Aufgaben zu Drachenviereck und Raute

Hier findest du Rechenaufgaben zum Drachenviereck und der Raute. Lerne, wichtige Größen zu berechnen und vertiefe dein Wissen!

1
Zeichne zuerst die Punkte $A (5 | 8)$ , $C (5 | 1)$ und die Gerade $b : x = 7$ in ein Koordinatensystem.
Die Punkte $B_{1} = (7 | 2)$ und $B_{2} = (7 | 5)$ liegen auf der Geraden $b$ . Ergänze die Dreiecke $A B_{1} C$ und $A B_{2} C$ jeweils zu einem Drachenviereck $A B_{1} C D_{1}$ bzw. $A B_{2} C D_{2}$ .

Für jeden Punkt $B_{n}$ auf der Geraden $b$ kann man das Dreieck $A B_{n} C$ zu einem Drachenviereck $A B_{n} C D_{n}$ ergänzen. Alle Punkte $D_{n}$ liegen auf einer Geraden. Zeichne diese ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
$[A C]$ ist die Symmetrieachse im Drachenviereck. Das bedeutet, dass die Gerade $d$ gleich weit von $[A C]$ entfernt sein muss, wie die Gerade $b$ , damit ein Drachenviereck zustande kommt. $A$ und $C$ liegen beide bei $x = 5$ und $b$ bei $x = 7$ . Du spiegelst die Gerade $b$ an der Gerade $A C$ und erhältst so die Gerade $d$ .
$d : x = 3$

Nenne zwei Beispiele für die Punkte $B$ und $D$ , die auf den jeweiligen Geraden $b$ und $d$ liegen, dass das Drachenviereck $A B C D$ entsteht.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
Die Punkte $B$ und $D$ müssen beide gegenüber voneinander liegen und sie dürfen nicht höher oder auf gleicher höhe wie $A$ und niedriger oder auf gleicher höhe wie $C$ sein.
Dann kannst du die Punkte egal wo auf der jeweiligen Gerade $b$ oder $d$ platzieren. Hier ein paar Beispiele.
$D (3 | 7)$ ; $B (7 | 7)$
$D (3 | 6)$ ; $B (7 | 6)$
$D (3 | 5)$ ; $B (7 | 5)$
$D (3 | 4)$ ; $B (7 | 4)$
$D (3 | 3)$ ; $B (7 | 3)$
$D (3 | 2)$ ; $B (7 | 2)$

Wann ist das Drachenviereck $A B C D$ eine Raute? Versuche $B$ und $D$ jetzt so zu verschieben, dass sie mit $A$ oder mit $D$ ein Dreieck bilden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
Raute
Das Viereck $A B C D$ ist eine Raute, wenn $[B D]$ auch eine Symmetrieachse von $A B C D$ ist. Das ist der Fall, wenn die Punkte $B$ , $D$ an der Halbierenden der Strecke $[A C]$ liegen. Jetzt sind alle Seiten der Raute gleich lang.
$D (3 | 4,5), B (7 | 4,5)$
Dreieck
Ein Dreieck wird es dann, wenn $A$ oder $C$ auf der Strecke $[B D]$ liegt. Das passiert, wenn $B$ und $D$ auf gleicher Höhe sind wie $A$ oder $C$ .

Was fällt dir im Bezug auf die verschiedenen Drachendreiecke/Raute/Dreiecke am Flächeninhalt auf?

Alle Figuren haben den gleichen Flächeninhalt.
$A_{D r e i e c k} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
$A_{R a u t e} = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f$
$A_{D r a c h e n v i e r e c k} = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f$
2
Welche der folgenden Vierecke sind Rauten?
3
Wie berechnet man den Flächeninhalt von einem Drachenviereck?
$A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f$
$A = 2 \cdot (a + b)$
$A = e \cdot f$
$A = a \cdot b$

Berechne den Umfang der Raute im Bild auf eine Nachkommastelle genau, wobei $e = 12 cm$ und $f = 8 cm$ lang sind.

5
Von einer Raute kennst du die Fläche $A = 16 {cm}^{2}$ und die Länge der Diagonalen $f = 4 cm$ . Wie lang ist die Diagonale $e$ ?
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Raute
$A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f$
Das ist die Flächenformel einer Raute.
Um $e$ zu berechnen, musst du die Formel umstellen.
$\Rightarrow 2 \cdot A = e \cdot f$
$\Rightarrow \frac{2 \cdot A}{f} = e$
Jetzt kannst du $A = 16 {cm}^{2}$ und $f = 4 cm$ einsetzen.
$e = \frac{2 \cdot A}{f} = \frac{2 \cdot 16 {cm}^{2}}{4 cm} = \frac{32}{4} \cdot \frac{{cm}^{2}}{cm} = 8 cm$
Antwort: Die Diagonale $e$ hat also die Länge $8 cm$ .
6
Berechne die fehlende Größe des Drachenvierecks.
$\begin{array}{ccc} e & f & A \\ 4 cm & 8 cm & ? \end{array}$
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
Um den Flächeninhalt eines Drachenvierecks auszurechnen setzt du die gegebenen Zahlen in folgende Formel ein:
Fläche von Drachenviereck: A = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ e $\cdot$ f
Gegebene Informationen: e = 4 $cm$ f = 8 $cm$ A = ?
Setze nun die gegebenen Informationen in die Formel ein:
A = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ 4 $cm$ $\cdot$ 8 $cm$
A = 16 $c m^{2}$

