Aufgaben zu Ableitungen, Symmetrie und Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen

Bilde die Ableitung nach x, beachte hierzu die Ableitungsregeln vom Sinus

$\begin{array}{rcl}f(x{)}^{\prime }& =& (-\sin (x){)}^{\prime }\\ & & \\ & =& -\cos (x)\end{array}$

Leite nach x ab, beachte hierbei die Ableitungsregel des Sinus und die Kettenregel, $u(v(x))=u^{\prime }(v(x))\cdot v^{\prime }(x)$ mit $u(x)=\sin (x)$ und $v(x)=2\cdot x$

$\begin{array}{rcl}g(x{)}^{\prime }& =& (\sin (2\cdot x){)}^{\prime }\\ & & \\ & =& (\cos (2\cdot x))\cdot (2\cdot x{)}^{\prime }\\ & & \\ & =& 2\cdot \cos (2\cdot x)\end{array}$

Leite die Klammer ab und wende die Kettenregel an: $u(v(x))=u^{\prime }(v(x))\cdot v^{\prime }(x)$ mit $u(x)=x^2$ und $v(x)=\cos (x)$

$\begin{array}{rcl}h(x{)}^{\prime }& =& ((\cos (2\cdot x){)}^2{)}^{\prime }\\ & & \\ & =& 2\cdot (\cos (2\cdot x){)}^1\cdot (\cos (2\cdot x){)}^{\prime }\end{array}$

Leite $\cos (2\cdot x)$ mit Hilfe der Kettenregel ab, wobei $u(x)=\cos (x)$ und $v(x)=2\cdot x$.

$\begin{array}{rcl}h(x{)}^{\prime }& =& 2\cdot (\cos (2\cdot x){)}^1\cdot (-\sin (2\cdot x))\cdot 2\\ & & \\ & =& 4\cdot \cos (2\cdot x)\cdot (-\sin (2\cdot x))\end{array}$

Leite den Kosinus mit Hilfe der Kettenregel $u(v(x))=u^{\prime }(v(x)\cdot v^{\prime }(x)$ ab, wobei $u(x)=\cos (x)$ und $v(x)=2\cdot x^2$.

$\begin{array}{rcl}i(x{)}^{\prime }& =& (3\cdot \cos (2\cdot x^2){)}^{\prime }\\ & & \\ & =& 3\cdot (-\sin (2\cdot x^2))\cdot (2\cdot x^2{)}^{\prime }\end{array}$

Leite $2\cdot x^2$ ab.

$\begin{array}{rcl}i(x{)}^{\prime }& =& -3\cdot \sin (2\cdot x^2)\cdot 4\cdot x\\ & & \\ & =& -12\cdot x\cdot \sin (2\cdot x^2)\end{array}$

Gegeben: $t(a)=3\cdot a^2+4\cdot \sin (3\cdot a^2)$

Gesucht: $t^{\prime }(a)$

Der vordere Term stellt ein Polynom dar und die Ableitung ist $(3\cdot a^2{)}^{\prime }=6\cdot a$. Leite den zweiten Term mit der Kettenregel ab.

$(4\cdot \sin (3\cdot a^2){)}^{\prime }=4\cdot \cos (3\cdot a^2)\cdot 6\cdot a$

Führe die beiden Ergebnisse zusammen und erhalte die Ableitung von $t(a)$.

$t^{\prime }(a)=6\cdot a+24\cdot a\cdot \cos (3\cdot a^2)$

Da $j(b)$ das Produkt von $b^2$ und $\tan (b)$ ist, verwende die Produktregel, hier: $j(b)=u(b)\cdot v(b)$ mit $u(b)=b^2$ und $v(b)=\tan (b)$.

$\begin{array}{rcl}{j}^{\prime }(b)& =& (b^2{)}^{\prime }\cdot \tan (b)+b^2\cdot (\tan (b){)}^{\prime }\end{array}$

Es gilt $(\tan (b){)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2(b)}}$.

