Aufgabengruppe I

Aus der Abbildung kannst Du den Scheitel der Parabel $p_1$ablesen:$S_1(-2|3)$

stelle die Scheitelform der Parabel $p_1$auf, die Scheitelform lautet:

$f\left(x\right)=a(x-d{)}^2+e$

Setze die entsprechenden Werte des Scheitels$S_1$ ein.

$p_1:y=-(x+2{)}^2+3$

die Normalform ist dann:

$p_1:y=-x^2-4x-1$

$f(x)=x^2+4x+\mathrm{1,5}$

$f(-1)=(-1{)}^2+4\cdot (-1)+\mathrm{1,5}=1-4+\mathrm{1,5}=-\mathrm{1,5}$

$f(-1)=-\mathrm{1,5}\ne 2\Rightarrow$der Punkt $A$ liegt nicht auf der Parabel $p_2$

$f(-3)=(-3{)}^2+4\cdot (-3)+\mathrm{1,5}=9-12+\mathrm{1,5}=-\mathrm{1,5}$

$f(-3)=-\mathrm{1,5}\Rightarrow$der Punkt $B$ liegt auf der Parabel $p_2$

Umformen der allgemeinen Form in die Scheitelform:

Jetzt kannst Du den Scheitelpunk ablesen:$S_2=(-2|-\mathrm{2,5})$

Berechne den Schnittpunkt $R$ der Normalparabel$p_2:$ $y=x^2+4x+\mathrm{1,5}$

mit der Geraden $g:$ $y=2x+\mathrm{0,5}$ , indem du die Funktionsterme gleichsetzt und diese Gleichung anschließend nach $x$ auflöst.

Löse jetzt die Quadratische Gleichung z.B. mit der Mitternachtsformel

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-(2)\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}}$

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{0}}{2\cdot 1}}$

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-2\pm 0}{2\cdot 1}}=-1\pm 0$

$x_{\mathrm{1,2}}=-1$

Setze $x_{\mathrm{1,2}}$ in z.B. $g:y=2x+\mathrm{0,5}$ ein und bestimme $y_{\mathrm{1,2}}$

Du kannst $x_1=x_2$ auch in $p_2:y=x^2+4x+\mathrm{1,5}$ einsetzen.

Eingesetzt in $g:y=2x+\mathrm{0,5}$ ergibt:

$y_{\mathrm{1,2}}=2\cdot (-1)+\mathrm{0,5}=0\Rightarrow R(-1|-\mathrm{1,5})$

e.) Zeichnung der Graphen der Parabel $p_2$ und der Geraden $g$ im Koordinatensystem:

Die Zeichnung ist nicht massgetreu.

$\underline{\text{Empfohlene Vorgehensweise}}$

Stelle die Scheitelform von $p_3$auf.

Scheitelform: $p_3:y=-{(x+\mathrm{0,5})}^2+4$

Wandle die Scheitelform in die allgemeine Form um, löse die Klammer auf und fasse zusammen.

$p_3:y=-x^2-x+\mathrm{3,75}$

Spiegel $p_3$an der $y$-Achse, ersetze $x$ durch $(-x)$ $\Rightarrow p_4$

$p_4:y=-(-x{)}^2-(-x)+\mathrm{3,75}$

$p_4:y=-x^2+x+\mathrm{3,75}$

Spiegel $p_4$an der $x$-Achse, multipliziere die Funktionsgleichung von $p_4$mit$(-1)$$\Rightarrow p_5$

$p_5:y=(-1)\cdot (-x^2+x+\mathrm{3,75})$

$p_5:y=x^2-x-\mathrm{3,75}$

Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:

$N\left(t\right)=N_0\cdot a^t$

$N_0=\mathrm{3,675}kg$

$a=\mathrm{0,5}\text{da es sich hier um die Halbwertzeit handelt}$

$t=\frac{13}{5}=\mathrm{2,6}$, d.h. $13$ Jahre sind $\mathrm{2,6}$ Halbwertzeiten.

Setze die Werte in die Formel ein.

$N\left(t\right)=\mathrm{3,675}kg\cdot {\mathrm{0,5}}^{\mathrm{2,6}}$

$N\left(t\right)\approx \mathrm{0,61}kg$

Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:

$N\left(t\right)=N_0\cdot a^t$

$N_t=\mathrm{0,1}$

$a=\mathrm{0,5}\text{da es sich hier um die Halbwertszeit handelt}$

$N_0=\mathrm{3,675}kg$

Setze die Werte in die Formel ein.

