Aufgabengruppe II

Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $N$ der Geraden $g_1$ mit der

x-Achse.

Setze$g_1=0$ und berechne$x$.

Die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden $g_1$mit der $x-$Achse sind dann:

$N(\mathrm{3,5}|0)$

Die allgemeine Geradengleichung lautet:$y=m\cdot x+t$

Setze $2$ Wertepaare aus der Tabelle in die Geradengleichung ein.

$\text{(}Wp{)}_1=2m+t=\mathrm{3,5}\Rightarrow t=\mathrm{3,5}-2m$ eingesetzt in $\text{(}Wp{)}_2$

$\text{(}Wp{)}_2=4m+t=\mathrm{6,5}$

Setze $m$ in$\text{(}Wp{)}_1$ein und berechne $t$.

$t=\mathrm{3,5}-2\cdot \mathrm{1,5}\Rightarrow t=\mathrm{0,5}$

Die Funktionsgleichung der Geraden $g_2$lautet:

$g_2:y=\mathrm{1,5}x+\mathrm{0,5}$

Berechnung des Schnittpunktes $T$.

Setze$g_1=g_3$

Setze $x=\mathrm{6,25}$in $g_1$oder$g_3$ein und berechne $y.$

$x$ eingesetzt in $g_1$ergibt:

$-1\cdot \mathrm{6,25}+\mathrm{3,5}=y\Rightarrow y=-\mathrm{2,75}$

Die Koordinaten des Schnittpunktes sind dann:

$T(\mathrm{6,25}|-\mathrm{2,75})$

$g_1:y=-x+\mathrm{3,5}$

Spiegel$g_1$an der $y$-Achse, ersetze$x$ durch $(-x)\Rightarrow g_{1_{sy}}$ 

$g_{1_{sy}}:y=-(-x)+\mathrm{3,5}$

$g_{1_{sy}}:y=x+\mathrm{3,5}$

Spiegel$g_{1_{sy}}$an der $x$-Achse, multipliziere die Funktionsgleichung

von $g_{1_{sy}}$mit$(-1)\Rightarrow g_4$.

$g_4:y=-1\cdot (x+\mathrm{3,5})$

$g_4:y=-x-\mathrm{3,5}$

$g_5:y={\displaystyle \frac{1}{3}}x+4\Rightarrow m_5={\displaystyle \frac{1}{3}}$

da die Gerade $g_6$senkrecht auf der Geraden$g_5$steht, gilt: $\begin{array}{l}\\ m_5\cdot m_6=-1\Rightarrow m_6={\displaystyle \frac{-1}{m_5}}\Rightarrow m_6=-3\end{array}$

Stelle die Geradengleichung der Geraden$g_6$auf.

Die allgemeine Form der Geradengleichung lautet:

$y=mx+t$

Setze$m_6$und die Koordinaten des Punktes $P$ in die Gleichung ein.

$5=(-3)\cdot (-1)+t_6\Rightarrow t_6=2$

Die Funktionsgleichung der Geraden $g_6$lautet:

$g_6:y=-3x+2$

Die Skizze ist nicht massgetreu.

$I.{\displaystyle \frac{a+b+c}{i}}={\displaystyle \frac{a}{g}}$ (2. Strahlensatz)

$II.{\displaystyle \frac{c}{f}}={\displaystyle \frac{b}{e}}$ (1. Strahlensatz)

$III.{\displaystyle \frac{d+e}{h}}={\displaystyle \frac{d}{g}}$ (2. Strahlensatz)

Es gilt: ${\displaystyle \frac{a+b}{h}}={\displaystyle \frac{a}{g}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{(4+6)cm}{h}}={\displaystyle \frac{4cm}{2cm}}$(2. Strahlensatz)

$4h=20cm\Rightarrow h=5cm$

Die Länge der Strecke$h$beträgt$5cm$

a.) Baumdiagramm

Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $2$ gelbe Spielbälle

bei dreimaligem Ziehen gezogen werden.

${\displaystyle \frac{8}{11}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{9}}+{\displaystyle \frac{8}{11}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{9}}+{\displaystyle \frac{8}{11}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{9}}+{\displaystyle \frac{3}{11}}\cdot {\displaystyle \frac{8}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{9}}=$

$={\displaystyle \frac{56}{165}}+{\displaystyle \frac{28}{165}}+{\displaystyle \frac{28}{165}}+{\displaystyle \frac{28}{165}}={\displaystyle \frac{28}{33}}\approx \mathrm{0,848}\Rightarrow P\approx \mathrm{84,8}\%$

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens $2$ gelbe Spielbälle

bei dreimaligem Ziehen beträgt ungefähr$\mathrm{84,4}\%$

Berechne mithilfe der Fakultät $n!$ die Anzahl aller möglichen Reihenfolgen,

in denen die Bälle gelegt werden können.

