6) + 2 \cdot 2) + s \cdot ((- 2) \cdot 13 + (- 3) \cdot (- 6) + 4 \cdot 2) = 0$
$(- 52 + 0 - 10) + r \cdot (26 - 30 + 4) + s \cdot (- 26 + 18 + 8) = 0 \Rightarrow$
$- 62 + r \cdot 0 + s \cdot 0 = 0 \Rightarrow - 62 = 0$
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung $- 62 = 0$ erhalten. Dies ist eine falsche Aussage. Das bedeutet, dass es keine Schnittmenge zwischen den beiden Ebenen gibt, d.h. die beiden Ebenen sind parallel zueinander.
Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1} $ und $E_{2}$ sind parallel zueinander.
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert und zu einer Gleichung zusammengefasst.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$ und $E_{2} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln.
$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$
Berechne den Normalenvektor der Ebene $E_{1}$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} (- 1) \cdot 1 - 1 \cdot (- 2) \\ 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot (- 2) - (- 1) \cdot 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array})$
Wähle einen beliebigen Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a}$ , der in der Ebene $E_{1}$ liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: $\vec{a} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$
Setze die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalenform ein:
$E_{1} : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0 \Rightarrow (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})] = 0$
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.
$(\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})] = 0$
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
$(\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})] = 0$
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
$(\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) = 0$
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
$(1 \cdot 1 + (- 1) \cdot 3 + (- 3) \cdot (- 4)) + r \cdot (1 \cdot 1 + 0 \cdot (- 1) + (- 2) \cdot (- 3)) + s \cdot ((- 1) \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) + 0 \cdot (- 3)) = 0$
$(1 - 3 + 12) + r \cdot (1 + 0 + 6) + s \cdot (- 1 - 1 + 0) = 0 \Rightarrow$
$10 + 7 \cdot r - 2 \cdot s = 0 \Rightarrow s = 5 + 3,5 \cdot r$
4) Der Parameter $s$ wird in die Ebenengleichung $E_{2}$ eingesetzt und es wird zusammengefasst.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + (5 + 3,5 \cdot r) \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 - 5 \\ 1 + 5 \\ - 3 + 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 - 3,5 \\ 0 + 3,5 \\ - 2 + 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 6 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2,5 \\ 3,5 \\ - 2 \end{array})$
Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ lautet:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 6 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2,5 \\ 3,5 \\ - 2 \end{array})$
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert und nach einem Parameter aufgelöst.
4) Dieser Parameter wird in die Ebenengleichung $E_{2}$ eingesetzt und passend zusammengefasst.

