Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

• Symmetrie zum Koordinatenursprung

Wenn der Graph von $f$ symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, dann gilt: $f(-x)=-f(x)$

Setze in den Funktionsterm $(-x)$ ein und überprüfe, ob $f(-x)=-f(x)$ ist:

$f(-x)=(-x)\cdot e^{-\frac{1}{2}(-x{)}^2+\frac{1}{2}}=-x\cdot e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}=-f(x)$$✓$

Der Graph von $f$ ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

• Die Funktion $f$ hat genau eine Nullstelle

Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist (Satz vom Nullprodukt).

$f(x)=0\Rightarrow 0=x\cdot \underset{>0}{\underbrace{e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}}}\Rightarrow x=0$

Also hat die Funktion nur eine Nullstelle bei $x=0$.

• Grenzwert von $f$ für $x\to +\infty$

$${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }(\underset{\to +\infty }{\underbrace{x}}\cdot \underset{\to 0^{+}}{\underbrace{e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}}})=0^{+}}$$

Der Exponent der $e$-Funktion hat den Grenzwert $-\infty$. Die $e$-Funktion geht dort stärker gegen $0$, als $x\to +\infty$ geht.

Gegeben ist die Funktion: $f(x)=x\cdot e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}$

Die Funktion $f$ ist das Produkt zweier Funktionen. Man bringt die Funktion $f$ in die Form $f(x)=u(x)\cdot v(x)$

Dazu setzt man $u(x)=x$ und $v(x)=e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}$.

Die Ableitung des Produktes zweier Funktionen $u$ und $v$ ist dann:

$f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)$

Berechnet werden müssen die beiden Ableitungen der Funktionen $u$ und $v$.

Die Ableitung von $u(x)$ ist $u^{\prime }(x)=1$.

Bei der Ableitung von v(x) muss beachtet werden, dass diese Funktion eine verkettete Funktion ist, d.h. bei der Ableitung von $v(x)$ muss die Kettenregel angewendet werden.

$v(x)=g(h(x))=e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}$

Dabei ist die Funktion $g(x)$ die $e$-Funktion $e^x$ und $h(x)=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}$

Dann ist $v^{\prime }(x)={(g(h(x))}^{\prime }=g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)$

Die Ableitung von $g(x)$ ist $e^x$ und $h^{\prime }(x)={(-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2})}^{\prime }=-x$

Damit folgt für die Ableitung von $v(x)$:

$v^{\prime }(x)={(g(h(x))}^{\prime }=g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)=e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}\cdot (-x)=-x\cdot e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}$.

Man setzt nun in die Formel für die Produktregel ein und erhält:

Der Term der ersten Ableitungsfunktion $f^{\prime }$ von $f$ lautet:

$f^{\prime }(x)=(1-x^2)\cdot e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}$

Monotonieverhalten von $f$

Man bestimmt das Monotonieverhalten einer differenzierbaren Funktion $f$ über ihre erste Ableitung: $f^{\prime }(x)=(1-x^2)\cdot e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}$

$f^{\prime }(x)>0\to$ $f$ ist streng monoton steigend

$f^{\prime }(x)<0\to$  $f$ ist streng monoton fallend

Suche zunächst die Stellen, an denen $f^{\prime }(x)=0$ ist.

Das Produkt $f^{\prime }(x)=(1-x^2)\cdot e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}$ ist null, wenn einer der Faktoren null ist (Satz vom Nullprodukt).

$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow 0=(1-x^2)\cdot \underset{>0}{\underbrace{e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}}}\Rightarrow 1-x^2=0$

$1-x^2=0\Rightarrow x_1=-1$ und $x_2=1$

Für eine Vorzeichentabelle berechnet man einige Ableitungswerte. Man wählt einen Wert $x$ der kleiner als $x_1=-1$ ist, z.B. $x=-3$ und berechnet $f^{\prime }(-3)$:

$f^{\prime }(-3)=(1-(-3{)}^2)\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot (-3{)}^2+\frac{1}{2}}\cdot =(1-9)\cdot e^{-4}=-8\cdot e^{-4}<0$

Dann wählt man einen Wert $x$, der zwischen $x_1=-1$ und $x_2=1$ liegt, z.B. $x=0$ und berechnet $f^{\prime }(0)$: $f^{\prime }(0)=(1-0^2)\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot (0{)}^2+\frac{1}{2}}=e^{\frac{1}{2}}>0$

Man wählt einen Wert $x$ der größer als $x_2=1$ ist, z.B. $x=3$ und berechnet $f^{\prime }(3)$:

$f^{\prime }(3)=(1-3^2)\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot 3^2+\frac{1}{2}}=(1-9)\cdot e^{-4}=-8\cdot e^{-4}<0$

Mit diesen berechneten Werten ergibt sich die folgende Tabelle:

Die Funktion $f$ hat folgendes Monotonieverhalten.

