Gemischte Aufgaben zu Ungleichungen

Ausschlaggebend für das Vorzeichen der Funktion $f(x)$ ist der Term $-(x-2{)}^3$. Der Term $x^2$ hat keine Auswirkung auf das Vorzeichen der Funktion.

Für $x<2$ ist der Term $-(x-2{)}^3>0\Rightarrow f(x)>0$

Für $x>2$ ist der Term $-(x-2{)}^3<0\Rightarrow f(x)<0$

Für $x=0$ (doppelte Nullstelle) und $x=2$ (dreifache Nullstelle) ist $f(x)=0$

Damit ergeben sich folgende Vorzeichenbereiche:

Bei einer doppelten Nullstelle gibt es ein Extremum auf der $x$-Achse, hier im Punkt $(0|0)$. Das Extremum kann wegen des Vorzeichenbereichs (grün) nur ein Tiefpunkt sein.

Bei einer dreifachen Nullstelle gibt es einen Sattelpunkt auf der $x$-Achse, hier im Punkt $(2|0)$. Der Sattelpunkt kann wegen des Vorzeichenbereichs (braun) nur ein links-rechts-Sattelpunkt sein.

Mit den ermittelten Vorzeichenbereichen ergibt sich folgende grobe Funktionsdarstellung:

Zwischen den beiden Nullstellen $N_1$ und $N_2$ gibt es nach dieser Skizze einen Hochpunkt.

Funktionsdarstellung $f(x)$