$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$ und $E_{2} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 4 \\ - 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 5 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln
$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$
Berechne den Normalenvektor der Ebene $E_{1}$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \cdot 3 - (- 2) \cdot (- 1) \\ (- 2) \cdot 2 - 1 \cdot 3 \\ 1 \cdot (- 1) - 0 \cdot 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array})$
Wähle einen beliebigen Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a}$ , der in der Ebene $E_{1}$ liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: $\vec{a} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$
Setze die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalenform ein:
$E_{1} : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0 \Rightarrow (\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})] = 0$
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.
$(\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} - 5 \\ 4 \\ - 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})] = 0$
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
$(\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} - 4 \\ 2 \\ - 6 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 5 \end{array})] = 0$
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
$(\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 4 \\ 2 \\ - 6 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 5 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array}) = 0$
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
$((- 2) \cdot (- 4) + (- 7) \cdot 2 + (- 1) \cdot (- 6)) + r \cdot (3 \cdot (- 2) + (- 1) \cdot (- 7) + 1 \cdot (- 1)) + s \cdot (1 \cdot (- 2) + (- 1) \cdot (- 7) + 5 \cdot (- 1)) = 0$
$(8 - 14 + 6) + r \cdot (- 6 + 7 - 1) + s \cdot (- 2 + 7 - 5)) = 0$
$0 + r \cdot 0 + s \cdot 0 = 0 \Rightarrow 0 = 0$
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung $0 = 0$ erhalten. Dies ist eine wahre Aussage unabhängig von den Werten der Parameter. Das bedeutet, dass die beiden Ebenen identisch sind.
Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ sind identisch.
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$ und $E_{2} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 5 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln
$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$
Berechne den Normalenvektor der Ebene $E_{1}$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \cdot 3 - (- 2) \cdot (- 1) \\ (- 2) \cdot 2 - 1 \cdot 3 \\ 1 \cdot (- 1) - 0 \cdot 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array})$
Wähle einen beliebigen Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a}$ , der in der Ebene $E_{1}$ liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: $\vec{a} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$
Setze die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalenform ein:
$E_{1} : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0 \Rightarrow (\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})] = 0$
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.
$(\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})] = 0$
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
$(\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \\ - 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 5 \end{array})] = 0$
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
$(\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \\ - 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 5 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array}) = 0$
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
$((- 2) \cdot 4 + (- 7) \cdot (- 3) + (- 1) \cdot (- 4)) + r \cdot (3 \cdot (- 2) + (- 1) \cdot (- 7) + 1 \cdot (- 1)) + s \cdot (1 \cdot (- 2) + (- 1) \cdot (- 7) + 5 \cdot (- 1)) = 0$
$(- 8 + 21 + 4) + r \cdot (- 6 + 7 - 1) + s \cdot (- 2 + 7 - 5)) = 0$
$17 + r \cdot 0 + s \cdot 0 = 0 \Rightarrow 17 = 0$
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung $17 = 0$ erhalten. Dies ist eine falsche Aussage. Es gibt keine gemeinsame Schnittmenge zwischen den beiden Ebenen. Das bedeutet, dass die beiden Ebenen parallel zueinander sind.
Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ sind parallel zueinander.
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
5
Bestimme die Schnittmenge der beiden in Koordinatenform gegebenen Ebenen.
$\begin{array}{cccccccl} E_{1} : - x_{1} & + & x_{2} & + & 2 x_{3} & = & 3 & und \\ E_{2} : 6 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 12 \end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem
Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
$\begin{array}{cccccccl} E_{1} : - x_{1} & + & x_{2} & + & 2 x_{3} & = & 3 & und \\ E_{2} : 6 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 12 \end{array}$
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.
$\begin{array}{cccccccl} (I) : - x_{1} & + & x_{2} & + & 2 x_{3} & = & 3 \\ (I I) : 6 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 12 \end{array}$
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
$(I) \cdot (- 4) + (I I) \Rightarrow (I^{'}) 10 x_{1} - 5 x_{3} = 0$
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Wird Gleichung $(I^{'})$ nach $x_{1}$ aufgelöst, erhältst Du Gleichung $(I I^{'}) x_{1} = 0,5 x_{3}$
Setze nun Gleichung $(I I^{'})$ z. B. in Gleichung $(I)$ ein und löse nach $x_{2}$ auf:
$- 0,5 x_{3} + x_{2} + 2 x_{3} = 3 \Rightarrow x_{2} = 3 - 1,5 x_{3}$
Du hast nun $x_{1}$ und $x_{2}$ in Abhängigkeit von $x_{3}$ dargestellt. Für $x_{3}$ kannst Du z. B. den Parameter $t$ setzen.
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
$𝕃 = {(0,5 t | 3 - 1,5 t | t) | t \in ℝ}$
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0,5 t \\ 3 - 1,5 t \\ t \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 0,5 \\ - 1,5 \\ 1 \end{array})$
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ hat die Gleichung:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 0,5 \\ - 1,5 \\ 1 \end{array})$
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
6
Bestimme die Schnittmenge der in Parameter- und Koordinatenform gegebenen Ebenen.
$E_{1} : 2 \cdot x_{1} + 3 \cdot x_{2} - x_{3} = 13$ und
$E_{2} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Für jede Koordinate $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ wird nun die entsprechende Zeile aus der Parameterform der Gleichung $E_{2}$ eingesetzt. Beim Lösen von Gleichungen würde das als Einsetzverfahren bezeichnet werden.
$2 \cdot (- 1 + 2 r + 0 s) + 3 \cdot (2 + r - s) - (1 + 3 r + 2 s) = 13 \Leftrightarrow - 2 + 4 r + 6 + 3 r - 3 s - 1 - 3 r - 2 s = 13 \Leftrightarrow 3 + 4 r - 5 s = 13 \Leftrightarrow 4 r = 10 + 5 s \Leftrightarrow r = 2,5 + 1,25 s$
Es folgt also: $r = 2,5 + 1,25 s$ . Durch Einsetzen dieser Beziehung in $E_{2}$ kann ein Parameter eliminiert werden. Es ergibt sich so die Parameterform einer Gerade! Die Schnittmenge der beiden Ebenen ist also eine Gerade.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + (2,5 + 1,25 s) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + 2,5 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + 1,25 s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 4,5 \\ 8,5 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2,5 \\ 0,25 \\ 5,75 \end{array}) = (\begin{array}{c} 9 \\ 5 \\ 20 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 10 \\ 1 \\ 23 \end{array})$
Beginne damit die Ebene $E_{2}$ für jedes $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ in $E_{1}$ einzusetzen. Daraus ergibt sich eine Beziehung zwischen $r$ und $s$ . Diese in $E_{2}$ einsetzen, um auf die Schnittgerade schließen zu können.

