Aufgaben zur Polynomdivision

$\begin{array}{rclllll}& & & f(x)& =& g(x)& \\ \mathrm{0,5}{x}^3& -3x^2& +\mathrm{4,5}x& & =& -x+3& |-3+x\\ \mathrm{0,5}{x}^3& -3x^2& +\mathrm{5,5}x& -3& =& 0& \end{array}$

Für Polynome vom Grad 3 musst du eine Nullstelle erraten. Alle weiteren Nullstellen lassen sich dann mit einer Polynomdivision ermitteln.

Eine Nullstelle von $\mathrm{0,5}{x}^3-3x^2+\mathrm{5,5}x-3$ ist $x_1=1$, denn

Um den ersten Schnittpunkt von $f$ und $g$ zu bestimmen, kannst du nun $x_1=1$ entweder in $f$ oder $g$ einsetzen.

Einsetzen in $f$ ergibt:

$f\left(1\right)=-1+3=2$

Der Schnittpunkt ist dann: $S_1=\left(1|2\right)$

$\mathrm{0,5}{x}^3-3x^2+\mathrm{5,5}x-3=0$

Von $\mathrm{0,5}{x}^2-\mathrm{2,5}x+3$ kannst du nun noch die beiden Nullstellen bestimmen. Nutze hierfür beispielsweise die Mitternachtsformel.

$\mathrm{0,5}{x}^2-\mathrm{2,5}x+3=0$

$\begin{array}{rcl}\Rightarrow x_{\mathrm{2,3}}& =& \frac{\mathrm{2,5}\pm \sqrt{(-\mathrm{2,5}{)}^2-4\cdot \mathrm{0,5}\cdot 3}}{(2\cdot \mathrm{0,5})}\\ & =& \frac{\mathrm{2,5}\pm \sqrt{\mathrm{0,25}}}{1}\\ & =& \frac{\mathrm{2,5}\pm \mathrm{0,5}}{1}\end{array}$

$x_2=\frac{\mathrm{2,5}+\mathrm{0,5}}{1}=\frac{3}{1}=3$

$x_3=\frac{\mathrm{2,5}-\mathrm{0,5}}{1}=\frac{2}{1}=2$

Die Nullstellen von $\mathrm{0,5}{x}^3-3x^2+\mathrm{5,5}x-3$ sind also:

Den zweiten und dritten Schnittpunkt von $f$ und $g$, kannst du nun bestimmen, indem du $x_2=3$ und $x_3=2$ in $f$ oder $g$ einsetzt.

Einsetzen in $f$ ergibt:

• $f(3)=-3+3=0\Rightarrow S_2(3|0)$

• $f(2)=-2+3=1\Rightarrow S_3(2|1)$