Aufgaben zur skalaren Multiplikation und zu Vektorketten

Zeichnerische Bestimmung von D

Trage A, B und C ein. Übertrage den Vektor $\overrightarrow{BC}$ an A.

D liegt also bei $D(-1|3)$

Da es sich nicht immer um so schöne Zahlwerte handelt, ist es gut, auch die rechnerische Bestimmung zu können.

Rechnerische Bestimmung

Bestimme zuerst $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}$ oder $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BC}$.

$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{cc}2-& (-4)\\ -1& -0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ -1\end{array}\right)$

$\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ 2-& (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)$

Da $ABCD$ ein Parallelogramm ist, gilt außerdem $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$.

Die Koordinaten von D berechnest du, indem du eine Vektorkette bildest. Beginne diese mit dem Ortsvektor $\overrightarrow{A}$ von A.

$\overrightarrow{D}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{BC}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right)$

Somit ist $D(-1|3)$.

Lage des Diagonalenschnittpuntkts

In einem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen. Du suchst also den Mittelpunkt M der Strecke $\overline{AC}$ oder $\overline{BD}$.

Bilde wieder eine Vektorkette:

$\overrightarrow{M}=\overrightarrow{A}+\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\end{array}\right)+\frac{1}{2}\cdot \left(\begin{array}{c}5-(-4)\\ 2-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\end{array}\right)+\frac{1}{2}\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,5}\\ 1\end{array}\right)$

Die Diagonalen schneiden sich also in $M(\mathrm{0,5}|1)$