Gemischte Aufgaben zu Ungleichungen

Ermittle die Vorzeichenbereiche für den folgenden Funktionsterm:

$f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$

Um den Vorzeichenbereich ermitteln zu können, musst du zuerst die Nullstellen berechnen.

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $f(x)$ ein.

$f(1)=1^3-3\cdot 1^2+2=0$

Die Funktion $f(x)$ hat an der Stelle $x_1=1$ eine Nullstelle. Da $f(1)=0$, wissen wir, dass $f(x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x-1)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $f(x):(x-1)$ durch.

$\begin{array}{l}(x^3-3x^2+2):(x-1)=x^2-2x-2\\ \underline{-(x^3-x^2)}\\ -2x^2+2\\ \underline{-(-2x^2+2x)}\\ \\ -2x+2\\ \underline{-(-2x+2)}\\ \\ 0\end{array}$

Die Funktion $f(x)$ wird dann $0$, sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_1=1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $f$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$x^2-2x-2=0$

Löse die quadratische Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel.

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

Die Nullstellen sind also: $x_1=1;x_2=\mathrm{2,732};x_3=-\mathrm{0,732}$

Es ergeben sich $4$ Vorzeichenbereiche:

$a.)\text{]}-\infty ;-\mathrm{0,732}\text{[}b.)\text{]}-\mathrm{0,732};1\text{[}c.)\text{]}1;\mathrm{2,732}\text{[}d.)\text{]}\mathrm{2,732};\infty \text{[}$

Jetzt musst du dir, für jeden Bereich, das Vorzeichen von$f(x)$ überlegen.

Setze eine Zahl, die im jeweiligen Bereich liegt, in $f(x)$ ein.

a.) z. B. $(-1)\Rightarrow f(-1)=-1;Vorzeichen(-)$

b.) z. B.$(0)\Rightarrow f(0)=2;Vorzeichen(+)$

c.) z. B.$(2)\Rightarrow f(2)=4;Vorzeichen(-)$

d.) z. B. $(3)\Rightarrow f(3)=2;Vorzeichen(+)$