Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem
Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen Gegeben sind die beiden Ebenen:
E 1 : − x 1 + x 2 + 2 x 3 = 3 und E 2 : 6 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 = 12
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.
( I ) : − x 1 + x 2 + 2 x 3 = 3 ( I I ) : 6 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 = 12
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen. ( I ) ⋅ ( − 4 ) + ( I I ) ⇒ ( I ′ ) 10 x 1 − 5 x 3 = 0
Wird Gleichung ( I ′ ) x 1 ( I I ′ ) x 1 = 0,5 x 3
Setze nun Gleichung ( I I ′ ) ( I ) x 2
− 0,5 x 3 + x 2 + 2 x 3 = 3 ⇒ x 2 = 3 − 1,5 x 3
Du hast nun x 1 x 2 x 3 x 3 t
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
𝕃 = { ( 0,5 t | 3 − 1,5 t | t ) | t ∈ ℝ }
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
g : x → = ( 0,5 t 3 − 1,5 t t ) = ( 0 3 0 ) + t ⋅ ( 0,5 − 1,5 1 )
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen E 1 E 2 g : x → = ( 0 3 0 ) + t ⋅ ( 0,5 − 1,5 1 )
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