Aufgaben zum Rechnen mit Logarithmen

1

Löse die folgenden Gleichungen jeweils nach $x$ auf.

$2^{x} = 8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
$2^{x}$ $=$ $8$ $\log_{2} ()$
↓
Wende den Logarithmus mit Basis $2$ auf beiden Seiten an.
$x$ $=$ $\log_{2} (8)$
$x$ $=$ $3$
$7^{2 x} = 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
$7^{2 x}$ $=$ $2$ $\log_{7} ()$
↓
Wende den Logarithmus zur Basis $7$ an.
$2 x$ $=$ $\log_{7} (2)$
↓
Dividiere auf beiden Seiten durch 2.
$x$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot \log_{7} 2$
$10^{x^{2}} = 100$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
$10^{x^{2}}$ $=$ $100$
↓
Wende den Logarithmus zur Basis $10$ auf beiden Seiten an.
$x^{2}$ $=$ $\log_{10} (100)$
$x^{2}$ $=$ $2$
↓
Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten.
$x$ $=$ $\pm \sqrt{2}$

2

Löse die Gleichungen, indem du sie zu einer Potenz oder einem Logarithmus umformst.

Schaffst du es, die Gleichungen zu lösen, ohne den Taschenrechner zu verwenden?

$3^{x} = 27$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Diese Aufgabe kannst du vermutlich direkt im Kopf lösen, denn du weißt, dass $3 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{3} = 27$ ist.
Trotzdem schadet es zu Übungszwecken nicht, den Term umzuschreiben:
$3^{x} = 27 \Leftrightarrow \log_{3} 27 = x \Leftrightarrow \log_{3} 3^{3} = x \Leftrightarrow 3 = x$
Die Basis 3 der Exponentialfunktion wird zur Basis des Logarithmus. Der Taschenrechner liefert nach Eingabe des Logarithmus ebenfalls die vermutete Zahl 3.
$2^{x} = 1024$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Schreibe den Term zu einem Logarithmus um:
$2^{x} = 1024 \Leftrightarrow \log_{2} 1024 = x$
Entweder durch wiederholte Verdopplung der Zahl oder durch Eintippen in den Taschenrechner bekommst du dann:
$\log_{2} 1024$ $=$ $x$
$10$ $=$ $x$
$15^{x} = 225$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Diese Aufgabe kannst du vielleicht direkt im Kopf lösen, wenn du ein paar Quadratzahlen auswendig weißt, denn $15 \cdot 15 = 15^{2} = 225$
Trotzdem schadet es zu Übungszecken nicht, den Term umzuschreiben:
$15^{x} = 225 \Leftrightarrow \log_{15} 225 = x \Leftrightarrow 2 = x$
Die Basis 15 der Exponentialfunktion wird zur Basis des Logarithmus. Der Taschenrechner liefert nach Eingabe des Logarithmus ebenfalls die vermutete Zahl 2.
$3^{- x} = \frac{1}{9}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Forme zu einem Logarithmus um:
$3^{- x} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow \log_{3} (\frac{1}{9}) = - x$
Du kannst dir entweder überlegen, wie du mit der Basis 3 den Bruch $\frac{1}{3}$ und anschließend $\frac{1}{9}$ erzeugst, indem du den Einfluss negativer Exponenten bedenkst oder du tippst den Term in den Taschenrechner.
$\log_{3} (\frac{1}{9})$ $=$ $- x$
$- 2$ $=$ $- x$ $\cdot (- 1)$
$2$ $=$ $x$
$4^{x} = \frac{1}{256}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Forme zu einem Logarithmus um.
$4^{x} = \frac{1}{256} \Leftrightarrow \log_{4} (\frac{1}{256}) = x$
Du kannst dir entweder überlegen, wie du mit der Basis 4 den Bruch $\frac{1}{4}$ und anschließend $\frac{1}{256}$ erzeugst, indem du den Einfluss negativer Exponenten bedenkst oder du tippst den Term in den Taschenrechner.
$\log_{4} (\frac{1}{256})$ $=$ $x$
$- 4$ $=$ $x$
$\log_{2} x = 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Schreibe als Potenz:
$\log_{2} x = 3 \Leftrightarrow 2^{3} = x \Leftrightarrow x = 8$
$\log_{5} x = 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Schreibe als Potenz:
$\log_{5} x = 3 \Leftrightarrow 5^{3} = x \Leftrightarrow 125 = x$
$\log_{10} x = 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Schreibe als Potenz:
$\log_{10} x = 4 \Leftrightarrow 10^{4} = x \Leftrightarrow x = 10000$
$\log_{10} x = - 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Schreibe als Potenz:
$\log_{10} x = - 2 \Leftrightarrow 10^{- 2} = x \Leftrightarrow x = \frac{1}{100}$

3

Gesucht ist die Basis $b$ .

