Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Ebenen

Bestimme die Schnittmenge der beiden in Parameterform gegebenen Ebenen.

$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})$ und $E_{2} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 14 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ - 3 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln
$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})$
Berechne den Normalenvektor der Ebene $E_{1}$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \cdot 3 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot (- 1) - 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 0 - 1 \cdot (- 1) \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ - 6 \\ 1 \end{array})$
Wähle einen beliebigen Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a}$ , der in der Ebene $E_{1}$ liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: $\vec{a} = (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \end{array})$
Setze die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalenform ein:
$E_{1} : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0 \Rightarrow (\begin{array}{c} 3 \\ - 6 \\ 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \end{array})] = 0$
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.
$(\begin{array}{c} 3 \\ - 6 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 14 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \end{array})] = 0$
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
$(\begin{array}{c} 3 \\ - 6 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} - 2 \\ - 4 \\ - 18 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ - 3 \end{array})] = 0$
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
$(\begin{array}{c} 3 \\ - 6 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 2 \\ - 4 \\ - 18 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 \\ - 6 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 \\ - 6 \\ 1 \end{array}) = 0$
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
$(3 \cdot (- 2) + (- 6) \cdot (- 4) + 1 \cdot (- 18)) + r \cdot (1 \cdot 3 + 1 \cdot (- 6) + 3 \cdot 1) + s \cdot (5 \cdot 3 + 2 \cdot (- 6) + (- 3) \cdot 1) = 0$
$(- 6 + 24 - 18) + r \cdot (3 - 6 + 3) + s \cdot (15 - 12 - 3) = 0$
$0 + r \cdot 0 + s \cdot 0 = 0 \Rightarrow 0 = 0$
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung $0 = 0$ erhalten. Dies ist eine wahre Aussage unabhängig von den Werten der Parameter. Das bedeutet, dass die beiden Ebenen identisch sind.
Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ sind identisch.
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 3 \end{array})$ und $E_{2} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln.
$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 3 \end{array})$
Berechne den Normalenvektor der Ebene $E_{1}$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} (- 1) \cdot 3 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot (- 2) - 0 \cdot 3 \\ 0 \cdot 0 - (- 1) \cdot (- 2) \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$
Wähle einen beliebigen Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a}$ , der in der Ebene $E_{1}$ liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: $\vec{a} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 3 \end{array})$
Setze die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalenform ein:
$E_{1} : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0 \Rightarrow (\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 3 \end{array})] = 0$
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.
$(\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 3 \end{array})] = 0$
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
$(\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} - 6 \\ 3 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})] = 0$
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
$(\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 6 \\ 3 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) = 0$
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
$(- 3 \cdot (- 6) + 0 \cdot 3 + (- 2) \cdot (- 3)) + r \cdot (0 \cdot (- 3) + 0 \cdot 0 + (- 1) \cdot (- 2)) + s \cdot (2 \cdot (- 3) + (- 1) \cdot 0 + 3 \cdot (- 2)) = 0$
$(18 + 0 + 6) + r \cdot (0 + 0 + 2) + s \cdot (- 6 + 0 - 6)) = 0 \Rightarrow$
$24 + 2 \cdot r - 12 \cdot s = 0 \Rightarrow r = - 12 + 6 \cdot s$
4) Der Parameter $r$ wird in die Ebenengleichung $E_{2}$ eingesetzt und es wird zusammengefasst.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + (- 12 + 6 s) \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$
Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ lautet:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 12 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 3 \end{array})$
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert und nach einem Parameter aufgelöst.
4) Dieser Parameter wird in die Ebenengleichung $E_{2}$ eingesetzt und passend zusammengefasst.
$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ 6 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 3 \end{array})$ und $E_{2} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 6 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 4 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln.
$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ 6 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 3 \end{array})$
Berechne den Normalenvektor der Ebene $E_{1}$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \cdot 3 - (- 1) \cdot 1 \\ (- 1) \cdot 0 - 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 1 - 4 \cdot 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 13 \\ - 6 \\ 2 \end{array})$
Wähle einen beliebigen Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a}$ , der in der Ebene $E_{1}$ liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: $\vec{a} = (\begin{array}{c} 5 \\ 6 \\ 2 \end{array})$
Setze die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalenform ein:
$E_{1} : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0 \Rightarrow (\begin{array}{c} 13 \\ - 6 \\ 2 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 5 \\ 6 \\ 2 \end{array})] = 0$
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.
$(\begin{array}{c} 13 \\ - 6 \\ 2 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 1 \\ 6 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 5 \\ 6 \\ 2 \end{array})] = 0$
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
$(\begin{array}{c} 13 \\ - 6 \\ 2 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ - 5 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 4 \end{array})] = 0$
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert und zu einer Gleichung zusammengefasst.
$(\begin{array}{c} 13 \\ - 6 \\ 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ - 5 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 13 \\ - 6 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 13 \\ - 6 \\ 2 \end{array}) = 0$
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
$(13 \cdot (- 4) + (- 6) \cdot 0 + 2 \cdot (- 5)) + r \cdot (2 \cdot 13 + 5 \cdot (- 6) + 2 \cdot 2) + s \cdot ((- 2) \cdot 13 + (- 3) \cdot (- 6) + 4 \cdot 2) = 0$
$(- 52 + 0 - 10) + r \cdot (26 - 30 + 4) + s \cdot (- 26 + 18 + 8) = 0 \Rightarrow$
$- 62 + r \cdot 0 + s \cdot 0 = 0 \Rightarrow - 62 = 0$
