Spiegelung eines Punktes an einer Geraden

Berechnung des Spiegelpunktes $P^{\prime }$ mit einer Hilfsebene $H$

Gegeben sind ein Punkt $P$ und eine Gerade $g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{u}$

Vorgehensweise

Beispiel

Gegeben sind ein Punkt $P(1|1|2)$ und eine Gerade $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ mit dem gegebenen Punkt $P$ und dem Richtungsvektor der Geraden $g$ als Normalenvektor:

$H:(\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right))\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right)=0$

2. Schneide $g$ mit $H$:

Setze $r=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ in die Geradengleichung ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

${\overrightarrow{x}}_F=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)+(-\frac{1}{3})\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3-\frac{2}{3}\\ 2-\frac{2}{3}\\ 1-\frac{2}{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{7}{3}\\ \frac{4}{3}\\ \frac{1}{3}\end{array}\right)\Rightarrow$$F(\frac{7}{3}|\frac{4}{3}|\frac{1}{3})$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}\frac{7}{3}\\ \frac{4}{3}\\ \frac{1}{3}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{4}{3}\\ \frac{1}{3}\\ -\frac{5}{3}\end{array}\right)$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{O{P}^{\prime }}=\overrightarrow{OP}+2\cdot \overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{O{P}^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}\frac{4}{3}\\ \frac{1}{3}\\ -\frac{5}{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1+\frac{8}{3}\\ 1+\frac{2}{3}\\ 2-\frac{10}{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{11}{3}\\ \frac{5}{3}\\ -\frac{4}{3}\end{array}\right)$

Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P^{\prime }(\frac{11}{3}|\frac{5}{3}|-\frac{4}{3})$.

Anmerkung: Die obigen Berechnungen gelten auch im Zweidimensionalen. Die Vektoren haben dann eine Komponente weniger.