$\log_{b} 2 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus auflösen
$\log_{b} 2$ $=$ $0$
↓
Wende den Logarithmus an.
$b^{0}$ $=$ $2$
Dies widerspricht den Umformungsregel für Potenzen.
$\Rightarrow$ Unwahre Aussage da $x^{0} = 1$
$\log_{b} 5 = 0,5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus auflösen
$\log_{b} 5$ $=$ $0,5$
↓
Wende die Definition des Logarithmus an.
$b^{0,5}$ $=$ $5$
↓
Quadriere beide Seiten.
${(b^{0,5})}^{2}$ $=$ $5^{2}$
↓
Verwende das Potenzgesetz ${(a^{x})}^{y} = a^{x \cdot y}$ .
$b^{0,5 \cdot 2}$ $=$ $25$
$b$ $=$ $25$
$\log_{b} (\frac{1}{25}) = 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus auflösen
$\log_{b} (\frac{1}{25})$ $=$ $2$
↓
Wende den Logarithmus an.
$b^{2}$ $=$ $\frac{1}{25}$
↓
Ziehe die Wurzel. Beachte, dass die Basis $b$ positiv sein muss.
$b$ $=$ $\frac{1}{5}$
$b$ $=$ $0,2$

4

5

Ersetze die folgenden Terme durch einen einzigen Logarithmus und vereinfache diesen so weit wie möglich.

$\log_{k} (m^{4}) - 2 \log_{k} (m)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
Ein mögliches Vorgehen ist:
$\log_{k} (m^{4}) - 2 \log_{k} (m)$
↓
Verwende $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} u$
$=$ $4 \log_{k} (m) - 2 \log_{k} m$
↓
Subtrahiere
$=$ $2 \log_{k} (m)$

$2 \log_{a} (x + 1) + \log_{a} (\frac{1}{x^{2} - 1})$

$2 \log (u) + \frac{1}{2} [\log (u + v) + \log (u - v)]$

$(n + 1) \cdot \log (x) - \frac{1}{3} \cdot \log (x^{6 n})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Wende die Potenzregel des Logarithmus an.
$(n + 1) \cdot \log x - \frac{1}{3} \cdot \log (x^{6 n})$ $=$ $\log x^{n + 1} - \log x^{2 n}$
↓
Wende die Quotientenregel des Logarithmus an.
$=$ $\log \frac{x^{n + 1}}{x^{2 n}}$
↓
Wende innerhalb des Logarithmus das zweite Potenzgesetz an.
$=$ $\log x^{1 - n}$

