Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

• Symmetrie zum Koordinatenursprung

Wenn der Graph von $f$ symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, dann gilt: $f(-x)=-f(x)$

Setze in den Funktionsterm $(-x)$ ein und überprüfe, ob $f(-x)=-f(x)$ ist:

$f(-x)=(-x)\cdot e^{-\frac{1}{2}(-x{)}^2+\frac{1}{2}}=-x\cdot e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}=-f(x)$$✓$

Der Graph von $f$ ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

• Die Funktion $f$ hat genau eine Nullstelle

Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist (Satz vom Nullprodukt).

$f(x)=0\Rightarrow 0=x\cdot \underset{>0}{\underbrace{e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}}}\Rightarrow x=0$

Also hat die Funktion nur eine Nullstelle bei $x=0$.

• Grenzwert von $f$ für $x\to +\infty$

$${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }(\underset{\to +\infty }{\underbrace{x}}\cdot \underset{\to 0^{+}}{\underbrace{e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}}})=0^{+}}$$

Der Exponent der $e$-Funktion hat den Grenzwert $-\infty$. Die $e$-Funktion geht dort stärker gegen $0$, als $x\to +\infty$ geht.

Gegeben ist die Funktion: $f(x)=x\cdot e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}$

Die Funktion $f$ ist das Produkt zweier Funktionen. Man bringt die Funktion $f$ in die Form $f(x)=u(x)\cdot v(x)$

Dazu setzt man $u(x)=x$ und $v(x)=e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}$.

Die Ableitung des Produktes zweier Funktionen $u$ und $v$ ist dann:

$f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)$

Berechnet werden müssen die beiden Ableitungen der Funktionen $u$ und $v$.

Die Ableitung von $u(x)$ ist $u^{\prime }(x)=1$.

Bei der Ableitung von v(x) muss beachtet werden, dass diese Funktion eine verkettete Funktion ist, d.h. bei der Ableitung von $v(x)$ muss die Kettenregel angewendet werden.

$v(x)=g(h(x))=e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}$

Dabei ist die Funktion $g(x)$ die $e$-Funktion $e^x$ und $h(x)=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}$

Dann ist $v^{\prime }(x)={(g(h(x))}^{\prime }=g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)$

Die Ableitung von $g(x)$ ist $e^x$ und $h^{\prime }(x)={(-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2})}^{\prime }=-x$

Damit folgt für die Ableitung von $v(x)$:

$v^{\prime }(x)={(g(h(x))}^{\prime }=g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)=e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}\cdot (-x)=-x\cdot e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}$.

Man setzt nun in die Formel für die Produktregel ein und erhält:

Der Term der ersten Ableitungsfunktion $f^{\prime }$ von $f$ lautet:

$f^{\prime }(x)=(1-x^2)\cdot e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}$

Monotonieverhalten von $f$

Man bestimmt das Monotonieverhalten einer differenzierbaren Funktion $f$ über ihre erste Ableitung: $f^{\prime }(x)=(1-x^2)\cdot e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}$

$f^{\prime }(x)>0\to$ $f$ ist streng monoton steigend

$f^{\prime }(x)<0\to$  $f$ ist streng monoton fallend

Suche zunächst die Stellen, an denen $f^{\prime }(x)=0$ ist.

Das Produkt $f^{\prime }(x)=(1-x^2)\cdot e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}$ ist null, wenn einer der Faktoren null ist (Satz vom Nullprodukt).

$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow 0=(1-x^2)\cdot \underset{>0}{\underbrace{e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}}}\Rightarrow 1-x^2=0$

$1-x^2=0\Rightarrow x_1=-1$ und $x_2=1$

Für eine Vorzeichentabelle berechnet man einige Ableitungswerte. Man wählt einen Wert $x$ der kleiner als $x_1=-1$ ist, z.B. $x=-3$ und berechnet $f^{\prime }(-3)$:

$f^{\prime }(-3)=(1-(-3{)}^2)\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot (-3{)}^2+\frac{1}{2}}\cdot =(1-9)\cdot e^{-4}=-8\cdot e^{-4}<0$

Dann wählt man einen Wert $x$, der zwischen $x_1=-1$ und $x_2=1$ liegt, z.B. $x=0$ und berechnet $f^{\prime }(0)$: $f^{\prime }(0)=(1-0^2)\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot (0{)}^2+\frac{1}{2}}=e^{\frac{1}{2}}>0$

Man wählt einen Wert $x$ der größer als $x_2=1$ ist, z.B. $x=3$ und berechnet $f^{\prime }(3)$:

$f^{\prime }(3)=(1-3^2)\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot 3^2+\frac{1}{2}}=(1-9)\cdot e^{-4}=-8\cdot e^{-4}<0$

Mit diesen berechneten Werten ergibt sich die folgende Tabelle:

Die Funktion $f$ hat folgendes Monotonieverhalten.

Im Intervall $]-\infty ;-1[$ ist $f$ streng monoton fallend, im Intervall $[-1;1]$ ist $f$ streng monoton steigend und im Intervall $]1;+\infty [$ ist $f$ streng monoton fallend.

Koordinatenachsen einzeichnen und skalieren

Der Graph von $f$ ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs (nach Aufgabe $a$)). Man zeichnet den Koordinatenursprung so ein, dass sich die Punktsymmetrie ergibt. Da der Graph von $f$ nur eine Nullstelle bei $x=0$ hat (siehe Aufgabe $a$)), muss die $x$-Achse so gelegt werden, dass es nur einen Schnittpunkt mit ihr gibt.

Für $x=1$ hat die Funktion einen Hochpunkt, d.h es muss $f(1)$ berechnet werden:

$f(1)=1\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot 1^2+\frac{1}{2}}=1\cdot e^0=1$$\Rightarrow HP(1|1)$

Mit dieser Information kann dann die x-Achse und die y-Achse skaliert werden.

Die Abbildung $1$ zeigt die zusätzlich eingezeichneten Koordinatenachsen und die Skalierung der Achsen.

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x\cdot e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}$.

Die Funktion $e^{g(x)}$ ist hier $e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}$ und die Funktion $g(x)$ ist damit:

$g(x)=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}$.

Für die Ableitung von $g(x)$ ergibt sich: $g^{\prime }(x)={(-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2})}^{\prime }=-x$

In der Funktion $f(x)$ steht aber als Faktor $(+x)$ und nicht $(-x)$.

Da $(+1)=(-1)\cdot (-1)$ ist, kann die Funktion $f(x)$ geschrieben werden als:

$f(x)=(-1)\cdot (-1)\cdot x\cdot e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}=-(-x\cdot e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}})$ (identisch mit $f(x)$).

In der Klammer der Funktion $f(x)$ steht jetzt $g^{\prime }(x)\cdot e^{g(x)}$.

Der Wert des Terms $${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x}$$ ist $e^{\frac{1}{2}}-1$.

Das Integral $${\displaystyle {\int }_0^{2022}f(x)\mathrm{d}x}$$ berechnet den Flächeninhalt zwischen $f(x)$ und der $x$-Achse im Bereich von $0$ bis $2022$ (siehe Abbildung $1$ mit Koordinatenachsen).

Entsprechend wird mit $F(w)-F(0)$ ebenfalls der Flächeninhalt zwischen $f(x)$ und der $x$-Achse im Bereich von $0$ bis $w$ berechnet. Ist $w>2022$, dann unterscheiden sich die beiden Flächeninhalte nicht mehr wesentlich voneinander. Sie sind ungefähr gleich groß.