Aufgaben zum Thema Lineare Gleichungssysteme

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Für welche Werte von $a$ ist folgendes LGS lösbar? Was sind dann die Lösungen?
$\begin{array}{cccccccc} x_{1} & + & 2 x_{2} + & x_{3} & = & 2 \\ x_{1} & + & 4 x_{2} + & 3 x_{3} & = & 4 \\ - 2 x_{1} & - & 3 x_{2} - & x_{3} & = & a \end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineares Gleichungssystem
Das LGS lässt sich als Matrix aufschreiben und mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus vereinfachen.
$(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 3 \\ - 2 & - 3 & - 1 \end{array} | \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ a \end{array})$
$(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ a + 4 \end{array})$
$(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} | \begin{array}{r} 2 \\ a + 4 \\ 2 - 2 (a + 4) \end{array})$
Da die letzte Zeile keine Koeffizienten mehr enthält, gilt $0 = 2 - 2 (a + 4)$ bzw. $a = - 3$ . Das Gleichungssystem ist also unterdefefiniert und wir können $x_{3}$ beliebig wählen, z. B. $x_{3} = z$ . Wir fügen diese Gleichung noch als eine neue Zeile ein und setzen $a = - 3$ .
$(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 2 \\ - 3 + 4 \\ z \end{array})$
$(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} z \\ 1 - z \\ z \end{array})$
Das heißt, es gilt $a = - 3$ sowie $x_{1} = z$ , $x_{2} = 1 - z$ und $x_{3} = z$ mit $z \in ℝ$ .
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Gegeben ist das lineare Gleichungssystem
$\begin{array}{cccccccc} (I) & - x_{1} & + & 2 x_{2} & = & 2 \\ (I I) & 2 x_{1} & - & x_{2} & = & 2 \end{array}$
Löse das System zunächst graphisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
Löse Gleichung $(I)$ nach $x_{2}$ auf:
$x_{2} = \frac{1}{2} \cdot x_{1} + 1$
Die Gerade hat die Steigung $m = \frac{1}{2} $ und den $x_{2}$ -Achsenabschnitt $1$ .
Zeichne die Gerade ein.
In der Abbildung ist es die $violette$ Gerade.
Löse Gleichung $(I I)$ nach $x_{2}$ auf:
$x_{2} = 2 \cdot x_{1} - 2$
Die Gerade hat die Steigung $m = 2$ und den $x_{2}$ -Achsenabschnitt $- 2$ .
Zeichne die Gerade ein.
In der Abbildung ist es die $rote$ Gerade.
Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt $S (2 | 2)$ .

