Allgemeine Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit

Mit diesen Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit kannst du wichtige Grundlagen wiederholen und dein Wissen vertiefen. Schaffst du sie alle?

1
Gegeben: $P (E_{1}) = 0,4$ ; $P (E_{2}) = 0,7$ ; $P (E_{1} \cap E_{2}) = 0,3$
Berechne:
$P (E_{1})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses
Gesucht ist das Gegenereignis zu $E_{1}$ .
Es gilt für $P (E_{1})$ :
$P (E_{1}) + P (E_{1})$ $=$ $1$ $- P (E_{1})$
$P (E_{1})$ $=$ $1 - P (E_{1})$
↓
Für $P (E_{1})$ 0,4 einsetzen.
$=$ $1 - 0,4$
$=$ $0,6$
$\Rightarrow P (E_{1}) = 1 - 0,4 = 0,6$
Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis addiert müssen immer 1 ergeben.

$P (E_{1} \cup E_{2})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Vereinigung der Ereignisse $E_{1}$ und $E_{2}$ eintritt: $P (E_{1} \cup E_{2})$ .
Verwende:
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ (Satz von Sylvester)
$P (E_{1} \cup E_{2})$ $=$ $P (E_{1}) + P (E_{2}) - P (E_{1} \cap E_{2})$
$=$ $0,4 + 0,7 - 0,3$
$=$ $0,8$
Da die Ereignisse nicht disjunkt sind (also $P (E_{1} \cap E_{2}) \neq 0$ ), musst du den Satz von Sylvester anwenden.

$P (E_{1} \cap E_{2})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten
Lösung mit einer Vierfeldertafel
Trage die gegebenen Infos in die Vierfeldertafel ein und vervollständige diese anschließend:
$E_{1}$
$E_{1}$
$E_{2}$
0,3
0,4
0,7
$E_{2}$
0,1
0,2
0,3
0,4
0,6
1
Fettgedruckte Zahlen: aus Aufgabenstellung
Die Wahrscheinlichkeit $P (E_{1} \cap E_{2})$ ist in der 3. Zeile links:
$P (E_{1} \cap E_{2}) = 0,1$
Lösung mit Mengenalgebra
Verwende
$(E_{1} \cap E_{2}) \cup (E_{1} \cap E_{2}) = E_{1}$
und wende dann die Gesetze der Mengenalgebra an:
$\Rightarrow P (E_{1} \cap E_{2}) + P (E_{1} \cap E_{2}) = P (E_{1})$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit wird der Einfachheit halber $x$ genannt.
$P (E_{1} \cap E_{2})$ $=$ $x$
↓
Wir setzen die gegebenen Werte ein.
$0,3 + x$ $=$ $0,4$
↓
Löse nach x auf.
$x$ $=$ $0,1$
$\Rightarrow P (E_{1} \cap E_{2}) = 0,1$
Verwende zum Beispiel eine Vierfeldertafel.
Alternativ kannst du auch dein Wissen über Mengenoperationen und die Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten anwenden.

$P (E_{1} \cup E_{2})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten
Lösung mit einer Vierfeldertafel
Trage die gegebenen Infos in die Vierfeldertafel ein und vervollständige diese anschließend:
$E_{1}$
$E_{1}$
$E_{2}$
0,3
0,4
0,7
$E_{2}$
0,1
0,2
0,3
0,4
0,6
1
Fettgedruckte Zahlen: aus Aufgabenstellung
Die Wahrscheinlichkeit für $P (E_{1} \cup E_{2})$ ergibt sich entweder mit dem Satz von Sylvester (siehe unten) oder durch Addition der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen im Inneren der Vierfeldertafel (orange):
$P (E_{1} \cup E_{2})$ $=$ $P (E_{1} \cap E_{2}) + P (E_{1} \cap E_{2}) + P (E_{1} \cap E_{2})$
$=$ $0,3 + 0,1 + 0,2$
$=$ $0,6$
Mengenoperationen
Berechne zunächst die Wahrscheinlichkeit $P (E_{1} \cap E_{2})$ .
$P (E_{1} \cap E_{2}) = x$
Diese Wahrscheinlichkeit wird erneut $x$ genannt.
$P (E_{1} \cap E_{2}) + P (E_{1} \cap E_{2}) = P (E_{1})$
Setze die Werte ein und löse nach $x$ auf:
$0,3 + x = 0,4$
$x = 0,1$
Nun kannst du mit der folgenden Formel, die gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmen:
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
$P (E_{1} \cup E_{2}) = P (E_{1}) + P (E_{2}) - P (E_{1} \cap E_{2})$
Setze die entsprechenden Werte ein.
$P (E_{1} \cup E_{2}) = 0,4 + (1 - 0,7) - 0,1 = 0,6$
Verwende zum Beispiel eine Vierfeldertafel.
Alternativ kannst du auch dein Wissen über Mengenoperationen und die Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten anwenden.

$P (E_{2})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses
$P (E_{2}) + P (E_{2})$ $=$ $1$ $- P (E_{2})$
$P (E_{2})$ $=$ $1 - P (E_{2})$
↓
Für $P (E_{2})$ den Wert 0,7 einsetzen.
$=$ $1 - 0,7$
$=$ $0,3$
$\Rightarrow P (E_{2}) = 1 - 0,7 = 0,3$
Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis addiert müssen immer 1 ergeben.
2
Drücke die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E = " entweder A oder B "$ durch die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $A$ , $B$ und $A \cap B$ aus.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Das Ereignis $" entweder A oder B "$ bedeutet, dass nur das Ereignis $A$ oder nur das Ereignis $B$ eintritt, jedoch nicht beide gleichzeitig.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $" A oder B "$ eintritt, ist:
$P (" A oder B ") = P (A \cup B)$
Aber bei diesem Ereignis können auch $A$ und $B$ gleichzeitig auftreten.
Merke
Das Ereignis $" A oder B "$ heißt immer: Es tritt $A$ ein oder es tritt $B$ ein oder es treten $A$ und $B$ gleichzeitig ein.
Das heißt, du musst von der Wahrscheinlichkeit $P (" A oder B ")$ noch die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $" A und B gleichzeitig "$ abziehen, um auf das gewünschte Ergebnis zu kommen. Dafür musst du wissen:
$P (" A und B gleichzeitig ") = P (A \cap B)$
Also lautet das Endergebnis:
$\begin{array}{rcl} P (" entweder A oder B ") \\ = & P (" A oder B ") - P (" A und B gleichzeitig ") \\ = & P (A \cup B) - P (A \cap B) \end{array}$

	$E_{1}$	$E_{1}$
$E_{2}$	0,3	0,4	0,7
$E_{2}$	0,1	0,2	0,3
	0,4	0,6	1

	$E_{1}$	$E_{1}$
$E_{2}$	0,3	0,4	0,7
$E_{2}$	0,1	0,2	0,3
	0,4	0,6	1

Gegeben ist: $P (A) = \frac{1}{5}$ ; $P (B) = \frac{1}{3}$ ; $P (A \cap B) = \frac{1}{6}$

Berechne:

$P (A \cup B)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten
Lösung mithilfe einer Vierfeldertafel
$A$
$A$
$B$
$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{2}{3}$
$B$
$\frac{1}{30}$
$\frac{3}{10}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{5}$
$\frac{4}{5}$
1
Zahlen in Orange sind aus der Aufgabenstellung bzw. fest in der Vierfeldertafel.
Addiere die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen:
$P (A \cup B)$ $=$ $P (A \cap B) + P (A \cap B) + P (A \cap B)$
$=$ $\frac{1}{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{30}$
$=$ $\frac{21}{30}$
$=$ $0,7$
Lösung mithilfe von Additionssätzen
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) =$
Bilde das Gegenereignis $P (B)$ von $P (B) = \frac{1}{3}$ .
$=$ $\frac{1}{5} + (1 - \frac{1}{3}) - \frac{1}{6}$
$=$ $\frac{1}{5} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6}$
↓
Addiere, indem du den Hauptnenner bildest und auf diesen erweiterst (Hauptnenner ist 30).
$=$ $\frac{6}{30} + \frac{20}{30} - \frac{5}{30}$
$=$ $\frac{21}{30}$
Löse die Aufgabe entweder mit einer Vierfeldertfafel oder arbeite mit den Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit
$P (A \cap B)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten
Vierfeldertafel
$A$
$A$
$B$
$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{2}{3}$
$B$
$\frac{1}{30}$
$\frac{3}{10}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{5}$
$\frac{4}{5}$
1
Zahlen in Orange sind aus der Aufgabenstellung bzw. fest in der Vierfeldertafel.
Die Wahrscheinlichkeiten von Schnittmengen kannst du direkt der Vierfeldertafel entnehmen.
$P (A \cap B) = \frac{3}{10} = 0,3$
Additionssätze
$P (A \cap B)$ $=$
↓
Wende das De-Morgan-Gesetz für Vereinigungsmengen an.
$=$ $P (A \cup B)$
↓
Bilde das Gegenereignis.
$=$ $1 - P (A \cup B)$ $P (A \cup B) = \frac{21}{30}; siehe Teilaufgabe a)$
$=$ $\frac{9}{30}$
$=$ $\frac{3}{10} = 0,3$
Löse die Aufgabe entweder mit einer Vierfeldertfafel oder arbeite mit den Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit

	$A$	$A$
$B$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$
$B$	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{3}$
	$\frac{1}{5}$	$\frac{4}{5}$	1

	$A$	$A$
$B$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$
$B$	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{3}$
	$\frac{1}{5}$	$\frac{4}{5}$	1

$P (A \cup B)$

4
Beim Werfen von zwei Würfeln werden folgende Ereignisse definiert:
$A : =$ „Die Augensumme ist gerade“
$B : =$ „Der erste Würfel zeigt eine gerade Augenzahl“
Für die Wahrscheinlichkeiten gilt: $P (A) = P (B) = 0,5$ ; $P (A \cap B) = 0,25$ .
Berechne die Wahrscheinlichkeit von:
$E_{1} :$ „ $A$ und-oder $B$ treten ein“

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
$P (E_{1})$ $=$ $P (A \cup B)$
↓
Stelle die Wahrscheinlichkeit für $P (A \cup B)$ auf. Verwende den Satz von Sylvester.
$P (A \cup B)$ $=$ $P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
↓
Setze die gegebenen Werte ein.
$=$ $0,5 + 0,5 - 0,25$
$=$ $0,75$
Das gefragte Ereignis beschreibt exakt die Mengenoperation $A \cup B$ . Die zugehörige Wahrscheinlichkeit $P (A \cup B)$ berechnest du am schnellsten über den Satz von Sylvester.

$E_{2} :$ „entweder $A$ oder $B$ tritt ein“

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
$P (E_{2})$ $=$ $P (A \cup B) - P (A \cap B)$
↓
Wahrscheinlichkeit für $P (A \cup B)$ wurde in Teilaufgabe a) berechnet.
$=$ $0,75 - 0,25$
$=$ $0,5$
Das beschriebene Ereignis entfernt von der gerade eben berechneten Wahrscheinlichkeit den Fall, dass A und B beide eintreten. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit $P (A \cap B)$ muss also wieder abgezogen werden.
5
Ein Zufallsexperiment hat die vier Elementarereignisse
$Ω = {ω_{1}, ω_{2}, ω_{3}, ω_{4}}$
Außerdem sind die Wahrscheinlichkeiten von drei Ereignissen $E_{1}$
bis $E_{3}$ gegeben.
$E_{1} : = {ω_{1}, ω_{2}}$ ; $P (E_{1}) = 0,2$
$E_{2} : = {ω_{3}}$ ; $P (E_{2}) = 0,5$
$E_{3} : = {ω_{4}}$ ; $P (E_{3}) = 0,5$
Begründe, dass diese Wahrscheinlichkeitsverteilung unzulässig ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss immer $1$ betragen, deswegen ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung hier unzulässig, da sie $1,2$ beträgt.
Addiere die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse

Ändere $P (E_{3})$ so ab, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung zulässig ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Es muss gelten:
$P (E_{1}) + P (E_{2}) + P (E_{3}) = 1$
Löse nach $P (E_{3})$ auf.
$1 - P (E_{1}) - P (E_{2}) = P (E_{3})$
Setze die Werte aus der Angabe ein.
$1 - 0,2 - 0,5 = 0,3$
$\Rightarrow P (E_{3}) = 0,3$
Die Summe aller Ergebnisse muss 1 betragen.

Berechne $P ({ω_{1}})$ unter der Voraussetzung, dass $ω_{1}$ mit einer doppelt so hohen Wahrscheinlichkeit auftritt wie $ω_{2}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Aus der Angabe ist bekannt:
$P (E_{1}) = P ({ω_{1}; ω_{2}}) = 0,2$
Die Wahrscheinlichkeit $P ({ω_{1}})$ von $ω_{1}$ soll doppelt so groß sein wie $P ({ω_{2}})$ von $ω_{2}$ .
Da die Wahrscheinlichkeit von Elementarereignissen direkt addiert werden kann, gilt außerdem:
$P ({ω_{1}; ω_{2}})$ $=$ $P ({ω_{1}}) + P ({ω_{2}})$
↓
Ersetze $P ({ω_{1}}) = 2 \cdot P ({ω_{2}})$ und $P ({ω_{1}; ω_{2}}) = 0,2$
$0,2$ $=$ $2 \cdot P ({ω_{2}}) + P ({ω_{2}})$
↓
Fasse zusammen
$0,2$ $=$ $3 \cdot P ({ω_{2}})$ $: 3$
$P ({ω_{2}})$ $=$ $\frac{1}{15}$
Da $P ({ω_{2}}$ ) doppelt so groß ist wie $P ({ω_{1}})$ ist
$P ({ω_{1}}) = \frac{2}{15}$
Stelle eine Gleichung auf und löse diese.

