Höhe des gleichseitigen Dreiecks

Mithilfe des Satzes des Pythagoras lässt sich die Formel für die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks in Abhängigkeit der Seitenlänge a immer berechnen durch:

h = \frac{\sqrt{3}}{2} a

Berechnung der Höhe

Da die Höhe gleichzeitig eine Symmetrieachse des Dreiecks ist und die Seite a somit in zwei gleich große Abschnitte teilt, sind beide Abschnitte 0,5a lang.

Das rechtwinklige Dreieck hat dann die Hypotenuse a und die Katheten h und 0,5a, also gilt mithilfe des Satz des Pythagoras:

${(\frac{1}{2} a)}^{2} + h^{2} = a^{2}$

Diese Gleichung lässt sich nach h umformen:

${(\frac{1}{2} a)}^{2} + h^{2}$	$=$	$a^{2}$
	↓	Berechne auf der linken Seite
$\frac{1}{4} a^{2} + h^{2}$	$=$	$a^{2}$	$- \frac{1}{4} a^{2}$
$h^{2}$	$=$	$\frac{3}{4} a^{2}$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel. Da Seitenlängen positiv sind, musst du die negative Lösung nicht beachten.
$h$	$=$	$\sqrt{\frac{3}{4}} \cdot a$
	↓	Ziehe teilweise die Wurzel
$h$	$=$	$\frac{\sqrt{3}}{2} a$

Beispielaufgaben

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