Aufgaben zum Thema Lineare Gleichungssysteme

Löse Gleichung $(\mathrm{I})$ nach $x_2$ auf:

$x_2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x_1+1$

Die Gerade hat die Steigung $m=\frac{1}{2}\text{}$ und den $x_2$-Achsenabschnitt $1$.

Zeichne die Gerade ein.

In der Abbildung ist es die $\text{violette}$ Gerade.

Löse Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I})$ nach $x_2$ auf:

$x_2=2\cdot x_1-2$

Die Gerade hat die Steigung $m=2$ und den $x_2$-Achsenabschnitt $-2$.

Zeichne die Gerade ein.

In der Abbildung ist es die $\text{rote}$ Gerade.

Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt $S(2|2)$.

Lösung mit dem Gleichsetzungsverfahren

Bei der Lösung zu $1$ hast du die beiden Gleichungen $x_2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x_1+1$ und $x_2=2\cdot x_1-2$ erhalten. Die rechten Seiten können einander gleichgesetzt werden.

Setze $x_1=2$ in eine der beiden Gleichungen ein und berechne $x_2$.

$x_2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x_1+1\Rightarrow x_2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2+1=2$

Ergebnis: Das Gleichungssystem hat die Lösung $𝕃=\{(2|2)\}$.

Lösung mit dem Einsetzungsverfahren

Bei der Lösung zu $1$ hast du die Gleichung $x_2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x_1+1$ erhalten. Setze $x_2$ in Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I})$ ein:

Setze $x_1=2$ in eine der beiden Gleichungen ein und berechne $x_2$.

$x_2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x_1+1\Rightarrow x_2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2+1=2$

Ergebnis: Das Gleichungssystem hat die Lösung $𝕃=\{(2|2)\}$.

Lösung mit dem Additionsverfahren

$\begin{array}{cccccc}(\mathrm{I})& -x_1& +& 2x_2& =& 2\\ (\mathrm{I}\mathrm{I})& 2x_1& -& x_2& =& 2\end{array}$

Beseitige z.B. die Variable $x_1$, indem du rechnest: $2\cdot (\mathrm{I})+(\mathrm{I}\mathrm{I})$

$\Rightarrow 4x_2-x_2=4+2\Rightarrow 3x_2=6\Rightarrow x_2=2$

Setze den berechneten Wert $x_2=2$ z.B. in Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I})$ ein:

$\Rightarrow 2x_1-2=2\Rightarrow 2x_1=4\Rightarrow x_1=2$

Ergebnis: Das Gleichungssystem hat die Lösung $𝕃=\{(2|2)\}$.