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$P (E_{1}) + P (E_{1})$	$=$	$1$	$- P (E_{1})$
$P (E_{1})$	$=$	$1 - P (E_{1})$
	↓	Für $P (E_{1})$ 0,4 einsetzen.
	$=$	$1 - 0,4$
	$=$	$0,6$

$P (E_{1} \cup E_{2})$	$=$	$P (E_{1}) + P (E_{2}) - P (E_{1} \cap E_{2})$
	$=$	$0,4 + 0,7 - 0,3$
	$=$	$0,8$

$P (E_{1} \cap E_{2})$	$=$	$x$
	↓	Wir setzen die gegebenen Werte ein.
$0,3 + x$	$=$	$0,4$
	↓	Löse nach x auf.
$x$	$=$	$0,1$

$P (E_{1} \cup E_{2})$	$=$	$P (E_{1} \cap E_{2}) + P (E_{1} \cap E_{2}) + P (E_{1} \cap E_{2})$
	$=$	$0,3 + 0,1 + 0,2$
	$=$	$0,6$

$P (E_{2}) + P (E_{2})$	$=$	$1$	$- P (E_{2})$
$P (E_{2})$	$=$	$1 - P (E_{2})$
	↓	Für $P (E_{2})$ den Wert 0,7 einsetzen.
	$=$	$1 - 0,7$
	$=$	$0,3$

$P (A \cup B)$	$=$	$P (A \cap B) + P (A \cap B) + P (A \cap B)$
	$=$	$\frac{1}{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{30}$
	$=$	$\frac{21}{30}$
	$=$	$0,7$

	$=$	$\frac{1}{5} + (1 - \frac{1}{3}) - \frac{1}{6}$
	$=$	$\frac{1}{5} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6}$
	↓	Addiere, indem du den Hauptnenner bildest und auf diesen erweiterst (Hauptnenner ist 30).
	$=$	$\frac{6}{30} + \frac{20}{30} - \frac{5}{30}$
	$=$	$\frac{21}{30}$

$P (A \cap B)$	$=$
	↓	Wende das De-Morgan-Gesetz für Vereinigungsmengen an.
	$=$	$P (A \cup B)$
	↓	Bilde das Gegenereignis.
	$=$	$1 - P (A \cup B)$	$P (A \cup B) = \frac{21}{30}; siehe Teilaufgabe a)$
	$=$	$\frac{9}{30}$
	$=$	$\frac{3}{10} = 0,3$

$P (A \cup B)$	$=$
	↓	Verwende die Formel $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ .
	$=$	$P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
	↓	Ziehe vom Ereignis $B$ das Ereignis, dass $B$ eintritt und $A$ nicht eintritt, ab, so erhältst du das Ereignis, dass $B$ und $A$ eintreten.
	$=$	$P (A) + P (A \cap B)$
	$=$	$1 - P (A) + P (A \cap B)$
	$=$	$1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{6}$
	↓	Zum Subtrahieren bilde den Hauptnenner und erweitere auf diesen (hier Hauptnenner 30)
	$=$	$1 - \frac{6}{30} + \frac{5}{30}$
	$=$	$1 - \frac{1}{30}$
	$=$	$\frac{29}{30}$

$P (E_{1})$	$=$	$P (A \cup B)$
	↓	Stelle die Wahrscheinlichkeit für $P (A \cup B)$ auf. Verwende den Satz von Sylvester.
$P (A \cup B)$	$=$	$P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
	↓	Setze die gegebenen Werte ein.
	$=$	$0,5 + 0,5 - 0,25$
	$=$	$0,75$

$P ({ω_{1}; ω_{2}})$	$=$	$P ({ω_{1}}) + P ({ω_{2}})$
	↓	Ersetze $P ({ω_{1}}) = 2 \cdot P ({ω_{2}})$ und $P ({ω_{1}; ω_{2}}) = 0,2$
$0,2$	$=$	$2 \cdot P ({ω_{2}}) + P ({ω_{2}})$
	↓	Fasse zusammen
$0,2$	$=$	$3 \cdot P ({ω_{2}})$	$: 3$
$P ({ω_{2}})$	$=$	$\frac{1}{15}$

$P (E_{2})$	$=$	$P (A \cup B) - P (A \cap B)$
	↓	Wahrscheinlichkeit für $P (A \cup B)$ wurde in Teilaufgabe a) berechnet.
	$=$	$0,75 - 0,25$
	$=$	$0,5$

Allgemeine Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit

Lösung mit einer Vierfeldertafel

Lösung mit Mengenalgebra

Lösung mit einer Vierfeldertafel

Mengenoperationen

Lösung mithilfe einer Vierfeldertafel

Lösung mithilfe von Additionssätzen

Vierfeldertafel

Additionssätze