$\log (ab) + \log (\frac{a}{b}) - \log {(ab)}^{2}$

6

Herleitung der Rechenregeln zum Logarithmus

Das Logarithmusgesetz $\log_{b} (u \cdot v) = \log_{b} (u) + \log_{b} (v)$ kann mithilfe des Potenzgesetzes $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ und die Definition des Logarithmus $\log_{b} (a) = x \Leftrightarrow b^{x} = a$ bzw $\log_{b} (b) = 1$ bewiesen werden.
Erkläre das Vorgehen des folgenden Beweises, indem du jede Markierung (Zahlen in Klammern) kurz beschreibst.
Für $x, y \in ℝ$ sei $\log_{b} (u) = x$ und $\log_{b} (v) = y$ .
Dann gilt ebenfalls $u = b^{x}$ und $v = b^{y}$ (1)
und somit
$\log_{b} (u \cdot v)$
↓
(2)
$=$ $\log_{b} (b^{x} \cdot b^{y})$
↓
(3)
$=$ $\log_{b} (b^{x + y})$
↓
(4)
$=$ $x + y$
↓
(5)
$=$ $\log_{b} (u) + \log_{b} (v)$
q.e.d.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit dem Logarithmus
(1) $u = b^{x}$ und $v = b^{y}$
Hier wurde direkt die Definition des Logarithmus angewendet, also:
$\log_{b} (u) = x \Leftrightarrow b^{x} = u$ und $\log_{b} (v) = y \Leftrightarrow b^{y} = v$
(2) $\log_{b} (b^{x} \cdot b^{y})$
Es wurde die Definition von den Schritten darüber eingesetzt, also aus $u$ wurde $b^{x}$ , aus $v$ wird $b^{y}$ .
(3) $\log_{b} (b^{x + y})$
Es wurde im Argument des Logarithmus das Potenzgesetz angewendet: $b^{x} \cdot b^{y} = b^{x + y}$
(4) $x + y$
Da die Basis des Logarithmus und die Basis im Argument des Logarithmus übereinstimmen, kann der Logarithmus aufgelöst werden, denn $\log_{b} (b) = 1$ , da $b^{1} = b$ ist. Es wird quasi gefragt "Mit was muss ich die Basis b des Logarithmus potenzieren, um $b^{x + y}$ zu erzeugen?" Antwort: Mit $x + y$ !
(5) $\log_{b} (u) + \log_{b} (v)$
In Schritt 1 wurde festgelegt, dass $\log_{b} (u) = x$ und $\log_{b} (v) = y$ . Diese Festlegung wurde hier erneut verwendet und die Variablen x und y ersetzt.
Beweise das Logarithmusgesetz $\log_{b} (\frac{u}{v}) = \log_{b} (u) - \log_{b} (v)$ analog zum oberen Beweis.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit dem Logarithmus
Einführen neuer Variablen
Setze $\log_{b} (u) = x$ und $\log_{b} (v) = y$ .
Durch Umformen nach der Definition des Logarithmus gilt dann auch wieder
$b^{x} = u$ und $b^{y} = v$ .
Setze alle diese Definitionen in die zu zeigende Gleichung ein:
$\log_{b} (\frac{u}{v})$
$=$ $\log_{b} (\frac{b^{x}}{b^{y}})$
↓
Verwende das Potenzgesetz $\frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x - y}$
$=$ $\log_{b} (b^{x - y})$
↓
(1)
$=$ $x - y$
↓
Ersetze $x = \log_{b} (u)$ und $y = \log_{b} (v)$
$=$ $\log_{b} (u) - \log_{b} (v)$
q.e.d
(1) Eine ausführlichere Erklärung zum vorletzten Schritt findest du in der vorherigen Teilaufgabe!
Beweise das Logarithmusrechengesetz $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} (u)$ für $r \in ℕ$ unter Verwendung des Logarithmusgesetzes $\log_{b} (u \cdot v) = \log_{b} (u) + \log_{b} (v)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit dem Logarithmus
Am Beispiel $r = 2$
Für $r = 2$ kannst du das Logarithmusgesetz durch ausschreiben der Potenz direkt nachvollziehen:
$\log_{b} (u^{2})$
$=$ $\log_{b} (u \cdot u)$
↓
Anwendung des Logarithmusgesetzes $\log_{b} (u \cdot v) = \log_{b} (u) \cdot \log_{b} (v)$
$=$ $\log_{b} (u) \cdot \log_{b} (u)$
$=$ $2 \cdot \log_{b} (u)$
Verallgemeinern auf höhere Exponenten
Für höhere Exponenten kann die Potenz ebenfalls als Produkt geschrieben werden:
$l o g_{b} (u^{r}) = l o g_{b} (\underset{r Mal}{\underset{⏟}{u \cdot u \cdot . . . \cdot u}})$
Jede dieser Faktoren im Produkt wird zu einem eigenen Logarithmus:
$\underset{r Mal}{\underset{⏟}{l o g_{b} (u) + . . . + \log_{b} (u)}}$
Anstatt den gleichen Summanden mehrmals zu schreiben, kann man verkürzt $r \cdot \log_{b} (u)$ schreiben.
Insgesamt gilt also $l o g_{b} (u^{r}) = r \cdot l o g_{b} (u)$
Überlege dir erst mit einem kleinen Exponenten, warum das Gesetz gilt. Verallgemeinere anschließend
Beweise das Logarithmusrechengesetz $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} (u)$ unter Verwendung der Regeln der Potenzrechnung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
$\log_{b} (u)$ $=$ $x$
↓
Definition des Logarithmus
$b^{x}$ $=$ $u$
↓
Nimm die $r$ -te Potenz
${(b^{x})}^{r}$ $=$ $u^{r}$
↓
Potenzgesetz
$b^{r \cdot x}$ $=$ $u^{r}$
↓
Definition des Logarithmus
$\log_{b} (u^{r})$ $=$ $r \cdot x$
↓
$x$ wieder ersetzen
$\log_{b} (u^{r})$ $=$ $r \cdot \log_{b} (x)$
Schreibe die Logarithmen in Potenzen um und verwende die Potenzgesetze.