Bestimme die Lösung des linearen Gleichungssystems mit einem Verfahren deiner Wahl.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
Lösung mit dem Gleichsetzungsverfahren
Bei der Lösung zu $1$ hast du die beiden Gleichungen $x_{2} = \frac{1}{2} \cdot x_{1} + 1$ und $x_{2} = 2 \cdot x_{1} - 2$ erhalten. Die rechten Seiten können einander gleichgesetzt werden.
$\frac{1}{2} \cdot x_{1} + 1$ $=$ $2 \cdot x_{1} - 2$ $+ 2$
↓
Löse nach $x_{1}$ auf.
$\frac{1}{2} \cdot x_{1} + 3$ $=$ $2 \cdot x_{1}$ $- \frac{1}{2} \cdot x_{1}$
$3$ $=$ $\frac{3}{2} \cdot x_{1}$ $\cdot \frac{2}{3}$
$2$ $=$ $x_{1}$
Setze $x_{1} = 2$ in eine der beiden Gleichungen ein und berechne $x_{2}$ .
$x_{2} = \frac{1}{2} \cdot x_{1} + 1 \Rightarrow x_{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 + 1 = 2$
Ergebnis: Das Gleichungssystem hat die Lösung $𝕃 = {(2 | 2)}$ .
Lösung mit dem Einsetzungsverfahren
Bei der Lösung zu $1$ hast du die Gleichung $x_{2} = \frac{1}{2} \cdot x_{1} + 1$ erhalten. Setze $x_{2}$ in Gleichung $(I I)$ ein:
$2 \cdot x_{1} - x_{2}$ $=$ $2$
↓
Setze $x_{2} = \frac{1}{2} \cdot x_{1} + 1$ ein.
$2 \cdot x_{1} - (\frac{1}{2} \cdot x_{1} + 1)$ $=$ $2$
↓
Löse die Klammer auf.
$2 \cdot x_{1} - \frac{1}{2} \cdot x_{1} - 1$ $=$ $2$ $+ 1$
↓
Löse nach $x_{1}$ auf.
$\frac{3}{2} \cdot x_{1}$ $=$ $3$ $\cdot \frac{2}{3}$
$x_{1}$ $=$ $2$
Setze $x_{1} = 2$ in eine der beiden Gleichungen ein und berechne $x_{2}$ .
$x_{2} = \frac{1}{2} \cdot x_{1} + 1 \Rightarrow x_{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 + 1 = 2$
Ergebnis: Das Gleichungssystem hat die Lösung $𝕃 = {(2 | 2)}$ .
Lösung mit dem Additionsverfahren
$\begin{array}{cccccccc} (I) & - x_{1} & + & 2 x_{2} & = & 2 \\ (I I) & 2 x_{1} & - & x_{2} & = & 2 \end{array}$
Beseitige z.B. die Variable $x_{1}$ , indem du rechnest: $2 \cdot (I) + (I I)$
$\Rightarrow 4 x_{2} - x_{2} = 4 + 2 \Rightarrow 3 x_{2} = 6 \Rightarrow x_{2} = 2$
Setze den berechneten Wert $x_{2} = 2$ z.B. in Gleichung $(I I)$ ein:
$\Rightarrow 2 x_{1} - 2 = 2 \Rightarrow 2 x_{1} = 4 \Rightarrow x_{1} = 2$
Ergebnis: Das Gleichungssystem hat die Lösung $𝕃 = {(2 | 2)}$ .
Zur Lösung von linearen Gleichungssystemen stehen mehrere Verfahren zur Verfügung, das Gleichsetzungsverfahren, das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren.
3
Das Lösen eines LGS nach dieser Methode benötigt bei $n$ Unbekannten etwa $n^{3} / 3$ Operationen (Additionen und Multiplikationen). Angenommen, unser Rechner schafft $100$ Millionen Operationen pro Sekunde - wie lange braucht er dann für ein LGS mit $10$ , mit $1000$ , mit $100 000$ Unbekannten?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichungssysteme
Also: Unser Verfahren benötigt
$\frac{n^{3}}{3} o p$
für $n$ Unbekannte und wir haben einen Rechner, der
$100 000 000 \frac{o p}{s}$
schafft. Also kann die Dauer angegeben werden als:
$d (n) = \frac{\frac{n^{3}}{3} o p}{100 000 000 \frac{o p}{s}} = \frac{n^{3}}{300 000 000} s$
Nun setzen wir die angegebenen $n$ ein:
$d (10) = \frac{10^{3}}{300 000 000} s = \frac{1}{300 000} s \approx 3,3 μ s$
$d (1 000) = \frac{1000^{3}}{300 000 000} s = \frac{10}{3} s \approx 3,3 s$
$d (100 000) = \frac{100 000^{3}}{300 000 000} s \approx 3 333 333,3 s \approx 39 d$
Während also ein Gleichungssystem mit $10$ Unbekannten im Bruchteil einer Sekunde gelöst werden kann, dauert es für $100000$ Variablen länger als einen Monat.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$\frac{1}{2} \cdot x_{1} + 1$	$=$	$2 \cdot x_{1} - 2$	$+ 2$
	↓	Löse nach $x_{1}$ auf.
$\frac{1}{2} \cdot x_{1} + 3$	$=$	$2 \cdot x_{1}$	$- \frac{1}{2} \cdot x_{1}$
$3$	$=$	$\frac{3}{2} \cdot x_{1}$	$\cdot \frac{2}{3}$
$2$	$=$	$x_{1}$

$2 \cdot x_{1} - x_{2}$	$=$	$2$
	↓	Setze $x_{2} = \frac{1}{2} \cdot x_{1} + 1$ ein.
$2 \cdot x_{1} - (\frac{1}{2} \cdot x_{1} + 1)$	$=$	$2$
	↓	Löse die Klammer auf.
$2 \cdot x_{1} - \frac{1}{2} \cdot x_{1} - 1$	$=$	$2$	$+ 1$
	↓	Löse nach $x_{1}$ auf.
$\frac{3}{2} \cdot x_{1}$	$=$	$3$	$\cdot \frac{2}{3}$
$x_{1}$	$=$	$2$

Aufgaben zum Thema Lineare Gleichungssysteme

Lösung mit dem Gleichsetzungsverfahren

Bei der Lösung zu 1 hast du die beiden Gleichungen x2=12⋅x1+1 und x2=2⋅x1−2 erhalten. Die rechten Seiten können einander gleichgesetzt werden.

Lösung mit dem Einsetzungsverfahren

Bei der Lösung zu 1 hast du die Gleichung x2=12⋅x1+1 erhalten. Setze x2 in Gleichung (II) ein:

Lösung mit dem Additionsverfahren

Bei der Lösung zu $1$ hast du die beiden Gleichungen $x_{2} = \frac{1}{2} \cdot x_{1} + 1$ und $x_{2} = 2 \cdot x_{1} - 2$ erhalten. Die rechten Seiten können einander gleichgesetzt werden.

Bei der Lösung zu $1$ hast du die Gleichung $x_{2} = \frac{1}{2} \cdot x_{1} + 1$ erhalten. Setze $x_{2}$ in Gleichung $(I I)$ ein: