Pflichtteil

Aufgabe P4

Gegeben sind der Punkt $P (- 1 | 7 | 2)$ und die Ebene $E : x_{1} + 3 x_{2} = 0$ .

Zeigen Sie, dass der Punkt $P$ nicht in $E$ liegt. (1 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung Punkt-Ebene (Inzidenz)
Lösungsvorschlag
Setze die Koordinaten von $P$ in die Ebenengleichung ein:
$x_{1} + 3 x_{2}$ $=$ $0$
↓
Einsetzen
$- 1 + 3 \cdot 7$ $=$ $0$
↓
Zusammenfassen
$20$ $\neq$ $0$
Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
Setze die $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ Koordinaten von $P$ in die Ebene ein.
Vereinfache und überprüfe, ob die Gleichung erfüllt ist.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, der entsteht, wenn $P$ an $E$ gespiegelt wird.
(4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkt an Ebene spiegeln
Lösungsvorschlag
Hilfsgerade $h$
Die Hilfsgerade, die senkrecht zu $E$ und durch $P$ verläuft, hat die Parameterform:
$h : \vec{x} = \underset{= \vec{O P}}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} - 1 \\ 7 \\ 2 \end{array})}} + t \cdot \underset{= \vec{n} (Normalenvektor von E)}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 0 \end{array})}}, t \in ℝ$
Skizze als Hilfe.
Schnittpunkt $S$
Die Hilfsgerade $h$ schneidet die Ebene $E$ .
Du bestimmst schrittweise den Schnittpunkt der Gerade mit einer Ebene, wenn du die Zeilen der Geradengleichung in die Ebene einsetzt.
$0$ $=$ $x_{1} + 3 x_{2}$
↓
$\begin{array}{l} x_{1} = - 1 + t \\ x_{2} = 7 + 3 t \end{array}$
$=$ $(- 1 + t) + 3 \cdot (7 + 3 t)$
↓
Vereinfachen
$=$ $- 1 + t + 21 + 9 t$
$=$ $10 t + 20$ $- 20$
↓
Gleichung nach $t$ umstellen
$- 20$ $=$ $10 t$ $: 10$
$t$ $=$ $- 2$
Du erhältst einen Wert t, mit dem der Richtungsvektor der Gerade multipliziert werden kann, um den Schnittpunkt S anzugeben:
Der Schnittpunkt hat damit den Ortsvektor: $\vec{O S} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 7 \\ 2 \end{array}) - 2 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 2 \end{array})$
Addiere $\vec{O S}$ und den Verbindungsvektor $\vec{P S}$
Verschiebe $\vec{O S}$ um $\vec{P S}$
Der Verbindungsvektor $\vec{P S}$ ist: $\vec{P S} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 1 \\ 7 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 6 \\ 0 \end{array})$
Addiere $\vec{P S}$ zu $\vec{O S}$ für den Spiegelpunkt:
$\vec{O P^{'}}$ $=$ $\vec{O S} + \vec{P S}$
$=$ $(\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 2 \\ - 6 \\ 0 \end{array})$
$=$ $(\begin{array}{c} - 5 \\ - 5 \\ 2 \end{array})$
Der gespiegelte Punkt hat die Koordinaten: $P^{'} (- 5 | - 5 | 2)$
Bestimme die Gleichung einer Hilfsgeraden, die senkrecht zur Ebene und durch $P$ verläuft.
Hierzu entnehme den Normalenvektor der Ebene aus der Koordinatenform $x_{1} + 3 x_{2} = 0$ .
Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden und der Ebene.
Berechne den Verbindungsvektor $\vec{P S}$ und addiere diesen auf die Koordinaten des Schnittpunkts.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org

$x_{1} + 3 x_{2}$	$=$	$0$
	↓	Einsetzen
$- 1 + 3 \cdot 7$	$=$	$0$
	↓	Zusammenfassen
$20$	$\neq$	$0$

$0$	$=$	$x_{1} + 3 x_{2}$
	↓	$\begin{array}{l} x_{1} = - 1 + t \\ x_{2} = 7 + 3 t \end{array}$
	$=$	$(- 1 + t) + 3 \cdot (7 + 3 t)$
	↓	Vereinfachen
	$=$	$- 1 + t + 21 + 9 t$
	$=$	$10 t + 20$	$- 20$
	↓	Gleichung nach $t$ umstellen
$- 20$	$=$	$10 t$	$: 10$
$t$	$=$	$- 2$

$\vec{O P^{'}}$	$=$	$\vec{O S} + \vec{P S}$
	$=$	$(\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 2 \\ - 6 \\ 0 \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} - 5 \\ - 5 \\ 2 \end{array})$

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Lösungsvorschlag

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