Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

Betrachtet wird nun die Schar der in $ℝ$ definierten Funktionen $f_{a} : x \mapsto x \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot x^{2} + \frac{1}{2}}$ mit $a \in ℝ$ .

Zeigen Sie, dass genau ein Graph der Schar den Punkt $(1 | 1)$ enthält, und geben Sie den zugehörigen Wert von $a$ an. (3P)

$f_{a} (x) = x \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot x^{2} + \frac{1}{2}}$
Berechne $f_{a} (1)$ :
$f_{a} (x)$ $=$ $x \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot x^{2} + \frac{1}{2}}$
↓
$P (1 | 1)$ eingesetzt.
$1$ $=$ $1 \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot 1^{2} + \frac{1}{2}}$
↓
Vereinfache.
$1$ $=$ $e^{- \frac{1}{2} a + \frac{1}{2}}$ $\ln ()$
$\ln (1)$ $=$ $- \frac{1}{2} a + \frac{1}{2}$
↓
Es ist $\ln (1) = 0$ .
$0$ $=$ $- \frac{1}{2} a + \frac{1}{2}$ $+ \frac{1}{2} a$
$\frac{1}{2} a$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot 2$
$a$ $=$ $1$
Nur für $a = 1$ enthält der Graph $f_{1} (x)$ den Punkt $(1 | 1)$ .
Der Graph der Funktion $f_{0}$ ist eine Gerade. Geben Sie die Steigung dieser Geraden und die Koordinaten ihres Schnittpunkts mit der $y$ -Achse an. (2P)

Setze $a = 0$ in die Scharfunktion ein:
$f_{0} (x) = x \cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot x^{2} + \frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{2}} \cdot x$
Die allgemeine Geradengleichung lautet: $y = m \cdot x + t$
$f_{0} (x)$ $=$ $\underset{konstant \approx 1,65}{\underset{⏟}{e^{\frac{1}{2}}}} \cdot x$
$=$ $\underset{m}{\underset{⏟}{e^{\frac{1}{2}}}} \cdot x + \underset{t}{\underset{⏟}{0}}$
Die Steigung $m$ der Geraden ist $e^{\frac{1}{2}}$ und der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse ist $(0 | 0)$ .
Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen $a, a_{1}$ und $a_{2}$ :
- $f_{a} (0) = 0$
- $f_{a}^{'} (0) = f_{0}^{'} (0)$
- $f_{a_{1}} (x) = f_{a_{2}} (x) \Leftrightarrow a_{1} = a_{2}$ oder $x = 0$
Geben Sie an, was sich aus diesen Aussagen hinsichtlich des Verlaufs der Graphen der Schar folgern lässt. (3P)
$f_{a} (0) = 0$ $\Rightarrow$ Alle Graphen der Schar gehen durch den Ursprung $(0 | 0)$ .
$f_{a}^{'} (0) = f_{0}^{'} (0)$ $\Rightarrow$ Alle Graphen der Schar haben an der Stelle $x = 0$ die gleiche Steigung, die gleich der Steigung des Graphens von $f_{0} (x)$ ist.
$f_{a_{1}} (x) = f_{a_{2}} (x) \Leftrightarrow a_{1} = a_{2}$ oder $x = 0$ $\Rightarrow$ Die Graphen für verschiedenes $a$ haben nur bei $x = 0$ einen gemeinsamen Punkt. Wenn sich zwei Graphen außer für $x = 0$ noch an einer anderen Stelle schneiden, dann müssen die Graphen identisch sein.
Zeigen Sie, dass die folgende Aussage für jeden Wert von $a$ richtig ist:
Wird der Graph von $f_{a}$ mit dem gleichen Faktor $k > 0$ sowohl in $x$ -Richtung als auch in
$y$ -Richtung gestreckt, so stellt der dadurch entstehende Graph ebenfalls eine Funktion
der Schar dar. (3P)
Die Graphen der Schar lassen sich in die beiden folgenden Gruppen $I$ und $II$ einteilen:
$I$ Der Graph hat genau zwei Extrempunkte.
$II$ Der Graph hat keine Extrempunkte.
Die Abbildung $2$ zeigt einen Graphen der Gruppe $I$ , die Abbildung $3$ einen Graphen der Gruppe $II$ .
Die Extremstellen von $f_{a}$ stimmen mit den Lösungen der Gleichung $a \cdot x^{2} = 1$ überein.