Anzahl aller möglichen Reihenfolgen:

$n!\text{setze für}n=11\Rightarrow 11!=11\cdot 10\cdot 9\cdot ...\cdot 2\cdot 1=\underline{\underline{39916800}}$

Es gibt $39916800$mögliche Reihenfolgen, in denen die Bälle gelegt werden

können.

Die allgemeine Form oder auch Hauptform einer quadratischen Funktion lautet:

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

Setze die gegebenen Punktepaare in die Funktionsgleichung ein.

Da es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt ist der Vorfaktor $a=1$

$\text{Aus }A(-3|1):(I)1=1\cdot (-3{)}^2+b\cdot (-3)+c$

$\text{Aus }B(2|6):(II)6=1\cdot (2{)}^2+b\cdot (2)+c\Rightarrow c=2-2b$

$$setze $c$ in $(I)$ ein und berechne $b$

Setze b in$(II)$ein und berechne $c$.

$c=2-2b\Rightarrow c=2-2\cdot 2=-2$

$c=-2$jetzt kannst Du die Funktionsgleichung aufstellen.

$p_1:y=x^2+2x-2$

Der Scheitel der Parabel $p_2$ist laut Angabe: $S_2(3|4)$

Die Scheitelform lautet:

$f\left(x\right)=a(x-d{)}^2+e$

Setze die entsprechenden Werte des Scheitels$S_2$ ein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist $a=-1.$

$p_2:y=-(x-3{)}^2+4$

die Normalform ist dann:

$p_2:y=-x^2+6x-5$

Die Skizze ist nicht maßstabsgetreu.

Zur Berechnung der $y$-Koordinate setzte den Wert der $x$-Koordinate

des Punkts $C$ in die Funktionsgleichung $p_3$ ein.

$p_3:y=-x^2+7x+14$

$y=-(7^2)+7\cdot 7+14$

$y=63-49$

$y=14\Rightarrow C(7|14)$

Setze die $x$-Koordinate von D $(-3)$ in dieFunktionsgleichung

von$p_3$ein und berechne den Funktionswert.

also:$y=-(-3{)}^2+7\cdot (-3)+14$

$y=-9-21+14$

$y=-16$

Der Punkt $D$ liegt nicht auf der Parabel$p_3$, da:$-16\ne 16$ .

Umformen der allgemeinen Form in die Scheitelform:

Jetzt kannst Du den Scheitelpunkt der Parabel $p_3$ ablesen:${\mathrm{S}}_2\left(\mathrm{3,5}|\mathrm{26,25}\right)$

Um die Schnittpunkte der Parabel mit der $x$-Achse zu bestimmen, setze die Funktionsgleichung gleich $0$ und berechne $x$ z.B. mit der Mitternachtsformel

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

$x^2-20x+96=0$

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{20\pm \sqrt{{20}^2-4\cdot 1\cdot 96}}{2\cdot 1}}$

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{20\pm \sqrt{400-384}}{2}}\Rightarrow x_1=12$

$x_2=8$

Schnittpunkte mit den $x$-Koordinaten:

$N_1=12;N_2=8$

$a.)g:2y+6x=38\Rightarrow y=19-3x$

$b.)x^2-20x+96=19-3x$

$x^2-17x+77=0$

Die Diskriminante D einer quadratischen Gleichung $a{x}^2+bx+c=0$ ist definiert durch:

$c.)D=(-17{)}^2-4\cdot 1\cdot 77\Rightarrow D=289-308$

$D=-19$

An der Diskriminante kann man ablesen, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung besitzt: Für$D>0$gibt es zwei, für $D=0$eine und für $D<0$keine Lösung.

da$(-19)<0$ ist, hat die Gleichung keine Lösung, die Gerade$g$hat also

keinen Schnittpunkt mit der Parabel$p_4$.

Die korrekte Gleichung lautet also:$$$\sqrt{m^8{b}^2}=m^{4}b$

$(\square -\square {)}^2=\mathrm{0,64}{a}^4♦4a^2{b}^9+\square$

Wende die $2$. Binomische Formel an:

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

${(\mathrm{0,8}{a}^2-\mathrm{2,5}{b}^9)}^2=\mathrm{0,64}{a}^4-4a^2{b}^9+\mathrm{6,25}{b}^{18}$

$a.)\overline{DE}=\overline{CE}-\overline{CD}\Rightarrow \overline{DE}=\mathrm{6,25}m-\mathrm{2,25}m$

