Aufgaben zu Ungleichungen höheren Grades

Lerne hier Ungleichungen höheren Grades zu lösen. Du wendest dein Wissen über Ungleichungen auf Polynome vom Grad 3 oder größer an.

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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Ermittle die Vorzeichenbereiche für den folgenden Funktionsterm
$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Ermittle die Vorzeichenbereiche für den folgenden Funktionsterm:
$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2$
Um den Vorzeichenbereich ermitteln zu können, musst du zuerst die Nullstellen berechnen.
Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $f (x)$ ein.
$f (1) = 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 2 = 0$
Die Funktion $f (x)$ hat an der Stelle $x_{1} = 1$ eine Nullstelle. Da $f (1) = 0$ , wissen wir, dass $f (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x - 1)$ besitzt.
Führe nun die Polynomdivision $f (x) : (x - 1)$ durch.
$\begin{array}{l} (x^{3} - 3 x^{2} + 2) : (x - 1) = x^{2} - 2 x - 2 \\ - (x^{3} - x^{2}) \\ - 2 x^{2} + 2 \\ - (- 2 x^{2} + 2 x) \\ - 2 x + 2 \\ - (- 2 x + 2) \\ 0 \end{array}$
Die Funktion $f (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = 1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $f$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.
$x^{2} - 2 x - 2 = 0$
Löse die quadratische Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel.
$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
Setze die entsprechenden Werte in die Mitternachtsformel ein.
↓
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{- (- 2) \pm \sqrt{(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{2 \pm \sqrt{12}}{2}$
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{2 \pm \sqrt{3 \cdot 4}}{2}$
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{2 \pm 2 \cdot \sqrt{3}}{2}$
$x_{2,3}$ $=$ $1 \pm \sqrt{3}$
$x_{2}$ $=$ $2,732$
$x_{3}$ $=$ $- 0,732$
Die Nullstellen sind also: $x_{1} = 1; x_{2} = 2,732; x_{3} = - 0,732$
Es ergeben sich $4$ Vorzeichenbereiche:
$a .)] - \infty; - 0,732 [b .)] - 0,732; 1 [c .)] 1; 2,732 [d .)] 2,732; \infty [$
Jetzt musst du dir, für jeden Bereich, das Vorzeichen von $f (x)$ überlegen.
Setze eine Zahl, die im jeweiligen Bereich liegt, in $f (x)$ ein.
a.) z. B. $(- 1) \Rightarrow f (- 1) = - 1; V o r z e i c h e n (-)$
b.) z. B. $(0) \Rightarrow f (0) = 2; V o r z e i c h e n (+)$
c.) z. B. $(2) \Rightarrow f (2) = 4; V o r z e i c h e n (-)$
d.) z. B. $(3) \Rightarrow f (3) = 2; V o r z e i c h e n (+)$
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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Ermitteln Sie die Vorzeichenbereiche für die durch
$f (x) = - {(x - 2)}^{3} \cdot x^{2}$ gegebene Funktion und fertigen Sie eine prinzipielle Skizze des Funktionsgraphen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Ausschlaggebend für das Vorzeichen der Funktion $f (x)$ ist der Term $- (x - 2)^{3}$ . Der Term $x^{2}$ hat keine Auswirkung auf das Vorzeichen der Funktion.
Für $x < 2$ ist der Term $- (x - 2)^{3} > 0 \Rightarrow f (x) > 0$
Für $x > 2$ ist der Term $- (x - 2)^{3} < 0 \Rightarrow f (x) < 0$
Für $x = 0$ (doppelte Nullstelle) und $x = 2$ (dreifache Nullstelle) ist $f (x) = 0$
Damit ergeben sich folgende Vorzeichenbereiche:
Bei einer doppelten Nullstelle gibt es ein Extremum auf der $x$ -Achse, hier im Punkt $(0 | 0)$ . Das Extremum kann wegen des Vorzeichenbereichs (grün) nur ein Tiefpunkt sein.
Bei einer dreifachen Nullstelle gibt es einen Sattelpunkt auf der $x$ -Achse, hier im Punkt $(2 | 0)$ . Der Sattelpunkt kann wegen des Vorzeichenbereichs (braun) nur ein links-rechts-Sattelpunkt sein.
Mit den ermittelten Vorzeichenbereichen ergibt sich folgende grobe Funktionsdarstellung:
Zwischen den beiden Nullstellen $N_{1}$ und $N_{2}$ gibt es nach dieser Skizze einen Hochpunkt.
Funktionsdarstellung $f (x)$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

Setze die entsprechenden Werte in die Mitternachtsformel ein.
	↓
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{- (- 2) \pm \sqrt{(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{2 \pm \sqrt{12}}{2}$
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{2 \pm \sqrt{3 \cdot 4}}{2}$
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{2 \pm 2 \cdot \sqrt{3}}{2}$
$x_{2,3}$	$=$	$1 \pm \sqrt{3}$
$x_{2}$	$=$	$2,732$
$x_{3}$	$=$	$- 0,732$

Aufgaben zu Ungleichungen höheren Grades

Funktionsdarstellung f(x)

Funktionsdarstellung $f (x)$