$\mathrm{0,1}kg=\mathrm{3,675}kg\cdot {\mathrm{0,5}}^t$

${\displaystyle \frac{\mathrm{0,1}kg}{\mathrm{3,675}kg}}={\mathrm{0,5}}^t$

Berechne $\text{t}$ mit Hilfe des Logarithmus.

${\log }_{\mathrm{0,5}}(\mathrm{0,027})=t$

$t={\displaystyle \frac{\lg \mathrm{0,027}}{\lg \mathrm{0,5}}}\Rightarrow t={\displaystyle \frac{-\mathrm{1,569}}{-\mathrm{0,301}}}\Rightarrow t\approx \mathrm{5,2}$

$t$entspricht ungefähr 5,2 Halbwertszeiten, um die Jahre zu erhalten multipliziere 5, 2 mit 5, da die Halbwertszeit 5 Jahre entspricht.

$\mathrm{5,2}\cdot 5\text{Jahre}=26\text{Jahre}$

Nach $26$ Jahren ist von den $\mathrm{3,675}$ kg Kobalt-60 nur noch $\mathrm{0,1}$ kg vorhanden.

Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:

$N\left(t\right)=N_0\cdot a^t$

$N_t=\mathrm{0,742}kg$

$a=\mathrm{0,5}\text{da es sich hier um die Halbwertszeit handelt}$

$t={\displaystyle \frac{38}{5}}=\text{38 Jahre sind 7,6 Halbwertszeiten}$

Setze die Werte in die Formel ein.

$\mathrm{0,742}kg=N_0\cdot {\mathrm{0,5}}^{\mathrm{7,6}}$

$N_0={\displaystyle \frac{\mathrm{0,742}kg}{{\mathrm{0,5}}^{\mathrm{7,6}}}}$

$N_0\approx 144kg$

Die Ausgangsmenge vor $38$ Jahren betrug ungefähr $144$ kg.

Die allgemeine Geradengleichung lautet:$y=m\cdot x+t$

Setze $C$ und $D$ in die Geradengleichung ein.

$(C):6m+t=2$

$(D):-3m+t=-1\Rightarrow t=3m-1$eingesetzt in $C$

Setze $m$ in$(D)$ ein und berechne $t$.

$t=3\cdot {\displaystyle \frac{3}{9}}-1\Rightarrow t=0$

Die Funktionsgleichung der Geraden $g_1$ lautet:

$g_1:y={\displaystyle \frac{1}{3}}x$

$g_2:y=x\Rightarrow m_2=1$

da die Gerade $g_2$senkrecht auf der Geraden$g_3$steht, gilt: $\begin{array}{l}\\ m_2\cdot m_3=-1\Rightarrow m_3={\displaystyle \frac{-1}{m_2}}\Rightarrow m_3=-1\end{array}$

Stelle die Geradengleichung der Geraden$g_3$auf.

Die allgemeine Form der Geradengleichung lautet:

$y=mx+t$

Setze $m_3$und die Koordinaten des Punktes $B$ in die Gleichung ein.

$-23=(-1)\cdot 11+t_3\Rightarrow t_3=-12$

Die Funktionsgleichung der Geraden $g_3$lautet:

$g_3:y=-x-12$

Mögliche Funktionsgleichung von $g_4$:

Hinweis: $g_4:$ $y=x+t$ mit $t\in ℝ\backslash \{0\}$

z.B.$g_4:y=x+3$

Setze die Koordinaten des Punktes $A$ in die Geradenleichung$g_5:y=m_{5}x-4$ein:

Die Steigung$m_5={\displaystyle \frac{3}{4}}$

Berechnung des Schnittpunktes $S$.

Stelle die Geradengleichung $g_7$nach $y$um und setze $g_6=g_7$.

$g_7:2x=\mathrm{3,5}-y\Rightarrow y=-2x+\mathrm{3,5}$

Setze$g_6=g_7$

Setze $x=2$in $g_6$oder$g_7$ein und berechne $y.$

$x$ eingesetzt in $g_6$ergibt:

$1\cdot 2-\mathrm{2,5}=y\Rightarrow y=-\mathrm{0,5}$

Die Koordinaten des Schnittpunktes sind dann:

$S(2|-\mathrm{0,5})$

Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $N$ der Geraden $g_7$ mit der

x-Achse.

Setze$g_7=0$ und berechne$x$.

$-2x+\mathrm{3,5}=0$

Die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden $g_7$mit der $x-$Achse sind dann:

$N(\mathrm{1,75}|0)$

Die Skizze ist nicht massgetreu.

$\underline{\text{1. Strahlensatz}}$$\Rightarrow {\displaystyle \frac{\overline{ZA}}{\overline{ZC}}}={\displaystyle \frac{\overline{ZD}}{\overline{ZF}}}$

$\underline{\text{2. Strahlensatz}}$$\Rightarrow {\displaystyle \frac{\overline{ZD}}{\overline{DA}}}={\displaystyle \frac{\overline{ZE}}{\overline{EB}}}$

Berechne die Länge der Strecke $\overline{FC}$.

Es gilt:${\displaystyle \frac{\overline{ZC}}{\overline{FC}}}={\displaystyle \frac{\overline{ZC}-\overline{BC}}{\overline{EB}}}\Rightarrow \overline{FC}={\displaystyle \frac{\overline{ZC}\cdot \overline{EB}}{\overline{ZC}-\overline{BC}}}\Rightarrow \overline{FC}={\displaystyle \frac{168c{m}^2}{14cm}}$

$\underline{\underline{\overline{FC}=12cm}}$

(1)$(2-\square {)}^2=△-◯+4b^{16}$

Wende die 2. Binomische Formel an:

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

${(2-2b^8)}^2=4-8b^8+4b^{16}$

(2)$({\displaystyle \frac{1}{5}}{c}^3+\square )\cdot ({\displaystyle \frac{1}{5}}{c}^3-\square )$$=◯-{\displaystyle \frac{4}{81}}{d}^4$

Wende die 3. Binomische Formel an:

$(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

$({\displaystyle \frac{1}{5}}{c}^3+{\displaystyle \frac{2}{9}}{d}^2)\cdot ({\displaystyle \frac{1}{5}}{c}^3-{\displaystyle \frac{2}{9}}{d}^2)={\displaystyle \frac{1}{25}}{c}^6-{\displaystyle \frac{4}{81}}{d}^4$

$(x+\square )\cdot (x-△)=0$

Die quadratische Gleichung hat zwei Nullstellen nämlich: $x_1=-4;x_2=3$

Linearfaktorenzerlegung:

$(x-x_1)\cdot (x-x_2)$setze$x_1$ und$x_2$ ein.

$(x+4)\cdot (x-3)=0$

Ausmultipliziert ergibt das:

$x^2+x-12=0$

Berechne mithilfe der Fakultät $n!$ die Anzahl aller Kombinationsmöglichkeiten für eine vierstellige Zahl.

Anzahl aller möglichen Kombinationen für eine vierstellige Zahl.

$$$n!\text{setze für}n=4\Rightarrow 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$

Es gibt $24$mögliche Kombinationen für eine vierstellige Zahl.

Die Ergebnismenge ist:

$\mathrm{\Omega }=\{{\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{1}{3}};{\displaystyle \frac{1}{4}};{\displaystyle \frac{2}{1}};{\displaystyle \frac{2}{3}};{\displaystyle \frac{2}{4}};{\displaystyle \frac{3}{1}};{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{3}{4}};{\displaystyle \frac{4}{1}};{\displaystyle \frac{4}{2}};{\displaystyle \frac{4}{3}}\}$, das läßt sich gut am Baumdiagramm ablesen.

$\underline{\text{Wahrscheinlichkeit für den Wert des Bruches 0,5:}}$

Es gibt zwei Brüche mit dem Wert $\mathrm{0,5}$, nämlich: ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ und${\displaystyle \frac{2}{4}}$

Berechnung der Wahrscheinlichkeit:

${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\approx \mathrm{0,167}\approx \mathrm{16,7}\%$

oder,

mit den $4$ Zahlen kann man $12$ Brüche bilden, $2$ der $12$ Brüche haben den Wert $\mathrm{0,5}$ also

ist die Wahrscheinlichkeit dass der gebildete Bruch den Wert 0,5 hat:

${\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$

$\underline{\text{Anmerkung}}:$

Das Baumdiagramm muss nicht gezeichnet werden, das ist nicht Teil der Aufgabenstellung, es ist lediglich eine Hilfestellung.

Der Versuch ist mit Zurücklegen, da z.B., wie man am Baumdiagramm sehen kann,

• die Kugel mit der Nummer 1 in einem Pfad zweimal vorkommt.

• von jeder Ziffer vier Pfade abgehen.