Im Intervall $]-\infty ;-1[$ ist $f$ streng monoton fallend, im Intervall $[-1;1]$ ist $f$ streng monoton steigend und im Intervall $]1;+\infty [$ ist $f$ streng monoton fallend.

Koordinatenachsen einzeichnen und skalieren

Der Graph von $f$ ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs (nach Aufgabe $a$)). Man zeichnet den Koordinatenursprung so ein, dass sich die Punktsymmetrie ergibt. Da der Graph von $f$ nur eine Nullstelle bei $x=0$ hat (siehe Aufgabe $a$)), muss die $x$-Achse so gelegt werden, dass es nur einen Schnittpunkt mit ihr gibt.

Für $x=1$ hat die Funktion einen Hochpunkt, d.h es muss $f(1)$ berechnet werden:

$f(1)=1\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot 1^2+\frac{1}{2}}=1\cdot e^0=1$$\Rightarrow HP(1|1)$

Mit dieser Information kann dann die x-Achse und die y-Achse skaliert werden.

Die Abbildung $1$ zeigt die zusätzlich eingezeichneten Koordinatenachsen und die Skalierung der Achsen.

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x\cdot e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}$.

Die Funktion $e^{g(x)}$ ist hier $e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}$ und die Funktion $g(x)$ ist damit:

$g(x)=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}$.

Für die Ableitung von $g(x)$ ergibt sich: $g^{\prime }(x)={(-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2})}^{\prime }=-x$

In der Funktion $f(x)$ steht aber als Faktor $(+x)$ und nicht $(-x)$.

Da $(+1)=(-1)\cdot (-1)$ ist, kann die Funktion $f(x)$ geschrieben werden als:

$f(x)=(-1)\cdot (-1)\cdot x\cdot e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}=-(-x\cdot e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}})$ (identisch mit $f(x)$).

In der Klammer der Funktion $f(x)$ steht jetzt $g^{\prime }(x)\cdot e^{g(x)}$.

Der Wert des Terms $${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x}$$ ist $e^{\frac{1}{2}}-1$.

Das Integral $${\displaystyle {\int }_0^{2022}f(x)\mathrm{d}x}$$ berechnet den Flächeninhalt zwischen $f(x)$ und der $x$-Achse im Bereich von $0$ bis $2022$ (siehe Abbildung $1$ mit Koordinatenachsen).

Entsprechend wird mit $F(w)-F(0)$ ebenfalls der Flächeninhalt zwischen $f(x)$ und der $x$-Achse im Bereich von $0$ bis $w$ berechnet. Ist $w>2022$, dann unterscheiden sich die beiden Flächeninhalte nicht mehr wesentlich voneinander. Sie sind ungefähr gleich groß.

$f_a(x)=x\cdot e^{-\frac{1}{2}a\cdot x^2+\frac{1}{2}}$

Berechne $f_a(1)$:

Nur für $a=1$ enthält der Graph $f_1(x)$ den Punkt $(1|1)$.

Setze $a=0$ in die Scharfunktion ein:

$f_0(x)=x\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot 0\cdot x^2+\frac{1}{2}}=e^{\frac{1}{2}}\cdot x$

Die allgemeine Geradengleichung lautet: $y=m\cdot x+t$

Die Steigung $m$ der Geraden ist $e^{\frac{1}{2}}$ und der Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist $(0|0)$.

• $f_a(0)=0$$\Rightarrow$ Alle Graphen der Schar gehen durch den Ursprung $(0|0)$.

• $f_a^{\prime }(0)=f_0^{\prime }(0)$$\Rightarrow$ Alle Graphen der Schar haben an der Stelle $x=0$ die gleiche Steigung, die gleich der Steigung des Graphens von $f_0(x)$ ist.

• $f_{a_1}(x)=f_{a_2}(x)\iff a_1=a_2$ oder $x=0$$\Rightarrow$ Die Graphen für verschiedenes $a$ haben nur bei $x=0$ einen gemeinsamen Punkt. Wenn sich zwei Graphen außer für $x=0$ noch an einer anderen Stelle schneiden, dann müssen die Graphen identisch sein.

Strecken in $y$-Richtung: Der gesamte Funktionsterm wird mit $k$ multipliziert.

