Aufgaben zur Trigonometrie

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel (rot markiert) der Dreiecke.

$γ = 90^{\circ}$
$a = 12,7 cm$
$c = 24,9 cm$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie
$α$ berechnen
$\sin (α)$ $=$ $\frac{12,7 cm}{24,9 cm}$ $\sin^{- 1} ()$
$α$ $=$ $\sin^{- 1} (\frac{12,7 cm}{24,9 cm})$
$=$ ${30,7}^{\circ}$
$β$ berechnen
$β$ kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck $(180^{\circ})$ abziehst.
$β = 180^{\circ} - 90^{\circ} - {30,7}^{\circ}$
$β = {59,3}^{\circ}$
$b$ berechnen
$b$ mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.
${(24,9 cm)}^{2} = {(12,7 cm)}^{2} + b^{2}$
$| - {(12,7 cm)}^{2}$
$b^{2} = {(24,9 cm)}^{2} - {(12,7 cm)}^{2}$
$b^{2} = 458,72 {cm}^{2}$
Wurzel ziehen.
$b \approx 21,4 cm$
$α = 90^{\circ}$
$b = 420 m$
$a = 645 m$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie
$β$ berechnen
$\sin (β) = \frac{420 m}{645 m}$
$β = {40,6}^{\circ}$
$γ$ berechnen
$γ$ kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck $(180^{\circ})$ abziehst.
$γ = 180^{\circ} - 90^{\circ} - {40,6}^{\circ} = {49,4}^{\circ}$
$c$ berechnen
$c$ mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.
Beachte hier insbesondere, dass $c$ nicht die Hypotenuse des Dreiecks ist, sondern $a$ (siehe Bild oben), sodass die Form des Pythagoras zwar ähnlich bleibt, aber nun $a$ , $b$ und $c$ nicht die bekannten Rollen, also $a$ , $b$ die Kathethen und $c$ die Hypotenuse sind, einnehmen.
$(645 m)^{2} = (420 m)^{2} + c^{2}$
$c^{2} = (645 m)^{2} - (420 m)^{2}$
$c^{2} = 239 625 m^{2}$
Wurzel ziehen.
$c \approx 490 m$
$β = 90^{\circ}$
$c = 15,8 cm$
$a = 30,7 cm$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie
$b$ berechnen
$b$ mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.
$b^{2} = {(30,7 cm)}^{2} + {(15,8 cm)}^{2}$
$b^{2} = 1192,13 {cm}^{2} | \sqrt{}$
$b \approx 34,5 cm$
$α$ berechnen
$\tan (α) = \frac{a}{c}$
$\tan (α) = \frac{30,7 cm}{15,8 cm}$
$α \approx {62,7}^{\circ}$
$γ$ berechnen
$γ$ kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck $(180^{\circ})$ abziehst.
$γ \approx 180^{\circ} - 90^{\circ} - {62,7}^{\circ}$
$γ \approx {27,3}^{\circ}$
$γ = 90^{\circ}$
$α = 35^{\circ}$
$c = 12,5 cm$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie
$β$ berechnen
$β$ kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck $(180^{\circ})$ abziehst.
$β = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 35^{\circ}$
$β = 55^{\circ}$
$a$ berechnen
$\sin (35^{\circ}) = \frac{a}{12,5 cm} | \cdot 12,5 cm$
$a = \sin (35^{\circ}) \cdot 12,5 cm$
$a = 7,2 cm$
$b$ berechnen
$b$ mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.
$c^{2} = a^{2} + b^{2}$
${(12,5 cm)}^{2} = {(7,2 cm)}^{2} + b^{2} | - {(7,2 cm)}^{2}$
$b^{2} = {(12,5 cm)}^{2} - {(7,2 cm)}^{2}$
$b^{2} \approx 104,4 {cm}^{2}$
Wurzel ziehen.
$b \approx 10,2 cm$
$b$ berechnen (alternative Lösung mit dem Kosinus)
$\cos (α) = \frac{b}{c}$
Nach $b$ umstellen.
$b = \cos (α) \cdot c \approx 10,2 cm$
$α = 90^{\circ}$
$γ = {40,3}^{\circ}$
$a = 10,5 cm$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie
$β$ berechnen
$β$ kannst du ausrechnen, indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck $(180^{\circ})$ abziehst.
$β = 180^{\circ} - 90^{\circ} - {40,3}^{\circ}$
$β = {49,7}^{\circ}$
$b$ berechnen
$\sin ({49,7}^{\circ}) = \frac{b}{10,5 cm} | \cdot 10,5 cm$
$b = \sin ({49,7}^{\circ}) \cdot 10,5 cm$
$b \approx 8 cm$
$c$ berechnen
$c$ mithilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen.
${(10,5 cm)}^{2} = c^{2} + {(8 cm)}^{2}$
$c^{2} = 46,25 {cm}^{2}$
Wurzel ziehen.
$c \approx 6,8 cm$