Allgemeine Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit

Gegeben: $P (E_{1}) = 0,4$ ; $P (E_{2}) = 0,7$ ; $P (E_{1} \cap E_{2}) = 0,3$

Berechne:

$P (E_{1})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses
Gesucht ist das Gegenereignis zu $E_{1}$ .
Es gilt für $P (E_{1})$ :
$P (E_{1}) + P (E_{1})$ $=$ $1$ $- P (E_{1})$
$P (E_{1})$ $=$ $1 - P (E_{1})$
↓
Für $P (E_{1})$ 0,4 einsetzen.
$=$ $1 - 0,4$
$=$ $0,6$
$\Rightarrow P (E_{1}) = 1 - 0,4 = 0,6$
Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis addiert müssen immer 1 ergeben.
$P (E_{1} \cup E_{2})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Vereinigung der Ereignisse $E_{1}$ und $E_{2}$ eintritt: $P (E_{1} \cup E_{2})$ .
Verwende:
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ (Satz von Sylvester)
$P (E_{1} \cup E_{2})$ $=$ $P (E_{1}) + P (E_{2}) - P (E_{1} \cap E_{2})$
$=$ $0,4 + 0,7 - 0,3$
$=$ $0,8$
Da die Ereignisse nicht disjunkt sind (also $P (E_{1} \cap E_{2}) \neq 0$ ), musst du den Satz von Sylvester anwenden.
$P (E_{1} \cap E_{2})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten
Lösung mit einer Vierfeldertafel
Trage die gegebenen Infos in die Vierfeldertafel ein und vervollständige diese anschließend:
$E_{1}$
$E_{1}$
$E_{2}$
0,3
0,4
0,7
$E_{2}$
0,1
0,2
0,3
0,4
0,6
1
Fettgedruckte Zahlen: aus Aufgabenstellung
Die Wahrscheinlichkeit $P (E_{1} \cap E_{2})$ ist in der 3. Zeile links:
$P (E_{1} \cap E_{2}) = 0,1$
Lösung mit Mengenalgebra
Verwende
$(E_{1} \cap E_{2}) \cup (E_{1} \cap E_{2}) = E_{1}$
und wende dann die Gesetze der Mengenalgebra an:
$\Rightarrow P (E_{1} \cap E_{2}) + P (E_{1} \cap E_{2}) = P (E_{1})$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit wird der Einfachheit halber $x$ genannt.
$P (E_{1} \cap E_{2})$ $=$ $x$
↓
Wir setzen die gegebenen Werte ein.
$0,3 + x$ $=$ $0,4$
↓
Löse nach x auf.
$x$ $=$ $0,1$
$\Rightarrow P (E_{1} \cap E_{2}) = 0,1$
Verwende zum Beispiel eine Vierfeldertafel.
Alternativ kannst du auch dein Wissen über Mengenoperationen und die Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten anwenden.
$P (E_{1} \cup E_{2})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten
Lösung mit einer Vierfeldertafel
Trage die gegebenen Infos in die Vierfeldertafel ein und vervollständige diese anschließend:
$E_{1}$
$E_{1}$
$E_{2}$
0,3
0,4
0,7
$E_{2}$
0,1
0,2
0,3
0,4
0,6
1
Fettgedruckte Zahlen: aus Aufgabenstellung
Die Wahrscheinlichkeit für $P (E_{1} \cup E_{2})$ ergibt sich entweder mit dem Satz von Sylvester (siehe unten) oder durch Addition der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen im Inneren der Vierfeldertafel (orange):
$P (E_{1} \cup E_{2})$ $=$ $P (E_{1} \cap E_{2}) + P (E_{1} \cap E_{2}) + P (E_{1} \cap E_{2})$
$=$ $0,3 + 0,1 + 0,2$
$=$ $0,6$
Mengenoperationen
Berechne zunächst die Wahrscheinlichkeit $P (E_{1} \cap E_{2})$ .
$P (E_{1} \cap E_{2}) = x$
Diese Wahrscheinlichkeit wird erneut $x$ genannt.
$P (E_{1} \cap E_{2}) + P (E_{1} \cap E_{2}) = P (E_{1})$
Setze die Werte ein und löse nach $x$ auf:
$0,3 + x = 0,4$
$x = 0,1$
Nun kannst du mit der folgenden Formel, die gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmen:
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
$P (E_{1} \cup E_{2}) = P (E_{1}) + P (E_{2}) - P (E_{1} \cap E_{2})$
Setze die entsprechenden Werte ein.
$P (E_{1} \cup E_{2}) = 0,4 + (1 - 0,7) - 0,1 = 0,6$
Verwende zum Beispiel eine Vierfeldertafel.
Alternativ kannst du auch dein Wissen über Mengenoperationen und die Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten anwenden.
$P (E_{2})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses
$P (E_{2}) + P (E_{2})$ $=$ $1$ $- P (E_{2})$
$P (E_{2})$ $=$ $1 - P (E_{2})$
↓
Für $P (E_{2})$ den Wert 0,7 einsetzen.
$=$ $1 - 0,7$
$=$ $0,3$
$\Rightarrow P (E_{2}) = 1 - 0,7 = 0,3$
Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis addiert müssen immer 1 ergeben.

	$E_{1}$	$E_{1}$
$E_{2}$	0,3	0,4	0,7
$E_{2}$	0,1	0,2	0,3
	0,4	0,6	1

	$E_{1}$	$E_{1}$
$E_{2}$	0,3	0,4	0,7
$E_{2}$	0,1	0,2	0,3
	0,4	0,6	1

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$P (E_{1}) + P (E_{1})$	$=$	$1$	$- P (E_{1})$
$P (E_{1})$	$=$	$1 - P (E_{1})$
	↓	Für $P (E_{1})$ 0,4 einsetzen.
	$=$	$1 - 0,4$
	$=$	$0,6$

$P (E_{1} \cup E_{2})$	$=$	$P (E_{1}) + P (E_{2}) - P (E_{1} \cap E_{2})$
	$=$	$0,4 + 0,7 - 0,3$
	$=$	$0,8$

$P (E_{1} \cap E_{2})$	$=$	$x$
	↓	Wir setzen die gegebenen Werte ein.
$0,3 + x$	$=$	$0,4$
	↓	Löse nach x auf.
$x$	$=$	$0,1$

$P (E_{1} \cup E_{2})$	$=$	$P (E_{1} \cap E_{2}) + P (E_{1} \cap E_{2}) + P (E_{1} \cap E_{2})$
	$=$	$0,3 + 0,1 + 0,2$
	$=$	$0,6$

$P (E_{2}) + P (E_{2})$	$=$	$1$	$- P (E_{2})$
$P (E_{2})$	$=$	$1 - P (E_{2})$
	↓	Für $P (E_{2})$ den Wert 0,7 einsetzen.
	$=$	$1 - 0,7$
	$=$	$0,3$

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Lösung mit Mengenalgebra

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