Aufgaben zu Schnittpunkte berechnen

1
Bestimme bei folgenden Funktionen die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
$f (x) = (x - 2)^{2} - 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Um die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu berechnen, wird eine der Variablen in der Funktion ( $x$ , $y$ ) gleich $0$ gesetzt.
Schnittpunkte mit der x-Achse
Die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse sind die Nullstellen der Funktion.Man erhält sie, indem man die Funktion bzw. den $y$ -Wert gleich Null setzt.
$\begin{array}{rcl} f (x) = (x - 2)^{2} - 1 & = & 0 & | + 1 \\ (x - 2)^{2} & = & 1 & | \sqrt{} \\ x_{1,2} - 2 & = & \pm 1 & | + 2 \\ x_{1,2} & = & \pm 1 + 2 \\ x_{1} & = & 1 \\ x_{2} & = & 3 \end{array}$
Die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse liegen bei $A (1 | 0)$ und $B (3 | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Um den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse zu ermitteln, muss für den $x$ -Wert $0$ eingesetzt werden.
$f (0)$ $=$ ${(0 - 2)}^{2} - 1$
$=$ ${(- 2)}^{2} - 1$
$=$ $4 - 1$
$=$ $3$
Der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse liegt bei $C (0 | 3)$ .

$g (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 3 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Um die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu berechnen, wird eine der Variablen in der Funktion ( $x$ , $y$ ) gleich $0$ gesetzt.
Schnittpunkte mit der x-Achse
Die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse sind die Nullstellen der Funktion.Man erhält sie, indem man die Funktion bzw. den $y$ -Wert gleich Null setzt.
$g (x)$ $=$ $x^{3} + 2 x^{2} - 3 x$
↓
Kleinste Potenz von $x$ ausklammern.
$0$ $=$ $x^{3} + 2 x^{2} - 3 x$
↓
Ein Produkt wir dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
$0$ $=$ $x (x^{2} + 2 x - 3)$
$\Rightarrow x_{1} = 0$
Setze die Klammer gleich Null.
$x^{2} + 2 x - 3$ $=$ $0$
↓
Mitternachtsformel anwenden.
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$
$=$ $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$
$=$ $\frac{- 2 \pm 4}{2}$
$x_{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_{3} = \frac{- 6}{2} = - 3$
Die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse liegen bei $A (- 3 | 0)$ und $B (0 | 0)$ und $C (1 | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Um den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse zu ermitteln, muss für den $x$ -Wert $0$ eingesetzt werden.
$g (0)$ $=$ $0^{3} + 2 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0$
$=$ $0 + 0 - 0$
$=$ $0$
Der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse liegt bei $B (0 | 0)$ .

$h (x) = 0,5 x^{4} - 8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Um die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu berechnen, wird eine der Variablen in der Funktion ( $x$ , $y$ ) gleich $0$ gesetzt.
Schnittpunkte mit der x-Achse
Die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse sind die Nullstellen der Funktion.Man erhält sie, indem man die Funktion bzw. den $y$ -Wert gleich Null setzt.
$\begin{array}{rcl} h (x) = 0,5 x^{4} - 8 & = & 0 & | + 8 \\ 0,5 x^{4} & = & 8 & | \cdot 2 \\ x^{4} & = & 16 & | \sqrt[4]{} \\ x_{1,2} & = & \pm 2 \\ x_{1} & = & - 2 \\ x_{2} & = & 2 \end{array}$
Die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse liegen bei $A (- 2 | 0)$ und $B (2 | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Um den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse zu ermitteln, muss für den $x$ -Wert $0$ eingesetzt werden.
$h (0)$ $=$ $0,5 \cdot 0^{4} - 8$
$=$ $0 - 8$
$=$ $- 8$
Der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse liegt bei $C (0 | - 8)$ .
2
Die beiden Funktionen $f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - x$ und $g (x) = 4 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x - 12$ sind gegeben. Es gilt $x \in ℝ$ . Berechne die Schnittpunkte von $f (x)$ und $g (x)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte von Funktionen
Tipp: Schneiden sich zwei Funktionen haben ihre $x$ - und $y$ -Koordinaten an diesem Punkt denselben Wert. Folglich muss man beide Funktionen gleichsetzen und auf eine Seite bringen, um nach $x$ aufzulösen.
Gleichsetzten der Funktionen
$f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - x$
$g (x) = 4 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x - 12$
$\begin{array}{rcl} 4 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x - 12 & = & 3 x^{3} - 2 x^{2} - x & | - 3 x^{3} \\ x^{3} - 5 x^{2} + 3 x - 12 & = & - 2 x^{2} - x & | + 2 x^{2} \\ x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 12 & = & - x & | + x \end{array}$
$x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 12 = 0$
$x_{1} = 3$ durch Taschenrechner oder Raten einer Nullstelle