$\overline{DE}=4m$

$$berechne die Höhe$\overline{DF}$

$(\overline{DF}{)}^2=\overline{DE}\cdot \overline{DC}$Höhensatz

$(\overline{DF}{)}^2=4m\cdot \mathrm{2,25}m$

$\overline{DF}=\sqrt{9m^2}$

$\overline{DF}=3m$

$A_{CEF}={\displaystyle \frac{\overline{CE}\cdot \overline{DF}}{2}}\Rightarrow A_{CEF}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,25}m\cdot 3m}{2}}$

$A_{CEF}=\mathrm{9,375}{m}^2$

$b.)A_{ABE}=A_{CEF}\cdot {\mathrm{1,5}}^2$Hinweis: $\mathrm{1,5}$ ist der Streckfaktor siehe Aufgabenstellung.

$A_{ABE}=\mathrm{9,375}{m}^2\cdot \mathrm{2,25}$

$A_{ABE}=\mathrm{21,09}{m}^2$

$c.)A_{ABCF}=A_{ABE}-A_{CEF}\Rightarrow A_{ABCF}=\mathrm{21,09}{m}^2-\mathrm{9,375}{m}^2$

$A_{ABCF}=\mathrm{11,72}{m}^2$

Berechne den Winkel $\text{BEA}$ des Dreiecks $\text{ABE}$.

$\tan (\measuredangle \text{BEA})={\displaystyle \frac{\overline{DF}}{\overline{DE}}}\Rightarrow \tan (\measuredangle BEA)={\displaystyle \frac{3}{4}}$

$\measuredangle \text{BEA}={\mathrm{36,9}}^{\circ }$

$\measuredangle \text{EAB}={90}^{\circ }\Rightarrow \measuredangle \text{ABE}={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{\mathrm{36,9}}^{\circ }$

$\measuredangle \text{ABE}={\mathrm{53,1}}^{\circ }$

Der Lichtschlauch ist für das Dreieck$\text{ABE}$geeignet, da keiner der Winkel kleiner als${25}^{\circ }$ist.

Bekannt sind folgende Grössen:

Bevölkerungsstand im Jahr 2010: $460725$ Einwohner.

Zunahme der Bevölkerung in $9$ Jahren um $30800$ Einwohner.

Berechne das durchschnittliche jährliche Bevölkerungswachstum in Prozent.

$\begin{array}{l}460725+30800=460725\cdot q^9\Rightarrow q=\sqrt[9]{{\displaystyle \frac{491525}{460725}}}\\ \Rightarrow q\approx \mathrm{1,0072}\Rightarrow p=\mathrm{0,72}\%\end{array}$

Das durchschnittliche jährliche Bevölkerungswachstum beträgt $\mathrm{0,72}\%$.

Die Formel fur das exponentielle Wachstum lautet:

$N\left(t\right)=N_0\cdot (1+p{)}^t$

$N_t=2000000p=\mathrm{0,38}\%N_0=1847253$

setze die Werte in die Formel ein.

$2000000=1847253\cdot (1+\mathrm{0,0038}{)}^t$

$2000000=1847253\cdot (\mathrm{1,0038}{)}^t$

Berechne $\text{t}$ mit Hilfe des Logarithmus.

$t={\log }_{\mathrm{1,0038}}\left({\displaystyle \frac{2000000}{1847253}}\right)$

$t={\displaystyle \frac{\lg 2000000-lg1847253}{lg\mathrm{1,0038}}}$

$t={\displaystyle \frac{\mathrm{0,03450}}{\mathrm{0,00165}}}\Rightarrow t=\mathrm{20,91}$

Die Einwohnerzahl würde nach ungefähr $21$ Jahren die $2$ Millionengrenze überschreiten.

Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:

$N\left(t\right)=N_0\cdot (1-p{)}^t$

$N_0=246334p=\mathrm{1,01}\%t=10\text{Jahre}$

$N_{10}=246334\cdot (1-\mathrm{0,0101}{)}^{10}$

$N_{10}=246334\cdot {\mathrm{0,9899}}^{10}$

$N_{10}=\mathrm{222555,13}$

Nach $10$ Jahren hat die Stadt noch $222555$ Einwohner.

Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:

$N\left(t\right)=N_0\cdot (1-p{)}^t$

$N_t=2510p=\mathrm{2,8}\%t=21\text{Jahre}$

setze die Werte in die Formel ein.

$2510=N_0\cdot (1-\mathrm{0,028}{)}^{21}$

$2510=N_0\cdot {\mathrm{0,972}}^{21}$

$N_0=2510:{\mathrm{0,972}}^{21}$

$N_0=\mathrm{4557,033}$

Am 1. Januar 2000 hatte die kleine Gemeinde $4557$ Einwohner.