Aufgaben zum Rechnen mit e und Logarithmen

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Forme um.
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${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anwendung der Potenzgesetze
${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ $=$
↓
1. Binomische Formel anwenden
$=$ $e^{2 x} + 2 e^{x} e^{- x} + e^{- 2 x}$
↓
1. Potenzgesetz anwenden
$=$ $e^{2 x} + 2 e^{x - x} + e^{- 2 x}$
$=$ $e^{2 x} + 2 e^{0} + e^{- 2 x}$
↓
Benutze $e^{0} = 1$
$=$ $e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x}$

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$(e^{x} - e^{- x} + 5) \cdot e^{x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anwendung der Potenzgesetze
$(e^{x} - e^{- x} + 5) \cdot e^{x}$ $=$
↓
ausmultiplizieren
$=$ $e^{x} \cdot e^{x} - e^{- x} \cdot e^{x} + 5 e^{x}$
↓
1. Potenzgesetz anwenden
$=$ $e^{x + x} - e^{- x + x} + 5 e^{x}$
$=$ $e^{2 x} - e^{0} + 5 e^{x}$
↓
$e^{0} = 1$
$=$ $e^{2 x} + 5 e^{x} - 1$

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$\frac{e^{3 x + 1}}{e^{- x + 2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anwendung der Potenzgesetze
$\frac{e^{3 x + 1}}{e^{- x + 2}}$ $=$
↓
2. Potenzgesetz anwenden
$=$ $e^{3 x + 1} \cdot e^{- (- x + 2)}$
↓
Klammern auflösen
$=$ $e^{3 x + 1 + x - 2}$
↓
Zusammenfassen
$=$ $e^{4 x - 1}$

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$e^{- x} \cdot e^{- x + 2} \cdot e^{2 x - 3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anwendung der Potenzgesetze
$e^{- x} \cdot e^{- x + 2} \cdot e^{2 x - 3}$ $=$
↓
1. Potenzgesetz anwenden
$=$ $e^{- x + (- x + 2) + (2 x - 3)}$
$=$ $e^{- x - x + 2 + 2 x - 3}$
↓
Zusammenfassen
$=$ $e^{- 1}$
$=$ $\frac{1}{e}$

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$\frac{1}{e^{2 x}} + 3 (e^{- x})^{2} - (\frac{2}{e^{x}})^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anwendung der Potenzgesetze
$\frac{1}{e^{2 x}} + 3 {(e^{- x})}^{2} - {(\frac{2}{e^{x}})}^{2}$ $=$
↓
6. Potenzgesetz anwenden.
$=$ $e^{- 2 x} + 3 e^{- 2 x} - (\frac{4}{e^{2 x}})$
↓
Zusammenfassen und umformen.
$=$ $4 e^{- 2 x} - 4 e^{- 2 x}$
$=$ $0$
2
Löse die folgenden Gleichungen jeweils nach $x$ auf.
$2^{x} = 8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
$2^{x}$ $=$ $8$ $\log_{2} ()$
↓
Wende den Logarithmus mit Basis $2$ auf beiden Seiten an.
$x$ $=$ $\log_{2} (8)$
$x$ $=$ $3$

$7^{2 x} = 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
$7^{2 x}$ $=$ $2$ $\log_{7} ()$
↓
Wende den Logarithmus zur Basis $7$ an.
$2 x$ $=$ $\log_{7} (2)$
↓
Dividiere auf beiden Seiten durch 2.
$x$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot \log_{7} 2$

$10^{x^{2}} = 100$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
$10^{x^{2}}$ $=$ $100$
↓
Wende den Logarithmus zur Basis $10$ auf beiden Seiten an.
$x^{2}$ $=$ $\log_{10} (100)$
$x^{2}$ $=$ $2$
↓
Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten.
$x$ $=$ $\pm \sqrt{2}$
3
Gesucht ist die Basis $b$ .
$\log_{b} 2 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus auflösen
$\log_{b} 2$ $=$ $0$
↓
Wende den Logarithmus an.
$b^{0}$ $=$ $2$
Dies widerspricht den Umformungsregel für Potenzen.
$\Rightarrow$ Unwahre Aussage da $x^{0} = 1$

$\log_{b} 5 = 0,5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus auflösen
$\log_{b} 5$ $=$ $0,5$
↓
Wende die Definition des Logarithmus an.
$b^{0,5}$ $=$ $5$
↓
Quadriere beide Seiten.
${(b^{0,5})}^{2}$ $=$ $5^{2}$
↓
Verwende das Potenzgesetz ${(a^{x})}^{y} = a^{x \cdot y}$ .
$b^{0,5 \cdot 2}$ $=$ $25$
$b$ $=$ $25$

$\log_{b} (\frac{1}{25}) = 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus auflösen
$\log_{b} (\frac{1}{25})$ $=$ $2$
↓
Wende den Logarithmus an.
$b^{2}$ $=$ $\frac{1}{25}$
↓
Ziehe die Wurzel. Beachte, dass die Basis $b$ positiv sein muss.
$b$ $=$ $\frac{1}{5}$
$b$ $=$ $0,2$

Ersetze die folgenden Terme durch einen einzigen Logarithmus und vereinfache diesen so weit wie möglich.

$\log_{k} (m^{4}) - 2 \log_{k} (m)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
Ein mögliches Vorgehen ist:
$\log_{k} (m^{4}) - 2 \log_{k} (m)$
↓
Verwende $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} u$
$=$ $4 \log_{k} (m) - 2 \log_{k} m$
↓
Subtrahiere
$=$ $2 \log_{k} (m)$

$2 \log_{a} (x + 1) + \log_{a} (\frac{1}{x^{2} - 1})$

$2 \log (u) + \frac{1}{2} [\log (u + v) + \log (u - v)]$

$(n + 1) \cdot \log (x) - \frac{1}{3} \cdot \log (x^{6 n})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Wende die Potenzregel des Logarithmus an.
$(n + 1) \cdot \log x - \frac{1}{3} \cdot \log (x^{6 n})$ $=$ $\log x^{n + 1} - \log x^{2 n}$
↓
Wende die Quotientenregel des Logarithmus an.
$=$ $\log \frac{x^{n + 1}}{x^{2 n}}$
↓
Wende innerhalb des Logarithmus das zweite Potenzgesetz an.
$=$ $\log x^{1 - n}$

$\log (ab) + \log (\frac{a}{b}) - \log {(ab)}^{2}$

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	$2 \log_{a} (x + 1) + \log_{a} (\frac{1}{x^{2} - 1})$
	↓ Verwende $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} u$
$=$	$\log_{a} ({(x + 1)}^{2}) + \log_{a} (\frac{1}{x^{2} - 1})$
	↓ Verwende $\log_{b} u + \log_{b} v = \log_{b} (u \cdot v)$
$=$	$\log_{a} ({(x + 1)}^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} - 1})$
	↓ Schreibe als einen Bruch und wende die 3. binomische Formel an
$=$	$\log_{a} (\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)})$
	↓ Kürze
$=$	$\log_{a} (\frac{x + 1}{x - 1})$

${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$	$=$
	↓	1. Binomische Formel anwenden
	$=$	$e^{2 x} + 2 e^{x} e^{- x} + e^{- 2 x}$
	↓	1. Potenzgesetz anwenden
	$=$	$e^{2 x} + 2 e^{x - x} + e^{- 2 x}$
	$=$	$e^{2 x} + 2 e^{0} + e^{- 2 x}$
	↓	Benutze $e^{0} = 1$
	$=$	$e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x}$

$(e^{x} - e^{- x} + 5) \cdot e^{x}$	$=$
	↓	ausmultiplizieren
	$=$	$e^{x} \cdot e^{x} - e^{- x} \cdot e^{x} + 5 e^{x}$
	↓	1. Potenzgesetz anwenden
	$=$	$e^{x + x} - e^{- x + x} + 5 e^{x}$
	$=$	$e^{2 x} - e^{0} + 5 e^{x}$
	↓	$e^{0} = 1$
	$=$	$e^{2 x} + 5 e^{x} - 1$

$\frac{e^{3 x + 1}}{e^{- x + 2}}$	$=$
	↓	2. Potenzgesetz anwenden
	$=$	$e^{3 x + 1} \cdot e^{- (- x + 2)}$
	↓	Klammern auflösen
	$=$	$e^{3 x + 1 + x - 2}$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$e^{4 x - 1}$

$e^{- x} \cdot e^{- x + 2} \cdot e^{2 x - 3}$	$=$
	↓	1. Potenzgesetz anwenden
	$=$	$e^{- x + (- x + 2) + (2 x - 3)}$
	$=$	$e^{- x - x + 2 + 2 x - 3}$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$e^{- 1}$
	$=$	$\frac{1}{e}$

$\frac{1}{e^{2 x}} + 3 {(e^{- x})}^{2} - {(\frac{2}{e^{x}})}^{2}$	$=$
	↓	6. Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$e^{- 2 x} + 3 e^{- 2 x} - (\frac{4}{e^{2 x}})$
	↓	Zusammenfassen und umformen.
	$=$	$4 e^{- 2 x} - 4 e^{- 2 x}$
	$=$	$0$

$2^{x}$	$=$	$8$	$\log_{2} ()$
	↓	Wende den Logarithmus mit Basis $2$ auf beiden Seiten an.
$x$	$=$	$\log_{2} (8)$
$x$	$=$	$3$

$7^{2 x}$	$=$	$2$	$\log_{7} ()$
	↓	Wende den Logarithmus zur Basis $7$ an.
$2 x$	$=$	$\log_{7} (2)$
	↓	Dividiere auf beiden Seiten durch 2.
$x$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot \log_{7} 2$

$10^{x^{2}}$	$=$	$100$
	↓	Wende den Logarithmus zur Basis $10$ auf beiden Seiten an.
$x^{2}$	$=$	$\log_{10} (100)$
$x^{2}$	$=$	$2$
	↓	Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten.
$x$	$=$	$\pm \sqrt{2}$

$\log_{b} 5$	$=$	$0,5$
	↓	Wende die Definition des Logarithmus an.
$b^{0,5}$	$=$	$5$
	↓	Quadriere beide Seiten.
${(b^{0,5})}^{2}$	$=$	$5^{2}$
	↓	Verwende das Potenzgesetz ${(a^{x})}^{y} = a^{x \cdot y}$ .
$b^{0,5 \cdot 2}$	$=$	$25$
$b$	$=$	$25$

$\log_{b} (\frac{1}{25})$	$=$	$2$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$b^{2}$	$=$	$\frac{1}{25}$
	↓	Ziehe die Wurzel. Beachte, dass die Basis $b$ positiv sein muss.
$b$	$=$	$\frac{1}{5}$
$b$	$=$	$0,2$

	$\log_{k} (m^{4}) - 2 \log_{k} (m)$
	↓ Verwende $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} u$
$=$	$4 \log_{k} (m) - 2 \log_{k} m$
	↓ Subtrahiere
$=$	$2 \log_{k} (m)$

$2 \log u + \frac{1}{2} [\log (u + v) + \log (u - v)]$	$=$	$\log u^{2} + \frac{1}{2} [\log (u + v) + \log (u - v)]$
	↓	Wende die Produktregel des Logarithmus an.
	$=$	$\log u^{2} + \frac{1}{2} [\log ((u + v) \cdot (u - v))]$
	↓	Wende die 3. Binomische Formel an.
	$=$	$\log u^{2} + \frac{1}{2} \log (u^{2} - v^{2})$
	↓	Wende die Potenzregel des Logarithmus an.
	$=$	$\log u^{2} + \log (u^{2} - v^{2})^{\frac{1}{2}}$
	↓	Wende $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$ an.
	$=$	$\log u^{2} + \log (\sqrt{u^{2} - v^{2}})$
	↓	Wende die Produktregel für Logarithmus an und fasse somit beide Logarithmen zu einem Logarithmus zusammen.
	$=$	$\log (u^{2} \sqrt{u^{2} - v^{2}})$

$(n + 1) \cdot \log x - \frac{1}{3} \cdot \log (x^{6 n})$	$=$	$\log x^{n + 1} - \log x^{2 n}$
	↓	Wende die Quotientenregel des Logarithmus an.
	$=$	$\log \frac{x^{n + 1}}{x^{2 n}}$
	↓	Wende innerhalb des Logarithmus das zweite Potenzgesetz an.
	$=$	$\log x^{1 - n}$

$\log (ab) + \log (\frac{a}{b}) - \log {(ab)}^{2}$	$=$	$\log (\frac{a \cdot b \cdot a}{b}) - \log {(ab)}^{2}$
	↓	Kürze den Logarithmus und ziehe das Quadrat in die Klammer.
	$=$	$\log a^{2} - \log (a^{2} b^{2})$
	↓	Wende die Quotientregel des Logarithmus an.
	$=$	$\log \frac{a^{2}}{a^{2} b^{2}}$
	↓	Kürze den Logarithmus.
	$=$	$\log \frac{1}{b^{2}}$