Strecken in $y$ -Richtung: Der gesamte Funktionsterm wird mit $k$ multipliziert.
Strecken in $x$ -Richtung: Jeder $x$ -Wert im Funktionsterm wird durch $\frac{x}{k}$ ersetzt.
Wenn man die Funktion in y-Richtung mit dem Faktor $k$ streckt, erhält man als neuen Funktionsterm $k \cdot f_{a} (x) = k \cdot x \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot x^{2} + \frac{1}{2}}$ .
Wenn man danach in x-Richtung mit dem Faktor $k$ streckt, ergibt sich als Funktionsterm:
$k \cdot f_{a} (\frac{x}{k})$ $=$ $k \cdot (\frac{x}{k}) \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot {(\frac{x}{k})}^{2} + \frac{1}{2}}$
↓
Kürze.
$=$ $x \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot (\frac{x^{2}}{k^{2}}) + \frac{1}{2}}$
↓
Fasse die Parameter $a$ und $k$ zusammen.
$=$ $x \cdot e^{- \frac{1}{2} (\frac{a}{k^{2}}) \cdot x^{2} + \frac{1}{2}}$
Das heißt: $k \cdot f_{a} (\frac{x}{k}) = f_{\frac{a}{k^{2}}} (x)$
Damit ist der entstandene Graph ebenfalls eine Funktion der Schar.
Geben Sie zu jeder der beiden Gruppen $I$ und $II$ alle zugehörigen Werte von a an und begründen Sie Ihre Angabe. (3P)

Die Lösungen der Gleichung $a \cdot x^{2} = 1$ liefern die Extremstellen von $f_{a}$ .
Für $a$ gilt $a \in ℝ$ , d.h. bezüglich der Lösung der Gleichung ist eine Fallunterscheidung notwendig:
Fall 1: $a < 0 \Rightarrow x^{2} = \frac{1}{a} < 0 \Rightarrow$ keine Lösung, da ein Quadrat nicht negativ sein kann. Der Graph hat demnach keine Extrema. Der Graph gehört in Gruppe $II$ .
Fall 2: $a = 0 \Rightarrow$ der Graph $f_{0}$ ist eine Gerade und hat somit keine Extrema. Der Graph gehört in Gruppe $II$ .
Fall 3: $a > 0 \Rightarrow x^{2} = \frac{1}{a} \Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{1}{a}}$ $\Rightarrow$ $f_{a}^{'} (x)$ hat zwei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel $\Rightarrow f_{a}$ hat $2$ Extremstellen. Der Graph gehört in Gruppe $I$ .
Alle Extrempunkte der Schar liegen auf einer Geraden. Begründen Sie, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung $y = x$ handelt. (3P)

$f_{a} (x)$ $=$ $x \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot x^{2} + \frac{1}{2}}$
↓
Setze $x = + \sqrt{\frac{1}{a}}$ ein.
$f_{a} (+ \sqrt{\frac{1}{a}})$ $=$ $+ \sqrt{\frac{1}{a}} \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot {(+ \sqrt{\frac{1}{a}})}^{2} + \frac{1}{2}}$
↓
Vereinfache die Potenz.
$=$ $+ \sqrt{\frac{1}{a}} \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot (\frac{1}{a}) + \frac{1}{2}}$
$=$ $+ \sqrt{\frac{1}{a}} \cdot e^{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$
$=$ $+ \sqrt{\frac{1}{a}} \cdot e^{0}$
↓
Es ist $e^{0} = 1$ .
$=$ $+ \sqrt{\frac{1}{a}}$
Entsprechend erhält man für $f_{a} (- \sqrt{\frac{1}{a}}) = - \sqrt{\frac{1}{a}}$
Für beide Extrema gilt jeweils, dass der x-Wert gleich dem Funktionswert ist. Die $x$ - und $y$ -Koordinaten sind gleich. Alle Extrema liegen auf der Geraden mit der Gleichung $y = x$ .
Hinweis: Nur zur Veranschaulichung (In der Aufgabenstellung nicht gefordert.)
Drei Scharkurven mit der Ortskurve $y = x$ der Extrema.
Für jeden positiven Wert von $a$ bilden der Hochpunkt $(v | f_{a} (v))$ des Graphen von $f_{a}$ , der Punkt $(0 | \frac{2}{v})$ , der Koordinatenursprung und der Punkt $(v | 0)$ die Eckpunkte eines Vierecks. Bestimmen Sie ausgehend von einer geeigneten Skizze denjenigen Wert von $a$ , für den das Viereck den Flächeninhalt $49$ hat. (6P)

Für die Skizze wird die in Aufgabe c) verwendete Abbildung $1$ , die mit Koordinatenachsen versehen wurde und skaliert ist, benutzt.
Der Hochpunkt hat in der Skizze die Koordinaten $H P (1 | 1)$ , sodass in diesem Fall $v = 1$ ist. In der Skizze sind auch die drei anderen Eckpunkte des Vierecks markiert: $O (0 | 0)$ , $Q (1 | 0)$ und $P (0 | 2)$ . Für das allgemeine Viereck entspricht der Punkt $Q (1 | 0)$ dem Punkt $Q (v | 0)$ , dem Punkt $H P (1 | 1)$ entspricht der Punkt $H P (v | f_{a} (v))$ und dem Punkt $P (0 | 2)$ entspricht der Punkt $P (0 | \frac{2}{v})$ (siehe obige Abbildung). Der Koordinatenursprung bleibt erhalten.
Das Viereck stellt ein Trapez dar. Die Flächenformel für das Trapez lautet:
$A_{Trapez} = \frac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h$
Nach der obigen Skizze hat die Seite $a$ die Länge $\frac{2}{v}$ , die Seite $c$ die Länge f $_{a} (v) = v$ (Die $x$ - und $y$ -Koordinaten der Extrema sind gleich.) und die Höhe $h$ hat die Länge $v$ .
Eingesetzt in die Flächenformel erhält man:
$A_{Trapez} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{v} + v) \cdot v$
Dieser Flächeninhalt soll 49 sein:
$49$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{v} + v) \cdot v$ $\cdot 2$
↓
Löse nach $v$ auf.
$98$ $=$ $(\frac{2}{v} + v) \cdot v$
↓
Berechne die Klammer
$98$ $=$ $2 + v^{2}$ $- 2$
$96$ $=$ $v^{2}$
Man hat die Gleichung $v^{2} = 96$ erhalten. Andererseits hat der Hochpunkt die Koordinaten $H P (\sqrt{\frac{1}{a}} | \sqrt{\frac{1}{a}})$ (vergleiche die Aufgaben e) und f)).
Da $v$ die $x$ -Koordinate des Hochpunkts ist, gilt $v = \sqrt{\frac{1}{a}}$ .
$v$ $=$ $\sqrt{\frac{1}{a}}$
↓
Quadriere
$v^{2}$ $=$ $\frac{1}{a}$
↓
Setze $v^{2} = 96$ ein.
$96$ $=$ $\frac{1}{a}$ $\cdot a$
$96 a$ $=$ $1$ $: 96$
$a$ $=$ $\frac{1}{96}$
Für $a = \frac{1}{96}$ hat das Viereck den Flächeninhalt $49$ .
Hinweis: Die Fläche des Vierecks kann auch als Summe der Fläche eines Quadrates und der Fläche eines Dreiecks berechnet werden.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$f_{a} (x)$	$=$	$x \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot x^{2} + \frac{1}{2}}$
	↓	$P (1 \| 1)$ eingesetzt.
$1$	$=$	$1 \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot 1^{2} + \frac{1}{2}}$
	↓	Vereinfache.
$1$	$=$	$e^{- \frac{1}{2} a + \frac{1}{2}}$	$\ln ()$
$\ln (1)$	$=$	$- \frac{1}{2} a + \frac{1}{2}$
	↓	Es ist $\ln (1) = 0$ .
$0$	$=$	$- \frac{1}{2} a + \frac{1}{2}$	$+ \frac{1}{2} a$
$\frac{1}{2} a$	$=$	$\frac{1}{2}$	$\cdot 2$
$a$	$=$	$1$

$f_{0} (x)$	$=$	$\underset{konstant \approx 1,65}{\underset{⏟}{e^{\frac{1}{2}}}} \cdot x$
	$=$	$\underset{m}{\underset{⏟}{e^{\frac{1}{2}}}} \cdot x + \underset{t}{\underset{⏟}{0}}$

$k \cdot f_{a} (\frac{x}{k})$	$=$	$k \cdot (\frac{x}{k}) \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot {(\frac{x}{k})}^{2} + \frac{1}{2}}$
	↓	Kürze.
	$=$	$x \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot (\frac{x^{2}}{k^{2}}) + \frac{1}{2}}$
	↓	Fasse die Parameter $a$ und $k$ zusammen.
	$=$	$x \cdot e^{- \frac{1}{2} (\frac{a}{k^{2}}) \cdot x^{2} + \frac{1}{2}}$

$f_{a} (x)$	$=$	$x \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot x^{2} + \frac{1}{2}}$
	↓	Setze $x = + \sqrt{\frac{1}{a}}$ ein.
$f_{a} (+ \sqrt{\frac{1}{a}})$	$=$	$+ \sqrt{\frac{1}{a}} \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot {(+ \sqrt{\frac{1}{a}})}^{2} + \frac{1}{2}}$
	↓	Vereinfache die Potenz.
	$=$	$+ \sqrt{\frac{1}{a}} \cdot e^{- \frac{1}{2} a \cdot (\frac{1}{a}) + \frac{1}{2}}$
	$=$	$+ \sqrt{\frac{1}{a}} \cdot e^{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$
	$=$	$+ \sqrt{\frac{1}{a}} \cdot e^{0}$
	↓	Es ist $e^{0} = 1$ .
	$=$	$+ \sqrt{\frac{1}{a}}$

$49$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{v} + v) \cdot v$	$\cdot 2$
	↓	Löse nach $v$ auf.
$98$	$=$	$(\frac{2}{v} + v) \cdot v$
	↓	Berechne die Klammer
$98$	$=$	$2 + v^{2}$	$- 2$
$96$	$=$	$v^{2}$

$v$	$=$	$\sqrt{\frac{1}{a}}$
	↓	Quadriere
$v^{2}$	$=$	$\frac{1}{a}$
	↓	Setze $v^{2} = 96$ ein.
$96$	$=$	$\frac{1}{a}$	$\cdot a$
$96 a$	$=$	$1$	$: 96$
$a$	$=$	$\frac{1}{96}$