	$\log_{b} (2 b)$
	↓ Verwende $\log_{b} (u v) = \log_{b} u + \log_{b} v$
$=$	$\log_{b} 2 + \log_{b} b$
	↓ Es gilt $\log_{b} b = 1$ , denn $b^{1} = b$
$=$	$\log_{b} 2 + 1$
$\neq$	$2$

	$\log_{z} (\frac{1}{z^{3}})$
	↓ Verwende $\log_{b} (\frac{u}{v}) = \log_{b} u - \log_{b} v$
$=$	$\log_{z} 1 - \log_{z} z^{3}$
	↓ Da $z^{0} = 1$ ist $\log_{z} 1 = 0$
$=$	$0 - \log_{z} z^{3}$
	↓ Verwende $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} u$
$=$	$- 3 \log_{z} z$
	↓ Da $z^{1} = z$ ist $\log_{z} z = 1$
$=$	$- 3 \cdot 1$
$=$	$- 3$

	$\log_{k} (u x + u)$
	↓ u ausklammern.
$=$	$\log_{k} (u \cdot (x + 1))$
	↓ Rechengesetz für Produkte anwenden
$=$	$\log_{k} (u) + \log_{k} (x + 1)$

	$\log_{a} (x^{2} y^{- 3})$
$=$	$\log_{a} (x^{2}) \cdot \log_{a} (y^{- 3})$
$=$	$2 \log_{a} x - 3 \log_{a} y$

	$\log_{b} (\frac{a b}{b^{2}})$
	↓ Kürze zunächst im Bruchterm
$=$	$\log_{b} (\frac{a}{b})$
	↓ Teile den Logarithmus mithilfe der Rechenregel $\log_{b} (\frac{u}{v}) = \log_{b} u - \log_{b} v$ auf
$=$	$\log_{b} a - \log_{b} b$
	↓ Da $b^{1} = b$ ist $\log_{b} b = 1$
$=$	$\log_{b} a - 1$

Aufgaben zum Rechnen mit Logarithmen

Diese Aufgabe kannst du vermutlich direkt im Kopf lösen, denn du weißt, dass $3 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{3} = 27$ ist.

Diese Aufgabe kannst du vielleicht direkt im Kopf lösen, wenn du ein paar Quadratzahlen auswendig weißt, denn $15 \cdot 15 = 15^{2} = 225$

Widerlegen durch Gegenbeispiel

Widerlegen durch Umformung

Widerlegen durch Gegenbeispiel

Was ist hier passiert?

Widerlegen durch Gegenbeispiel

Widerlegen durch Anwendung der Logarithmusrechenregeln

(1) $u = b^{x}$ und $v = b^{y}$

(2) $\log_{b} (b^{x} \cdot b^{y})$

(3) $\log_{b} (b^{x + y})$

(4) $x + y$

(5) $\log_{b} (u) + \log_{b} (v)$

Einführen neuer Variablen

Am Beispiel $r = 2$

Verallgemeinern auf höhere Exponenten

$2^{x}$	$=$	$8$	$\log_{2} ()$
	↓	Wende den Logarithmus mit Basis $2$ auf beiden Seiten an.
$x$	$=$	$\log_{2} (8)$
$x$	$=$	$3$

$7^{2 x}$	$=$	$2$	$\log_{7} ()$
	↓	Wende den Logarithmus zur Basis $7$ an.
$2 x$	$=$	$\log_{7} (2)$
	↓	Dividiere auf beiden Seiten durch 2.
$x$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot \log_{7} 2$

$10^{x^{2}}$	$=$	$100$
	↓	Wende den Logarithmus zur Basis $10$ auf beiden Seiten an.
$x^{2}$	$=$	$\log_{10} (100)$
$x^{2}$	$=$	$2$
	↓	Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten.
$x$	$=$	$\pm \sqrt{2}$