Berechnung einer Nullstelle mittels Polynomdivision
$\begin{array}{l} (x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 12) : (x - 3) = x^{2} + 4 \\ - (x^{3} - 3 x^{2}) \\ 0 + 4 x - 12 \\ - (4 x - 12) \\ 0 \end{array}$
Neue Funktion: $x^{2} + 4$
Berechnung der restlichen Nullstellen
Auflösen der neuen Funktion nach x:
$\begin{array}{rcl} x^{2} + 4 & = & 0 & | - 4 \\ x^{2} & = & - 4 & | \sqrt{} \\ x & = & \sqrt{- 4} \end{array}$
Da nun unter der Wurzel eine negative Zahl steht, gibt es keine weiteren Lösungen und damit auch keine weiteren $x$ -Koordinaten der Schnittpunkte.
Die vorher ausgerechnete $x$ -Koordinate $3$ ist somit die einzige Koordinate.
$\Rightarrow$ Es gibt nur einen Schnittpunkt
Setze den $x$ -Wert in eine der beiden Funktionen $f (x)$ oder $g (x)$ ein.
$y = f (3) = 3 \cdot 3^{3} - 2 \cdot 3^{2} - 3$
$= 81 - 18 - 3$
$= 60$
Der Schnittpunkt der beiden Funktionen liegt bei $P (3 | 60)$ .
Gleichsetzten beider Funktionen $g (x) = f (x)$
Auflösen nach Null $\Rightarrow$ Polynomfunktion dritten Grades
Berechnung der Nullstellen mittels Polynomdivision
Erhalt einer Nullstelle für $x \in ℝ$
Berechnung des $y$ -Werts durch Einsetzten von $x$ in $g (x)$ oder $f (x)$
Ergebnis als Schnittpunkt $P$ in der Form: $P (x, y)$
3
Gegeben ist die Gleichung der Geraden $g : y = - x + 3$
und die Gleichung der ganzrationalen Funktion $f : y = 0,5 x^{3} - 3 x^{2} + 4,5 x$ .
Berechne die Schnittpunkte von $G_{f}$ und $G_{g}$ .
Errate dazu eine Lösung der Schnittgleichung und berechne die weiteren Lösungen mit Hilfe der Polynomdivision.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
Schnittpunkte berechnen
Die beiden Funktionen haben einen Schnittpunkt, wenn sie für einen gleichen x-Wert denselben y-Wert haben. Setze also die Funktionen $f$ und $g$ gleich. Die Funktionen lauten:
$\begin{array}{rcl} f (x) & = & g (x) \\ 0,5 x^{3} & - 3 x^{2} & + 4,5 x & = & - x + 3 & | - 3 + x \\ 0,5 x^{3} & - 3 x^{2} & + 5,5 x & - 3 & = & 0 \end{array}$
Für Polynome vom Grad 3 musst du eine Nullstelle erraten. Alle weiteren Nullstellen lassen sich dann mit einer Polynomdivision ermitteln.
Eine Nullstelle von $0,5 x^{3} - 3 x^{2} + 5,5 x - 3$ ist $x_{1} = 1$ , denn
$0,5 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 5,5 \cdot 1 - 3 = 0,5 - 3 + 5,5 - 3 = 0$
Um den ersten Schnittpunkt von $f$ und $g$ zu bestimmen, kannst du nun $x_{1} = 1$ entweder in $f$ oder $g$ einsetzen.
Einsetzen in $f$ ergibt:
$f (1) = - 1 + 3 = 2$
Der Schnittpunkt ist dann: $S_{1} = (1 | 2)$
