Teil B, Gruppe 2

Hier solltest du wissen, wie man ein Sechseck konstruiert.

Zeichne einen Kreis mit dem Radius $5cm$. Verbinde den Mittelpunkt mit irgendeinem zufälligen Punkt (B) auf dem Kreis.

Zeichne nun von B aus einen weiteren Kreis mit dem Radius $5cm$. An den Schnittstellen mit dem ersten Kreis liegen die Punkte $C$ und $D$. Verbinde $C$ und $D$ mit $B$.

Fahre ebenso mit den Punkten $C$ und $D$ fort.

Führe den gleichen Schritt nochmal für entweder den Punkt $E$ oder den Punkt $F$ durch.

Nützliches Wissen ist hier die Flächenformel für ein Dreieck und der Satz des Pythagoras.

Verbinde alle Punkte mit dem Mittelpunkt, sodass 6 entstehen.

Berechne zunächst die Höhe ($h$) eines Dreiecks mithilfe des Satzes des Pythagoras. Dabei ist $[AC]$ die Hypotenuse und $[AO]$ und $[OC]$ (was die Höhe ist, die in Zukunft mit $h$ abgekürzt wird) sind die Katheten.

${\overline{AO}}^2+{\overline{OC}}^2={\overline{AC}}^2$

Schreibe anstelle von $\overline{AO}$ die Variable $h$.

$h^2+{\overline{OC}}^2={\overline{AC}}^2$

$\overline{AC}$ ist der Radius. Daher weißt du, dass $\overline{AC}$ $5$ cm lang ist.

$h^2+{\overline{OC}}^2=(5cm{)}^2$

Jedes der kleinen Dreiecke ist ein gleichseitiges Dreieck und damit sind alle Seiten gleich lang. $\overline{OC}$ ist die Hälfte einer Seite und damit die Hälfte von $5cm$, also $\frac{1}{2}\cdot 5cm=\mathrm{2,5}cm$.

$h^2+(\mathrm{2,5}cm{)}^2=(5cm{)}^2$

Stelle nach $h$ um, indem du $(\mathrm{2,5}cm{)}^2$ subtrahierst.

$h^2=(5cm{)}^2-(\mathrm{2,5}cm{)}^2$

Berechne die Quadrate.

$\begin{array}{l}{h}^2=25c{m}^2-\mathrm{6,25}c{m}^2\\ =\mathrm{18,75}c{m}^2\end{array}$

Ziehe die Wurzel.

$h=\sqrt{\mathrm{18,75}c{m}^2}=\mathrm{4,33}cm$

Jetzt kannst du den Flächeninhalt eines Dreiecks mit der Formel $A=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$ berechnen.

Setze in diese Formel $5cm$ für die Länge der Grundseite und $\mathrm{4,33}cm$ für die Höhe ein.

$\begin{array}{l}{A}_D=\mathrm{0,5}\cdot a\cdot h\\ =\mathrm{0,5}\cdot 5cm\cdot \mathrm{4,33}cm\end{array}$

Rechne den Wert aus.

$A_D=\mathrm{10,825}c{m}^2$

Berechne nun den Flächeninhalt des Sechsecks, indem du die Fläche eines Dreiecks mit der Anzahl der Dreiecke (6) multiplizierst.

$A_G=6\cdot A_D$

Setze den Flächeninhalt eines Dreiecks ein und berechne.

$=6\cdot \mathrm{10,825}c{m}^2$

$=\mathrm{64,95}c{m}^2$

$\Rightarrow$ Das Sechseck ist insgesamt $\mathrm{64,95}c{m}^2$ groß.