Strecken in $x$-Richtung: Jeder $x$-Wert im Funktionsterm wird durch ${\displaystyle \frac{x}{k}}$ ersetzt.

Wenn man die Funktion in y-Richtung mit dem Faktor $k$ streckt, erhält man als neuen Funktionsterm $k\cdot f_a(x)=k\cdot x\cdot e^{-\frac{1}{2}a\cdot x^2+\frac{1}{2}}$.

Wenn man danach in x-Richtung mit dem Faktor $k$ streckt, ergibt sich als Funktionsterm:

Das heißt: $k\cdot f_a\left(\frac{x}{k}\right)=f_{\frac{a}{k^2}}(x)$

Damit ist der entstandene Graph ebenfalls eine Funktion der Schar.

Die Lösungen der Gleichung $a\cdot x^2=1$ liefern die Extremstellen von $f_a$.

Für $a$ gilt $a\in ℝ$, d.h. bezüglich der Lösung der Gleichung ist eine Fallunterscheidung notwendig:

Fall 1: $a<0\Rightarrow x^2={\displaystyle \frac{1}{a}}<0\Rightarrow$keine Lösung, da ein Quadrat nicht negativ sein kann. Der Graph hat demnach keine Extrema. Der Graph gehört in Gruppe $\mathrm{II}$.

Fall 2: $a=0\Rightarrow$ der Graph $f_0$ ist eine Gerade und hat somit keine Extrema. Der Graph gehört in Gruppe $\mathrm{II}$.

Fall 3: $a>0\Rightarrow x^2={\displaystyle \frac{1}{a}}\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}=\pm \sqrt{\frac{1}{a}}$$\Rightarrow$ $f_a^{\prime }(x)$ hat zwei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel$\Rightarrow f_a$ hat $2$ Extremstellen. Der Graph gehört in Gruppe $\mathrm{I}$.

Entsprechend erhält man für $f_a(-\sqrt{\frac{1}{a}})=-\sqrt{\frac{1}{a}}$

Für beide Extrema gilt jeweils, dass der x-Wert gleich dem Funktionswert ist. Die $x$- und $y$-Koordinaten sind gleich. Alle Extrema liegen auf der Geraden mit der Gleichung $y=x$.

Hinweis: Nur zur Veranschaulichung (In der Aufgabenstellung nicht gefordert.)

Drei Scharkurven mit der Ortskurve $y=x$ der Extrema.

Für die Skizze wird die in Aufgabe c) verwendete Abbildung $1$, die mit Koordinatenachsen versehen wurde und skaliert ist, benutzt.

Der Hochpunkt hat in der Skizze die Koordinaten $HP(1|1)$, sodass in diesem Fall $v=1$ ist. In der Skizze sind auch die drei anderen Eckpunkte des Vierecks markiert: $O(0|0)$, $Q(1|0)$ und $P(0|2)$. Für das allgemeine Viereck entspricht der Punkt $Q(1|0)$ dem Punkt $Q(v|0)$, dem Punkt $HP(1|1)$ entspricht der Punkt $HP(v|f_a(v))$ und dem Punkt $P(0|2)$ entspricht der Punkt $P(0|\frac{2}{v})$ (siehe obige Abbildung). Der Koordinatenursprung bleibt erhalten.

Das Viereck stellt ein Trapez dar. Die Flächenformel für das Trapez lautet:

$A_{\text{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot (a+c)\cdot h$

Nach der obigen Skizze hat die Seite $a$ die Länge ${\displaystyle \frac{2}{v}}$, die Seite $c$ die Länge f${}_a(v)=v$ (Die $x$- und $y$-Koordinaten der Extrema sind gleich.) und die Höhe $h$ hat die Länge $v$.

Eingesetzt in die Flächenformel erhält man:

$A_{\text{Trapez}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot ({\displaystyle \frac{2}{v}}+v)\cdot v$

Dieser Flächeninhalt soll 49 sein:

Man hat die Gleichung $v^2=96$ erhalten. Andererseits hat der Hochpunkt die Koordinaten $HP\left(\sqrt{\frac{1}{a}}\right|\sqrt{\frac{1}{a}})$ (vergleiche die Aufgaben e) und f)).

Da $v$ die $x$-Koordinate des Hochpunkts ist, gilt $v=\sqrt{\frac{1}{a}}$.

Für $a={\displaystyle \frac{1}{96}}$ hat das Viereck den Flächeninhalt $49$.

Hinweis: Die Fläche des Vierecks kann auch als Summe der Fläche eines Quadrates und der Fläche eines Dreiecks berechnet werden.