$\begin{array}{ccc} e & f & A \\ 2,5 cm & 3,4 cm & ? \end{array}$
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
Um den Flächeninhalt eines Drachenvierecks auszurechnen setzt du die gegebenen Zahlen in folgende Formel ein:
Fläche von Drachenviereck: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ e ⋅ f
Gegebene Informationen: e = 2,5 $cm$ f = 3,4 $cm$ A = ?
Setze nun die gegebenen Informationen in die Formel ein:
A = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ 2,5 $cm$ $\cdot$ 3,4 $cm$
A = 4,25 $c m^{²}$

$\begin{array}{ccc} e & f & A \\ 2 dm & 1,4 dm & ? \end{array}$
dm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
Um den Flächeninhalt eines Drachenvierecks auszurechnen setzt du die gegebenen Zahlen in folgende Formel ein:
Fläche von Drachenviereck: A = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ e $\cdot$ f
Gegebene Informationen: e = 2 $cm$ f = 1,4 $cm$ A = ?
Setze nun die gegebenen Informationen in die Formel ein:
A = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ 2 $dm$ $\cdot$ 1,4 $dm$
A = 1,4 $d m^{²}$

$\begin{array}{ccc} e & f & A \\ 0,5 cm & 14 mm & ? \end{array}$
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
Um den Flächeninhalt eines Drachenvierecks auszurechnen setzt du die gegebenen Zahlen in folgende Formel ein:
Fläche von Drachenviereck: A = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ e $\cdot$ f
Gegebene Informationen: e = 0,5 $cm$ f = 1,4 $cm$ A = ?
Setze nun die gegebenen Informationen in die Formel ein:
A = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ 0,5 $cm$ $\cdot$ 1,4 $cm$
A = 0,35 $c m^{²}$

$\begin{array}{ccc} e & f & A \\ 3 cm & ? & 12 cm \end{array}$
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
Um den Flächeninhalt eines Drachenvierecks auszurechnen setzt du die gegebenen Zahlen in folgende Formel ein:
Fläche von Drachenviereck: A = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ e $\cdot$ f
Gegebene Informationen: e = 1,5 $cm$ f = ? A = 12 $c m$
Setze nun die gegebenen Informationen in die Formel ein:
12 $c m^{²}$ = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ 3 $cm$ $\cdot$ f
12 $c m^{²}$ = 1,5 $cm$ $\cdot$ f |: 1,5 $cm$
8 $cm$ = f

$\begin{array}{ccc} e & f & A \\ 4,2 cm & ? & 9,45 cm \end{array}$
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
Um den Flächeninhalt eines Drachenvierecks auszurechnen setzt du die gegebenen Zahlen in folgende Formel ein:
Fläche von Drachenviereck: A = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ e $\cdot$ f
Gegebene Informationen: e = 4,2 $cm$ f = ? A = 9,45 $c m$
Setze nun die gegebenen Informationen in die Formel ein:
9,45 $c m^{²}$ = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ 4,2 $cm$ $\cdot$ f
9,45 $c m^{²}$ = 2,1 $cm$ $\cdot$ f | : 2,1 $cm$
4,5 $cm$ = f

$\begin{array}{ccc} e & f & A \\ ? & 8 cm & 24 cm \end{array}$
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
Um den Flächeninhalt eines Drachenvierecks auszurechnen setzt du die gegebenen Zahlen in folgende Formel ein:
Fläche von Drachenviereck: A = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ e $\cdot$ f
Gegebene Informationen: e = ? f = 8 $cm$ A = 24 $c m$
Setze nun die gegebenen Informationen in die Formel ein:
24 $c m^{²}$ = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ 8 $cm$ $\cdot$ e
24 $c m^{²}$ = 4 $cm$ $\cdot$ e | : 4 $cm$
6 $cm$ = e

$\begin{array}{ccc} e & f & A \\ ? & 7,5 cm & 3 dm \end{array}$
dm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
Um den Flächeninhalt eines Drachenvierecks auszurechnen setzt du die gegebenen Zahlen in folgende Formel ein:
Fläche von Drachenviereck: A = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ e $\cdot$ f
Gegebene Informationen: e = ? f = 7,5 $cm$ A = 3 $d m$
Setze nun die gegebenen Informationen in die Formel ein:
$3 d m^{2}$ = $\frac{1}{2} \cdot 0,75 dm \cdot e$
$3 d m^{2}$ = $0,375 dm \cdot e$ | $: 0,375 dm$
$8 dm$ = $e$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$a^{2}$	$=$	${(\frac{f}{2})}^{2} + {(\frac{e}{2})}^{2}$
	↓	Das ist der Satz des Pythagoras. Jetzt kannst du für $f = 8 cm$ und $e = 12 cm$ einsetzen.
$a^{2}$	$=$	${(\frac{8 c m}{2})}^{2} + {(\frac{12 c m}{2})}^{2}$
$a^{2}$	$=$	${(4 c m)}^{2} + {(6 c m)}^{2}$
$a^{2}$	$=$	$16 c m^{2} + 36 c m^{2}$
$a^{2}$	$=$	$52 c m^{2}$	$\sqrt{}$
$a$	$=$	$\sqrt{52 c m^{2}}$
$a$	$=$	$7,211... c m$
	↓	Runde auf eine Nachkommastelle.
$a$	$\approx$	$7,2 c m$

Aufgaben zu Drachenviereck und Raute

Raute

Dreieck