$\log_{3} (\frac{1}{9})$	$=$	$- x$
$- 2$	$=$	$- x$	$\cdot (- 1)$
$2$	$=$	$x$

$\log_{b} 5$	$=$	$0,5$
	↓	Wende die Definition des Logarithmus an.
$b^{0,5}$	$=$	$5$
	↓	Quadriere beide Seiten.
${(b^{0,5})}^{2}$	$=$	$5^{2}$
	↓	Verwende das Potenzgesetz ${(a^{x})}^{y} = a^{x \cdot y}$ .
$b^{0,5 \cdot 2}$	$=$	$25$
$b$	$=$	$25$

$\log_{b} (\frac{1}{25})$	$=$	$2$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$b^{2}$	$=$	$\frac{1}{25}$
	↓	Ziehe die Wurzel. Beachte, dass die Basis $b$ positiv sein muss.
$b$	$=$	$\frac{1}{5}$
$b$	$=$	$0,2$

	$\log_{q} (q^{5})$
	↓ Verwende $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} u$
$=$	$5 \log_{q} q$
	↓ Da $q^{1} = q$ ist $\log_{q} q = 1$
$=$	$5 \cdot 1$
$=$	$5$

	$\log_{b} (\frac{1}{b^{4}})$
	↓ Verwende $\log_{b} (\frac{u}{v}) = \log_{b} u - \log_{b} v$
$=$	$\log_{b} 1 - \log_{b} (b^{4})$
	↓ Da $b^{0} = 1$ ist $\log_{b} 1 = 0$
$=$	$0 - \log_{b} (b^{4})$
	↓ Verwende $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} (u)$
$=$	$- 4 \cdot \log_{b} b$
	↓ Da $b^{1} = b$ ist $\log_{b} b = 1$
$=$	$- 4 \cdot 1$

	$\log_{m} (s^{2} - t^{2})$
	↓ Verwende die 3. binomische Formel
$=$	$\log_{m} ((s + t) (s - t))$
	↓ Verwende $\log_{b} (u v) = \log_{b} u + \log_{b} v$
$=$	$\log_{m} (s + t) + \log_{m} (s - t)$

	$\log_{k} (m^{4}) - 2 \log_{k} (m)$
	↓ Verwende $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} u$
$=$	$4 \log_{k} (m) - 2 \log_{k} m$
	↓ Subtrahiere
$=$	$2 \log_{k} (m)$

	$2 \log_{a} (x + 1) + \log_{a} (\frac{1}{x^{2} - 1})$
	↓ Verwende $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} u$
$=$	$\log_{a} ({(x + 1)}^{2}) + \log_{a} (\frac{1}{x^{2} - 1})$
	↓ Verwende $\log_{b} u + \log_{b} v = \log_{b} (u \cdot v)$
$=$	$\log_{a} ({(x + 1)}^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} - 1})$
	↓ Schreibe als einen Bruch und wende die 3. binomische Formel an
$=$	$\log_{a} (\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)})$
	↓ Kürze
$=$	$\log_{a} (\frac{x + 1}{x - 1})$

$2 \log u + \frac{1}{2} [\log (u + v) + \log (u - v)]$	$=$	$\log u^{2} + \frac{1}{2} [\log (u + v) + \log (u - v)]$
	↓	Wende die Produktregel des Logarithmus an.
	$=$	$\log u^{2} + \frac{1}{2} [\log ((u + v) \cdot (u - v))]$
	↓	Wende die 3. Binomische Formel an.
	$=$	$\log u^{2} + \frac{1}{2} \log (u^{2} - v^{2})$
	↓	Wende die Potenzregel des Logarithmus an.
	$=$	$\log u^{2} + \log (u^{2} - v^{2})^{\frac{1}{2}}$
	↓	Wende $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$ an.
	$=$	$\log u^{2} + \log (\sqrt{u^{2} - v^{2}})$
	↓	Wende die Produktregel für Logarithmus an und fasse somit beide Logarithmen zu einem Logarithmus zusammen.
	$=$	$\log (u^{2} \sqrt{u^{2} - v^{2}})$

$(n + 1) \cdot \log x - \frac{1}{3} \cdot \log (x^{6 n})$	$=$	$\log x^{n + 1} - \log x^{2 n}$
	↓	Wende die Quotientenregel des Logarithmus an.
	$=$	$\log \frac{x^{n + 1}}{x^{2 n}}$
	↓	Wende innerhalb des Logarithmus das zweite Potenzgesetz an.
	$=$	$\log x^{1 - n}$

$\log (ab) + \log (\frac{a}{b}) - \log {(ab)}^{2}$	$=$	$\log (\frac{a \cdot b \cdot a}{b}) - \log {(ab)}^{2}$
	↓	Kürze den Logarithmus und ziehe das Quadrat in die Klammer.
	$=$	$\log a^{2} - \log (a^{2} b^{2})$
	↓	Wende die Quotientregel des Logarithmus an.
	$=$	$\log \frac{a^{2}}{a^{2} b^{2}}$
	↓	Kürze den Logarithmus.
	$=$	$\log \frac{1}{b^{2}}$

	$\log_{b} (u \cdot v)$
	↓ (2)
$=$	$\log_{b} (b^{x} \cdot b^{y})$
	↓ (3)
$=$	$\log_{b} (b^{x + y})$
	↓ (4)
$=$	$x + y$
	↓ (5)
$=$	$\log_{b} (u) + \log_{b} (v)$

	$\log_{b} (\frac{u}{v})$
$=$	$\log_{b} (\frac{b^{x}}{b^{y}})$
	↓ Verwende das Potenzgesetz $\frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x - y}$
$=$	$\log_{b} (b^{x - y})$
	↓ (1)
$=$	$x - y$
	↓ Ersetze $x = \log_{b} (u)$ und $y = \log_{b} (v)$
$=$	$\log_{b} (u) - \log_{b} (v)$

	$\log_{b} (u^{2})$
$=$	$\log_{b} (u \cdot u)$
	↓ Anwendung des Logarithmusgesetzes $\log_{b} (u \cdot v) = \log_{b} (u) \cdot \log_{b} (v)$
$=$	$\log_{b} (u) \cdot \log_{b} (u)$
$=$	$2 \cdot \log_{b} (u)$

$\log_{b} (u)$	$=$	$x$
	↓	Definition des Logarithmus
$b^{x}$	$=$	$u$
	↓	Nimm die $r$ -te Potenz
${(b^{x})}^{r}$	$=$	$u^{r}$
	↓	Potenzgesetz
$b^{r \cdot x}$	$=$	$u^{r}$
	↓	Definition des Logarithmus
$\log_{b} (u^{r})$	$=$	$r \cdot x$
	↓	$x$ wieder ersetzen
$\log_{b} (u^{r})$	$=$	$r \cdot \log_{b} (x)$

Aufgaben zum Rechnen mit Logarithmen

Diese Aufgabe kannst du vermutlich direkt im Kopf lösen, denn du weißt, dass 3⋅9=3⋅3⋅3=33=27 ist.

Diese Aufgabe kannst du vielleicht direkt im Kopf lösen, wenn du ein paar Quadratzahlen auswendig weißt, denn 15⋅15=152=225

Widerlegen durch Gegenbeispiel

Widerlegen durch Umformung

Widerlegen durch Gegenbeispiel

Was ist hier passiert?

Widerlegen durch Gegenbeispiel

Widerlegen durch Anwendung der Logarithmusrechenregeln

(1) u=bx und v=by

(2) logb⁡(bx⋅by)

(3) logb⁡(bx+y)

(4) x+y

(5) logb⁡(u)+logb⁡(v)

Einführen neuer Variablen

Am Beispiel r=2

Verallgemeinern auf höhere Exponenten

Diese Aufgabe kannst du vermutlich direkt im Kopf lösen, denn du weißt, dass $3 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{3} = 27$ ist.

Diese Aufgabe kannst du vielleicht direkt im Kopf lösen, wenn du ein paar Quadratzahlen auswendig weißt, denn $15 \cdot 15 = 15^{2} = 225$

(1) $u = b^{x}$ und $v = b^{y}$

(2) $\log_{b} (b^{x} \cdot b^{y})$

(3) $\log_{b} (b^{x + y})$

(4) $x + y$

(5) $\log_{b} (u) + \log_{b} (v)$

Am Beispiel $r = 2$