Aufgaben zu Schnittpunkte berechnen

Tipp: Schneiden sich zwei Funktionen haben ihre $x$- und $y$-Koordinaten an diesem Punkt denselben Wert. Folglich muss man beide Funktionen gleichsetzen und auf eine Seite bringen, um nach $x$ aufzulösen.

Gleichsetzten der Funktionen

$f(x)=3x^3-2x^2-x$

$g(x)=4x^3-5x^2+3x-12$

$\begin{array}{rcll}4x^3-5x^2+3x-12& =& 3x^3-2x^2-x& |-3x^3\\ x^3-5x^2+3x-12& =& -2x^2-x& |+2x^2\\ x^3-3x^2+3x-12& =& -x& |+x\end{array}$

$x^3-3x^2+4x-12=0$

$x_1=3$ $$ durch Taschenrechner oder Raten einer Nullstelle

Berechnung einer Nullstelle mittels Polynomdivision

$\begin{array}{l}(x^3-3x^2+4x-12):(x-3)=x^2+4\\ \underline{-(x^3-3x^2)}\\ 0+4x-12\\ \underline{-(4x-12)}\\ 0\end{array}$

Neue Funktion: $x^2+4$

Berechnung der restlichen Nullstellen

Auflösen der neuen Funktion nach x:

$\begin{array}{rcll}{x}^2+4& =& 0& |-4\\ x^2& =& -4& |\sqrt{}\\ x& =& \sqrt{-4}& \end{array}$

Da nun unter der Wurzel eine negative Zahl steht, gibt es keine weiteren Lösungen und damit auch keine weiteren $x$-Koordinaten der Schnittpunkte.

Die vorher ausgerechnete $x$-Koordinate $3$ ist somit die einzige Koordinate.

$\Rightarrow$ Es gibt nur einen Schnittpunkt

Setze den $x$-Wert in eine der beiden Funktionen $f(x)$ oder $g(x)$ ein.

$y=f(3)=3\cdot 3^3-2\cdot 3^2-3$

$\phantom{y=f(3)}=81-18-3$

$\phantom{y=f(3)}=60$

Der Schnittpunkt der beiden Funktionen liegt bei $P(3|60)$ .