$\begin{array}{rcl}{j}^{\prime }(b)& =& 2\cdot b\cdot \tan (b)+{\displaystyle \frac{b^2}{{\cos }^2(b)}}\end{array}$

Gegeben: $k(m)={\displaystyle \frac{1}{\sin (m)}}$

Gesucht: $k^{\prime }(m)$

Da die Funktion einen Quotient darstellt, nämlich $k(m)={\displaystyle \frac{u(m)}{v(m)}}$ mit $u(m)=1$ und $v(m)=\sin (m)$, ist die Quotientenregel anwendbar.

$\begin{array}{rcl}{k}^{\prime }(m)& =& {\displaystyle \frac{0\cdot \sin (m)-1\cdot \cos (m)}{(\sin (m){)}^2}}\\ & & \\ & =& -{\displaystyle \frac{\cos (m)}{{\sin }^2(m)}}\end{array}$

Gegeben: $n(x)=\sin (\cos (x))$

Gesucht: $n^{\prime }(x)$

Die Funktion ist verkettet, es gilt nämlich $n(x)=u(v(x))$ für $u(y)=\sin (y)$ und $v(x)=\cos (x).$ Wende daher die Kettenregel an.

$\begin{array}{rcl}{n}^{\prime }(x)& =& u^{\prime }(v(x))\cdot v^{\prime }(x)\end{array}$

Leite $u(y)$ und $v(x)$ ab.

$u^{\prime }(y)=\cos (y)$ und $v^{\prime }(x)=-\sin (x)$

Setze dies in $n^{\prime }(x)=u^{\prime }(v(x))\cdot v^{\prime }(x)$ ein.

$\begin{array}{rcl}{n}^{\prime }(x)& =& \cos (v(x))\cdot (-\sin (x))\end{array}$

Nach oben ist $v(x)=\cos (x)$, setze dies ein.

$\begin{array}{rcl}{n}^{\prime }(x)& =& -\cos (\cos (x))\cdot \sin (x)\end{array}$

Gegeben:

$f(x)=2\cdot \cos (x)+1$

Prüfe die Funktion auf Symmetrie.

$f(-x)=2\cdot \cos (-x)+1$

Der Kosinus ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

$f(-x)=2\cdot \cos (x)+1=f(x)$

Daher ist $f(x)$ ebenfalls achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

Gegeben:

$g(x)=4\cdot \sin (x)$

Prüfe die Funktion auf ihre Symmetrie.

$g(-x)=4\cdot \sin (-x)$

Der Sinus ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

$g(-x)=-4\cdot \sin (x)=-g(x)$

Das heißt, $g(x)$ ist punktsymmetrisch.

Gegeben:

$h(x)=\sin (x-6\pi )$

Da die Sinusfunktion $2\pi$-periodisch ist, gilt $\sin (x-6\pi )=\sin (x)$.

$h(x)=\sin (x)$

Das bedeutet, dass $h(x)$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist, da der Sinus punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

$2\cdot \sin (x-\mathrm{\pi })=1$

Teile auf beiden Seiten der Gleichung durch $2$.

$\sin (x-\pi )=\frac{1}{2}$

Verwende die Umkehrfunktion des Sinus.

$x-\pi ={\sin }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$

Löse nach $x$ auf. Betrachte hierzu den Graphen des Arkussinus und erhalte ${\sin }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi }{6}.$

$\cos (x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=1$

Wende die Umkehrfunktion des Kosinus an.

$x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}={\cos }^{-1}(1)$

Betrachte den Graphen des Arkuskosinus und lese ab, dass ${\cos }^{-1}(1)=0$.

$x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}=0$

Löse die Gleichung nun nach $x$ auf.

$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

$\cos (x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-1)=0$

Wende die Umkehrfunktion der Kosinusfunktion an.

$x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-1={\cos }^{-1}(0)$

Betrachte den Graphen des Arkuskosinus und erhalte ${\cos }^{-1}(0)=\frac{\pi }{2}.$

$x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-1={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

$\begin{array}{rclll}x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-1& =& {\displaystyle \frac{\pi }{2}}& & |-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\\ & & & & \\ x-1& =& 0& & |+1\\ & & & & \\ x& =& 1& & \end{array}$