$E_{1} : - x_{1} + 2 \cdot x_{2} + x_{3} = - 4$ und $E_{2} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Bestimmung der Schnittgeraden
Setze $E_{2}$ in $E_{1}$ ein:
$- 1 \cdot (2 + 0 \cdot r + 2 \cdot s) + 2 \cdot (0 + r - s) + 1 \cdot (- 1 - 2 \cdot r + 3 \cdot s) = - 4$
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
$- 2 - 2 s + 2 r - 2 s - 1 - 2 r + 3 s = - 4$
$- 3 - s = - 4 \Rightarrow s = 1$
Setze $s = 1$ in $E_{2}$ ein und fasse die Vektoren zusammen:
$\vec{X} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 2 \end{array})$
Die Schnittgerade der beiden Ebenen lautet:
$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 2 \end{array})$

$E_{1} : x_{1} + 2 \cdot x_{2} - 2 \cdot x_{3} = 5$ und $E_{2} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Lagebestimmung
Setze $E_{2}$ in $E_{1}$ ein:
$1 \cdot (1 + 4 \cdot r + 2 \cdot s) + 2 \cdot (1 + r - s) - 2 \cdot (2 + 3 \cdot r + 0 \cdot s) = 5 $
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
$1 + 4 r + 2 s + 2 + 2 r - 2 s - 4 - 6 r = 5 \Rightarrow - 1 = 5$ falsche Aussage
Die Ebenen schneiden sich nicht, d.h. sie sind parallel.

$E_{1} : x_{1} + 2 \cdot x_{2} - 2 \cdot x_{3} = 5$ und $E_{2} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 7 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Lagebestimmung
Setze $E_{2}$ in $E_{1}$ ein:
$ 1 \cdot (7 + 4 \cdot r + 2 \cdot s) + 2 \cdot (1 + r - s) - 2 \cdot (2 + 3 \cdot r + 0 \cdot s) = 5 $
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
$7 + 4 r + 2 s + 2 + 2 r - 2 s - 4 - 6 r = 5$ $\Rightarrow 5 = 5$ wahre Aussage
Die Ebenen sind identisch. (Sie liegen aufeinander.)

$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$ und $E_{2} : 2 \cdot x_{1} + x_{2} - x_{3} - 1 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Lagebestimmung
Setze $E_{1} $ in $E_{2}$ ein:
$2 \cdot (1 + 0 \cdot r + s) + 1 \cdot (1 + r + s) - 1 \cdot (2 + r + 3 \cdot s) - 1 = 0$
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
$2 + 2 s + 1 + r + s - 2 - r - 3 s - 1 = 0$ $\Rightarrow 0 = 0$ wahre Aussage
Die beiden Ebenen sind identisch. (Sie liegen aufeinander.)

$E_{1} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$ und $E_{2} : x_{1} - 2 \cdot x_{2} + x_{3} - 2 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Lagebestimmung
Setze $E_{1}$ in $E_{2}$ ein:
$1 \cdot (1 + r - s) - 2 \cdot (- 1 - r + 2 \cdot s) + 1 \cdot (3 - r - s) - 2 = 0$
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
$1 + r - s + 2 + 2 r - 4 s + 3 - r - s - 2 = 0 \Rightarrow 4 + 2 r - 6 s = 0$
$\Rightarrow r = - 2 + 3 s$
Setze $r = - 2 + 3 s$ in $E_{1}$ ein und fasse entsprechende Vektoren zusammen:
$\vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) + (- 2 + 3 s) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$
$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 - 2 \\ - 1 + 2 \\ 3 + 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 3 - 1 \\ - 3 + 2 \\ - 3 - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 5 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 4 \end{array})$
Die Schnittgerade $g$ hat die Gleichung: $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 5 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 4 \end{array})$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
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$(I) - 4 x_{1} + 3 x_{2} + 2 x_{3}$	$=$	$5$
	↓	Setze $x_{2} = 1$ ein.
$- 4 x_{1} + 3 \cdot 1 + 2 x_{3}$	$=$	$5$
$- 4 x_{1} + 3 + 2 x_{3}$	$=$	$5$	$- 3$
	↓	Drücke $x_{1}$ in Abhängigkeit von $x_{3}$ aus und bringe alle Terme ohne $x_{1}$ auf die rechte Seite.
$- 4 x_{1} + 2 x_{3}$	$=$	$2$	$- 2 x_{3}$
$- 4 x_{1}$	$=$	$2 - 2 x_{3}$	$: (- 4)$
$x_{1}$	$=$	$- \frac{2}{4} + \frac{2}{4} x_{3}$
	↓	Kürze die Brüche.
$x_{1}$	$=$	$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} x_{3}$

$11 x_{2} - 2 x_{3}$	$=$	$12$	$+ 2 x_{3} - 12$
$11 x_{2} - 12$	$=$	$2 x_{3}$	$: 2$
$(I^{'}) 5,5 x_{2} - 6$	$=$	$x_{3}$

$(I^{'}) 5 x_{1} - 2 x_{3}$	$=$	$4$	$+ 2 x_{3}$
$5 x_{1}$	$=$	$4 + 2 x_{3}$	$: 5$
$x_{1}$	$=$	$\frac{4}{5} + \frac{2}{5} x_{3}$
	↓	Wandle in Dezimalbrüche um.
$({II}^{'}) x_{1}$	$=$	$0,8 + 0,4 x_{3}$

$x_{1} + x_{2} - x_{3}$	$=$	$1$
	↓	Setze $x_{1} = 0,8 + 0,4 x_{3}$ ein.
$(0,8 + 0,4 x_{3}) + x_{2} - x_{3}$	$=$	$1$
	↓	Löse die Klammer auf.
$0,8 + 0,4 x_{3} + x_{2} - x_{3}$	$=$	$1$
	↓	Vereinfache.
$0,8 + x_{2} - 0,6 x_{3}$	$=$	$1$	$- 0,8 + 0,6 x_{3}$
	↓	Löse nach $x_{2}$ auf.
$x_{2}$	$=$	$0,2 + 0,6 x_{3}$

$(I) - x_{1} + 2 x_{2} + 5 x_{3}$	$=$	$10$
	↓	Setze $x_{3} = \frac{24}{11}$ ein.
$- x_{1} + 2 x_{2} + 5 \cdot \frac{24}{11}$	$=$	$10$
$- x_{1} + 2 x_{2} + \frac{120}{11}$	$=$	$10$	$+ x_{1} - 10$
	↓	Löse nach $x_{1}$ auf.
$2 x_{2} + \frac{120}{11} - 10$	$=$	$x_{1}$
	↓	Addiere die Zahlen.
$2 x_{2} + \frac{120}{11} - \frac{110}{11}$	$=$	$x_{1}$
$2 x_{2} + \frac{10}{11}$	$=$	$x_{1}$

$3 x_{2} - 18 x_{3}$	$=$	$- 15$	$+ 18 x_{3}$
$3 x_{2}$	$=$	$- 15 + 18 x_{3}$	$: 3$
$({II}^{'}) x_{2}$	$=$	$- 5 + 6 x_{3}$

$5 x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3}$	$=$	$30$
	↓	Setze $x_{2} = - 5 + 6 x_{3}$ ein.
$5 x_{1} + 2 \cdot (- 5 + 6 x_{3}) + 3 x_{3}$	$=$	$30$
$5 x_{1} - 10 + 12 x_{3} + 3 x_{3}$	$=$	$30$
	↓	Fasse zusammen.
$5 x_{1} - 10 + 15 x_{3}$	$=$	$30$	$+ 10 - 15 x_{3}$
	↓	Löse nach $x_{1}$ auf.
$5 x_{1}$	$=$	$40 - 15 x_{3}$	$: 5$
$x_{1}$	$=$	$8 - 3 x_{3}$

$(II) x_{1} + 4 x_{2} - 3 x_{3}$	$=$	$0$
	↓	Setze $x_{3} = 5,5 x_{2} - 6$ ein.
$x_{1} + 4 x_{2} - 3 \cdot (5,5 x_{2} - 6)$	$=$	$0$
	↓	Löse die Klammer auf.
$x_{1} + 4 x_{2} - 16,5 x_{2} + 18$	$=$	$0$
	↓	Vereinfache.
$x_{1} - 12,5 x_{2} + 18$	$=$	$0$	$- 18 + 12,5 x_{2}$
	↓	Löse nach $x_{1}$ auf.
$x_{1}$	$=$	$- 18 + 12,5 x_{2}$

$- x_{1} - 5 x_{3}$	$=$	$18$	$+ x_{1} - 18$
$(I^{'}) x_{1}$	$=$	$- 5 x_{3} - 18$

$(I) 3 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3}$	$=$	$4$
	↓	Setze $x_{1} = - 5 x_{3} - 18$ ein.
$3 \cdot (- 5 x_{3} - 18) - 2 x_{2} + x_{3}$	$=$	$4$
$- 15 x_{3} - 54 - 2 x_{2} + x_{3}$	$=$	$4$
$- 14 x_{3} - 54 - 2 x_{2}$	$=$	$4$	$- 4 + 2 x_{2}$
$- 14 x_{3} - 58$	$=$	$2 x_{2}$	$: 2$
$- 7 x_{3} - 29$	$=$	$x_{2}$

Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Ebenen

Gleichungssystem lösen

Gleichung der Schnittgerade angeben

Gleichungssystem lösen

Gleichung der Schnittgeraden angeben

Gleichungssystem lösen

Gleichungssystem lösen

Gleichungssystem lösen

Gleichung der Schnittgeraden angeben

Lösen des Gleichungssystems

Lösen des Gleichungssystems

Gleichung der Schnittgeraden angeben

Lösen des Gleichungssystems

Lösen des Gleichungssystems

Gleichung der Schnittgeraden angeben

Lösen des Gleichungssystems

Gleichung der Schnittgeraden angeben

Lösen des Gleichungssystems

Gleichung der Schnittgeraden angeben

1) Der allgemeine Ortsvektor der Ebene E1 wird in die Ebene E2 eingesetzt.

2) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.

3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Antwort: Die Schnittmenge der beiden Ebenen E1 und E2 ist eine Gerade mit der Gleichung: g:x→=(349)+r⋅(0−2−6)

Lies aus der Parameterform der Ebene E1 die Gleichungen für die Koordinaten x1, x2 und x3 ab.

Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen

1) Wandle E2 in die Koordinatenform um.

2) Lies aus der Parameterform der Ebene E1 die Gleichungen für die Koordinaten x1, x2 und x3 ab.

3) Setze die Gleichungen für x1, x2 und x3 in die Koordinatenform von E2 ein.

4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Antwort: Die beiden Ebenen E1​ und E2 sind parallel zueinander.

Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen

1) Wandle E2 in die Koordinatenform um.

2) Lies aus der Parameterform der Ebene E1 die Gleichungen für die Koordinaten x1, x2 und x3 ab.

3) Setze die Gleichungen für x1, x2 und x3 in die Koordinatenform von E2 ein.

4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Antwort: Die Schnittmenge der beiden Ebenen E1​ und E2 ist eine Gerade mit der Gleichung g:x→=(131)+r⋅(−14−3)

1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.

2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.

3) Durch die erhaltene Gleichung erkennst Du welche Lösungsmöglichkeit für das lineare Gleichungssystem eingetreten ist.

Antwort: Die beiden Ebenen E1und E2 sind identisch.

1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.

2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.

3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.

1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.

2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.

3) Durch die erhaltene Gleichung erkennst Du welche Lösungsmöglichkeit für das lineare Gleichungssystem eingetreten ist.

Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen E1 und E2 hat die Gleichung:﻿

1) Parameterform der Ebene E1 in eine Normalenform umwandeln

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene E2 in die Normalenform ein.

3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.

4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Antwort: Die beiden Ebenen E1 und E2 sind identisch.

1) Parameterform der Ebene E1 in eine Normalenform umwandeln.

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene E2 in die Normalenform ein.

3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.

4) Der Parameter r wird in die Ebenengleichung E2 eingesetzt und es wird zusammengefasst.

Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen E1 und E2 lautet:

1) Parameterform der Ebene E1 in eine Normalenform umwandeln.

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene E2 in die Normalenform ein.

3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert und zu einer Gleichung zusammengefasst.

4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Antwort: Die beiden Ebenen E1​ und E2​ sind parallel zueinander.

1) Parameterform der Ebene E1 in eine Normalenform umwandeln.

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene E2 in die Normalenform ein.

3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.

4) Der Parameter s wird in die Ebenengleichung E2 eingesetzt und es wird zusammengefasst.

Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen E1 und E2 lautet:

1) Parameterform der Ebene E1 in eine Normalenform umwandeln

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene E2 in die Normalenform ein.

3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.

4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Antwort: Die beiden Ebenen E1 und E2 sind identisch.

1) Parameterform der Ebene E1 in eine Normalenform umwandeln

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene E2 in die Normalenform ein.﻿

3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.

4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Antwort: Die beiden Ebenen E1 und E2 sind parallel zueinander.

Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen

1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.

2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.

1) Der allgemeine Ortsvektor der Ebene $E_{1}$ wird in die Ebene $E_{2}$ eingesetzt.

Antwort: Die Schnittmenge der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ ist eine Gerade mit der Gleichung: $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 9 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ - 6 \end{array})$

Lies aus der Parameterform der Ebene $E_{1}$ die Gleichungen für die Koordinaten $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ ab.

1) Wandle $E_{2}$ in die Koordinatenform um.

2) Lies aus der Parameterform der Ebene $E_{1}$ die Gleichungen für die Koordinaten $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ ab.

3) Setze die Gleichungen für $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ in die Koordinatenform von $E_{2}$ ein.

Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1} $ und $E_{2}$ sind parallel zueinander.

1) Wandle $E_{2}$ in die Koordinatenform um.

2) Lies aus der Parameterform der Ebene $E_{1}$ die Gleichungen für die Koordinaten $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ ab.

3) Setze die Gleichungen für $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ in die Koordinatenform von $E_{2}$ ein.

Antwort: Die Schnittmenge der beiden Ebenen $E_{1} $ und $E_{2}$ ist eine Gerade mit der Gleichung $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ - 3 \end{array})$

Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ sind identisch.

Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ hat die Gleichung:

1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.

Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ sind identisch.

1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln.

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.

4) Der Parameter $r$ wird in die Ebenengleichung $E_{2}$ eingesetzt und es wird zusammengefasst.

Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ lautet:

1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln.

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.

Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1} $ und $E_{2}$ sind parallel zueinander.

1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln.

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.

4) Der Parameter $s$ wird in die Ebenengleichung $E_{2}$ eingesetzt und es wird zusammengefasst.

Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ lautet:

1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.

Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ sind identisch.

1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.

Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ sind parallel zueinander.

Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ hat die Gleichung: