Aufgaben zur skalaren Multiplikation und zu Vektorketten

1
Multipliziere den Vektor mit dem Skalar.
$5 \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 5 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalare Multiplikation
$5 \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 5 \end{array})$
Multipliziere komponentenweise.
$= (\begin{array}{c} 5 \cdot 3 \\ 5 \cdot 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 15 \\ 25 \end{array})$

$- 1 \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalare Multiplikation
$- 1 \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array})$
Multipliziere komponentenweise.
$= (\begin{array}{c} - 1 \cdot 3 \\ - 1 \cdot 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 1 \end{array})$

$\frac{7}{9} \cdot (\begin{array}{c} 27 \\ 22,5 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalare Multiplikation
$\frac{7}{9} \cdot (\begin{array}{c} 27 \\ 22,5 \end{array})$
Multipliziere komponentenweise.
$= (\begin{array}{c} \frac{7}{9} \cdot 27 \\ \frac{7}{9} \cdot 22,5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 21 \\ 17,5 \end{array})$
2
Berechne den Lösungsvektor.
$(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren, Skalare Multiplikation
$(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \end{array})$
Multipliziere zuerst den Vektor komponentenweise mit dem Skalar.
$= (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot (- 2) \end{array}) + (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \end{array})$
Addiere die Vektoren komponentenweise.
$= (\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 1 + 0 \\ 1 + 2 \cdot (- 2) + 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array})$

$4 \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren, Skalare Multiplikation
$\begin{array}{l} 4 \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \end{array}) \end{array}$
Multipliziere zuerst den ersten Vektor mit dem Skalar.
$\begin{array}{l} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 8 \end{array}) + (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \end{array}) \end{array}$
Addiere und subtrahiere die Vektoren komponentenweise.
$= (\begin{array}{c} 0 + 6 - 0 \\ - 8 + 0 - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ - 11 \end{array})$

$5 \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \end{array}) - 3 \cdot (\begin{array}{c} - 9 \\ 2 \end{array}) + 4 \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2,25 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren, Skalare Multiplikation
$5 \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \end{array}) - 3 \cdot (\begin{array}{c} - 9 \\ 2 \end{array}) + 4 \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2,25 \end{array})$
Multipliziere die Vektoren komponentenweise mit den Skalaren.
$= (\begin{array}{c} 5 \cdot (- 3) \\ 5 \cdot 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \cdot (- 9) \\ 3 \cdot 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 4 \cdot (- 3) \\ 4 \cdot (- 2,25) \end{array})$
Addiere bzw. subtrahiere komponentenweise.
$= (\begin{array}{c} 5 \cdot (- 3) - 3 \cdot (- 9) + 4 \cdot (- 3) \\ 5 \cdot 3 - 3 \cdot 2 + 4 \cdot (- 2,25) \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array})$
3
Gegeben seien die Punkte $A (- 4 | 0)$ , $B (2 | - 1)$ und $C (5 | 2)$ . Vervollständige zu einem Parallelogramm ABCD und berechne neben den Koordinaten von D auch die Lage des Schnittpunktes M seiner Diagonalen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkette
Zeichnerische Bestimmung von D
Trage A, B und C ein. Übertrage den Vektor $\vec{B C}$ an A.
D liegt also bei $D (- 1 | 3)$
Da es sich nicht immer um so schöne Zahlwerte handelt, ist es gut, auch die rechnerische Bestimmung zu können.
Rechnerische Bestimmung
Bestimme zuerst $\vec{a} = \vec{A B}$ oder $\vec{b} = \vec{B C}$ .
$\vec{a} = (\begin{array}{cc} 2 - & (- 4) \\ - 1 & - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ - 1 \end{array})$
$\vec{b} = (\begin{array}{cc} 5 & - 2 \\ 2 - & (- 1) \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array})$
Da $A B C D$ ein Parallelogramm ist, gilt außerdem $\vec{A B} = \vec{D C}$ und $\vec{B C} = \vec{A D}$ .
Die Koordinaten von D berechnest du, indem du eine Vektorkette bildest. Beginne diese mit dem Ortsvektor $\vec{A}$ von A.
$\vec{D} = \vec{A} + \vec{B C} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array})$
Somit ist $D (- 1 | 3)$ .
Lage des Diagonalenschnittpuntkts
In einem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen. Du suchst also den Mittelpunkt M der Strecke $A C$ oder $B D$ .
Bilde wieder eine Vektorkette:
$\vec{M} = \vec{A} + \frac{1}{2} \cdot \vec{A C} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \end{array}) + \frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 5 - (- 4) \\ 2 - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \end{array}) + \frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 9 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0,5 \\ 1 \end{array})$
Die Diagonalen schneiden sich also in $M (0,5 | 1)$
Löse durch Zeichnen oder mithilfe einer Vektorkette.
Nutze dabei, dass die Seiten $B C$ und $A D$ parallel und gleich lang sind.
Außerdem halbieren sich die Diagonalen im Parallelogramm.

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Aufgaben zur skalaren Multiplikation und zu Vektorketten

Zeichnerische Bestimmung von D

Rechnerische Bestimmung

Lage des Diagonalenschnittpuntkts