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung $- 62 = 0$ erhalten. Dies ist eine falsche Aussage. Das bedeutet, dass es keine Schnittmenge zwischen den beiden Ebenen gibt, d.h. die beiden Ebenen sind parallel zueinander.
Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1} $ und $E_{2}$ sind parallel zueinander.
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert und zu einer Gleichung zusammengefasst.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$ und $E_{2} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln.
$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$
Berechne den Normalenvektor der Ebene $E_{1}$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} (- 1) \cdot 1 - 1 \cdot (- 2) \\ 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot (- 2) - (- 1) \cdot 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array})$
Wähle einen beliebigen Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a}$ , der in der Ebene $E_{1}$ liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: $\vec{a} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$
Setze die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalenform ein:
$E_{1} : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0 \Rightarrow (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})] = 0$
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.
$(\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})] = 0$
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
$(\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})] = 0$
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
$(\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) = 0$
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
$(1 \cdot 1 + (- 1) \cdot 3 + (- 3) \cdot (- 4)) + r \cdot (1 \cdot 1 + 0 \cdot (- 1) + (- 2) \cdot (- 3)) + s \cdot ((- 1) \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) + 0 \cdot (- 3)) = 0$
$(1 - 3 + 12) + r \cdot (1 + 0 + 6) + s \cdot (- 1 - 1 + 0) = 0 \Rightarrow$
$10 + 7 \cdot r - 2 \cdot s = 0 \Rightarrow s = 5 + 3,5 \cdot r$
4) Der Parameter $s$ wird in die Ebenengleichung $E_{2}$ eingesetzt und es wird zusammengefasst.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + (5 + 3,5 \cdot r) \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 - 5 \\ 1 + 5 \\ - 3 + 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 - 3,5 \\ 0 + 3,5 \\ - 2 + 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 6 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2,5 \\ 3,5 \\ - 2 \end{array})$
Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ lautet:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 6 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2,5 \\ 3,5 \\ - 2 \end{array})$
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert und nach einem Parameter aufgelöst.
4) Dieser Parameter wird in die Ebenengleichung $E_{2}$ eingesetzt und passend zusammengefasst.
$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$ und $E_{2} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 4 \\ - 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 5 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln
$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$
Berechne den Normalenvektor der Ebene $E_{1}$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \cdot 3 - (- 2) \cdot (- 1) \\ (- 2) \cdot 2 - 1 \cdot 3 \\ 1 \cdot (- 1) - 0 \cdot 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array})$
Wähle einen beliebigen Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a}$ , der in der Ebene $E_{1}$ liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: $\vec{a} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$
Setze die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalenform ein:
$E_{1} : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0 \Rightarrow (\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})] = 0$
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.
$(\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} - 5 \\ 4 \\ - 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})] = 0$
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
$(\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} - 4 \\ 2 \\ - 6 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 5 \end{array})] = 0$
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
$(\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 4 \\ 2 \\ - 6 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 5 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array}) = 0$
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
$((- 2) \cdot (- 4) + (- 7) \cdot 2 + (- 1) \cdot (- 6)) + r \cdot (3 \cdot (- 2) + (- 1) \cdot (- 7) + 1 \cdot (- 1)) + s \cdot (1 \cdot (- 2) + (- 1) \cdot (- 7) + 5 \cdot (- 1)) = 0$
$(8 - 14 + 6) + r \cdot (- 6 + 7 - 1) + s \cdot (- 2 + 7 - 5)) = 0$
$0 + r \cdot 0 + s \cdot 0 = 0 \Rightarrow 0 = 0$
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung $0 = 0$ erhalten. Dies ist eine wahre Aussage unabhängig von den Werten der Parameter. Das bedeutet, dass die beiden Ebenen identisch sind.
Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ sind identisch.
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$ und $E_{2} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 5 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln
$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$
Berechne den Normalenvektor der Ebene $E_{1}$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \cdot 3 - (- 2) \cdot (- 1) \\ (- 2) \cdot 2 - 1 \cdot 3 \\ 1 \cdot (- 1) - 0 \cdot 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array})$
Wähle einen beliebigen Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a}$ , der in der Ebene $E_{1}$ liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: $\vec{a} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$
Setze die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalenform ein:
$E_{1} : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0 \Rightarrow (\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})] = 0$
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.
$(\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})] = 0$
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
$(\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \\ - 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 5 \end{array})] = 0$
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
$(\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \\ - 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 5 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array}) = 0$
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
$((- 2) \cdot 4 + (- 7) \cdot (- 3) + (- 1) \cdot (- 4)) + r \cdot (3 \cdot (- 2) + (- 1) \cdot (- 7) + 1 \cdot (- 1)) + s \cdot (1 \cdot (- 2) + (- 1) \cdot (- 7) + 5 \cdot (- 1)) = 0$
$(- 8 + 21 + 4) + r \cdot (- 6 + 7 - 1) + s \cdot (- 2 + 7 - 5)) = 0$
$17 + r \cdot 0 + s \cdot 0 = 0 \Rightarrow 17 = 0$
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung $17 = 0$ erhalten. Dies ist eine falsche Aussage. Es gibt keine gemeinsame Schnittmenge zwischen den beiden Ebenen. Das bedeutet, dass die beiden Ebenen parallel zueinander sind.
Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ sind parallel zueinander.
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

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Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Ebenen

1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.

3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.

4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ sind identisch.

1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln.

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.

3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.

4) Der Parameter $r$ wird in die Ebenengleichung $E_{2}$ eingesetzt und es wird zusammengefasst.

Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ lautet:

1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln.

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.

3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert und zu einer Gleichung zusammengefasst.

4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1} $ und $E_{2}$ sind parallel zueinander.

1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln.

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.

3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.

4) Der Parameter $s$ wird in die Ebenengleichung $E_{2}$ eingesetzt und es wird zusammengefasst.

Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ lautet:

1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.

3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.

4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ sind identisch.

1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.

3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.

4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ sind parallel zueinander.

Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Ebenen

1) Parameterform der Ebene E1 in eine Normalenform umwandeln

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene E2 in die Normalenform ein.

3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.

4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Antwort: Die beiden Ebenen E1 und E2 sind identisch.

1) Parameterform der Ebene E1 in eine Normalenform umwandeln.

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene E2 in die Normalenform ein.

3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.

4) Der Parameter r wird in die Ebenengleichung E2 eingesetzt und es wird zusammengefasst.

Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen E1 und E2 lautet:

1) Parameterform der Ebene E1 in eine Normalenform umwandeln.

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene E2 in die Normalenform ein.

3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert und zu einer Gleichung zusammengefasst.

4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Antwort: Die beiden Ebenen E1​ und E2​ sind parallel zueinander.

1) Parameterform der Ebene E1 in eine Normalenform umwandeln.

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene E2 in die Normalenform ein.

3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.

4) Der Parameter s wird in die Ebenengleichung E2 eingesetzt und es wird zusammengefasst.

Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen E1 und E2 lautet:

1) Parameterform der Ebene E1 in eine Normalenform umwandeln

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene E2 in die Normalenform ein.

3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.

4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Antwort: Die beiden Ebenen E1 und E2 sind identisch.

1) Parameterform der Ebene E1 in eine Normalenform umwandeln

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene E2 in die Normalenform ein.﻿

3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.

4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Antwort: Die beiden Ebenen E1 und E2 sind parallel zueinander.

1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.

Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ sind identisch.

1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln.

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.

4) Der Parameter $r$ wird in die Ebenengleichung $E_{2}$ eingesetzt und es wird zusammengefasst.

Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ lautet:

1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln.

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.

Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1} $ und $E_{2}$ sind parallel zueinander.

1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln.

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.

4) Der Parameter $s$ wird in die Ebenengleichung $E_{2}$ eingesetzt und es wird zusammengefasst.

Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ lautet:

1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.

Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ sind identisch.

1) Parameterform der Ebene $E_{1}$ in eine Normalenform umwandeln

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{2}$ in die Normalenform ein.

Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ sind parallel zueinander.