Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Ebenen

Bestimme die Schnittmenge der in Parameter- und Koordinatenform gegebenen Ebenen.

$E_{1} : 2 \cdot x_{1} + 3 \cdot x_{2} - x_{3} = 13$ und
$E_{2} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Für jede Koordinate $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ wird nun die entsprechende Zeile aus der Parameterform der Gleichung $E_{2}$ eingesetzt. Beim Lösen von Gleichungen würde das als Einsetzverfahren bezeichnet werden.
$2 \cdot (- 1 + 2 r + 0 s) + 3 \cdot (2 + r - s) - (1 + 3 r + 2 s) = 13 \Leftrightarrow - 2 + 4 r + 6 + 3 r - 3 s - 1 - 3 r - 2 s = 13 \Leftrightarrow 3 + 4 r - 5 s = 13 \Leftrightarrow 4 r = 10 + 5 s \Leftrightarrow r = 2,5 + 1,25 s$
Es folgt also: $r = 2,5 + 1,25 s$ . Durch Einsetzen dieser Beziehung in $E_{2}$ kann ein Parameter eliminiert werden. Es ergibt sich so die Parameterform einer Gerade! Die Schnittmenge der beiden Ebenen ist also eine Gerade.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + (2,5 + 1,25 s) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + 2,5 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + 1,25 s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 4,5 \\ 8,5 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2,5 \\ 0,25 \\ 5,75 \end{array}) = (\begin{array}{c} 9 \\ 5 \\ 20 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 10 \\ 1 \\ 23 \end{array})$
Beginne damit die Ebene $E_{2}$ für jedes $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ in $E_{1}$ einzusetzen. Daraus ergibt sich eine Beziehung zwischen $r$ und $s$ . Diese in $E_{2}$ einsetzen, um auf die Schnittgerade schließen zu können.
$E_{1} : - x_{1} + 2 \cdot x_{2} + x_{3} = - 4$ und $E_{2} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Bestimmung der Schnittgeraden
Setze $E_{2}$ in $E_{1}$ ein:
$- 1 \cdot (2 + 0 \cdot r + 2 \cdot s) + 2 \cdot (0 + r - s) + 1 \cdot (- 1 - 2 \cdot r + 3 \cdot s) = - 4$
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
$- 2 - 2 s + 2 r - 2 s - 1 - 2 r + 3 s = - 4$
$- 3 - s = - 4 \Rightarrow s = 1$
Setze $s = 1$ in $E_{2}$ ein und fasse die Vektoren zusammen:
$\vec{X} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 2 \end{array})$
Die Schnittgerade der beiden Ebenen lautet:
$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 2 \end{array})$
$E_{1} : x_{1} + 2 \cdot x_{2} - 2 \cdot x_{3} = 5$ und $E_{2} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Lagebestimmung
Setze $E_{2}$ in $E_{1}$ ein:
$1 \cdot (1 + 4 \cdot r + 2 \cdot s) + 2 \cdot (1 + r - s) - 2 \cdot (2 + 3 \cdot r + 0 \cdot s) = 5 $
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
$1 + 4 r + 2 s + 2 + 2 r - 2 s - 4 - 6 r = 5 \Rightarrow - 1 = 5$ falsche Aussage
Die Ebenen schneiden sich nicht, d.h. sie sind parallel.
$E_{1} : x_{1} + 2 \cdot x_{2} - 2 \cdot x_{3} = 5$ und $E_{2} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 7 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Lagebestimmung
Setze $E_{2}$ in $E_{1}$ ein:
$ 1 \cdot (7 + 4 \cdot r + 2 \cdot s) + 2 \cdot (1 + r - s) - 2 \cdot (2 + 3 \cdot r + 0 \cdot s) = 5 $
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
$7 + 4 r + 2 s + 2 + 2 r - 2 s - 4 - 6 r = 5$ $\Rightarrow 5 = 5$ wahre Aussage
Die Ebenen sind identisch. (Sie liegen aufeinander.)
$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$ und $E_{2} : 2 \cdot x_{1} + x_{2} - x_{3} - 1 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Lagebestimmung
Setze $E_{1} $ in $E_{2}$ ein:
$2 \cdot (1 + 0 \cdot r + s) + 1 \cdot (1 + r + s) - 1 \cdot (2 + r + 3 \cdot s) - 1 = 0$
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
$2 + 2 s + 1 + r + s - 2 - r - 3 s - 1 = 0$ $\Rightarrow 0 = 0$ wahre Aussage
Die beiden Ebenen sind identisch. (Sie liegen aufeinander.)
$E_{1} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$ und $E_{2} : x_{1} - 2 \cdot x_{2} + x_{3} - 2 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Lagebestimmung
Setze $E_{1}$ in $E_{2}$ ein:
$1 \cdot (1 + r - s) - 2 \cdot (- 1 - r + 2 \cdot s) + 1 \cdot (3 - r - s) - 2 = 0$
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
$1 + r - s + 2 + 2 r - 4 s + 3 - r - s - 2 = 0 \Rightarrow 4 + 2 r - 6 s = 0$
$\Rightarrow r = - 2 + 3 s$
Setze $r = - 2 + 3 s$ in $E_{1}$ ein und fasse entsprechende Vektoren zusammen:
$\vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) + (- 2 + 3 s) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$
$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 - 2 \\ - 1 + 2 \\ 3 + 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 3 - 1 \\ - 3 + 2 \\ - 3 - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 5 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 4 \end{array})$
Die Schnittgerade $g$ hat die Gleichung: $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 5 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 4 \end{array})$

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Lagebestimmung

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