Polynomdivision
Wende nun die Polynomdivision auf folgende Gleichung an:
$0,5 x^{3} - 3 x^{2} + 5,5 x - 3 = 0$
$\begin{array}{l} (0,5 x^{3} - 3 x^{2} + 5,5 x - 3) : (x - 1) = 0,5 x^{2} - 2,5 x + 3 \\ - (0,5 x^{3} - 0,5 x^{2}) \\ - 2,5 x^{2} + 5,5 x \\ - (- 2,5 x^{2} + 2,5 x) \\ 3 x - 3 \\ - (3 x - 3) \\ 0 \end{array}$
Verbleibende Nullstellen berechnen
Von $0,5 x^{2} - 2,5 x + 3$ kannst du nun noch die beiden Nullstellen bestimmen. Nutze hierfür beispielsweise die Mitternachtsformel.
$0,5 x^{2} - 2,5 x + 3 = 0$
$\begin{array}{rcl} \Rightarrow x_{2,3} & = & \frac{2,5 \pm \sqrt{(- 2,5)^{2} - 4 \cdot 0,5 \cdot 3}}{(2 \cdot 0,5)} \\ = & \frac{2,5 \pm \sqrt{0,25}}{1} \\ = & \frac{2,5 \pm 0,5}{1} \end{array}$
$x_{2} = \frac{2,5 + 0,5}{1} = \frac{3}{1} = 3$
$x_{3} = \frac{2,5 - 0,5}{1} = \frac{2}{1} = 2$
Die Nullstellen von $0,5 x^{3} - 3 x^{2} + 5,5 x - 3$ sind also:
$x_{1} = 1; x_{2} = 3; x_{3} = 2;$
weitere Schnittpunkte berechnen
Den zweiten und dritten Schnittpunkt von $f$ und $g$ , kannst du nun bestimmen, indem du $x_{2} = 3$ und $x_{3} = 2$ in $f$ oder $g$ einsetzt.
Einsetzen in $f$ ergibt:
$f (3) = - 3 + 3 = 0 \Rightarrow S_{2} (3 | 0)$
$f (2) = - 2 + 3 = 1 \Rightarrow S_{3} (2 | 1)$
Schnittpunkte
Die Schnittpunkte der beiden Funktionen liegen bei $S_{1} (1 | 2)$ , $S_{2} (3 | 0)$ und $S_{3} (2 | 1)$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$f (0)$	$=$	${(0 - 2)}^{2} - 1$
	$=$	${(- 2)}^{2} - 1$
	$=$	$4 - 1$
	$=$	$3$

$g (x)$	$=$	$x^{3} + 2 x^{2} - 3 x$
	↓	Kleinste Potenz von $x$ ausklammern.
$0$	$=$	$x^{3} + 2 x^{2} - 3 x$
	↓	Ein Produkt wir dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
$0$	$=$	$x (x^{2} + 2 x - 3)$

$x^{2} + 2 x - 3$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$
	$=$	$\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$
	$=$	$\frac{- 2 \pm 4}{2}$

$g (0)$	$=$	$0^{3} + 2 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0$
	$=$	$0 + 0 - 0$
	$=$	$0$

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Schnittpunkte mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Schnittpunkte mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Schnittpunkte mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Gleichsetzten der Funktionen

Berechnung einer Nullstelle mittels Polynomdivision

Berechnung der restlichen Nullstellen

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Polynomdivision

Verbleibende Nullstellen berechnen

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