Aufgaben zum Aufstellen von Termen

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Gegeben ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $a = 5 cm$ . Bestimme den Term $A (x)$ für den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt von Dreiecken
Für den Flächeninhalt des $gelben$ Dreiecks gilt also:
$A_{△ gelb} = A_{□} - A_{△ grün} - 2 \cdot A_{△ orange}$
Das $grüne$ Dreieck hat die Grundseite $x$ und die Höhe $x$ , also den Flächeninhalt: $A_{△ grün} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x = \frac{1}{2} x^{2} .$
Ein oranges Dreieck hat die Grundseite $a = 5$ und die Höhe $a - x = 5 - x$ , als Flächeninhalt also: $A_{△ orange} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (5 - x) = \frac{1}{2} \cdot 25 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot x = 12,5 - 2,5 \cdot x$
Das Quadrat hat die Seitenlänge $a = 5$ und damit den Flächeninhalt: $A_{□} = 5^{2} = 25$ .
Jetzt kannst du diese Terme in die Formel für den Flächeninhalt des gelben Dreiecks $A_{△ gelb} = A_{□} - A_{△ grün} - 2 \cdot A_{△ orange}$ einsetzen und erhältst:
$\begin{array}{lr} A_{△ gelb} & = & 25 - \frac{1}{2} x^{2} - 2 (12,5 - 2,5 x) \\ = & 25 - \frac{1}{2} x^{2} - 25 + 5 x \\ = & - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x \end{array}$
Der Term $A (x)$ für den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ lautet:
$A (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x$
Den Flächeninhalt des gelben Dreiecks kannst du bestimmen, indem du die Flächeninhalte der beiden Dreiecke in Orange und des Dreiecks in Grün vom Flächeninhalt des Quadrats abziehst. Beachte dabei, dass die Dreiecke in Orange denselben Flächeninhalt haben.
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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Terme gliedern
Von welcher Art (Summe, Potenz oder …) ist der Gesamtterm: $x (x - 2)$

Von welcher Art ist der Gesamtterm: $c_{1} \cdot m \cdot (T_{1} - T_{0}) + c_{2} \cdot M \cdot (T_{0} - T_{2})$

Gliedere den Term: $0,5 \cdot (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{2} - \frac{E}{η}$
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In das Quadrat ist ein grau gefärbter "Doppelpfeil" eingezeichnet.
Gib den Flächeninhalt des Doppelpfeils in Abhängigkeit von $x$ und $y$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Quadrats
Funktionen aufstellen
Formel für das Quadrat aufstellen:
$A_{□} = a^{2}$
$a = x + y$
$A_{□} = {(x + y)}^{2}$
Formel für das Dreieck aufstellen:
$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
$g$ und $h$ entsprechen $y$ , da es ein rechtwinkliges Dreieck ist.
$A_{△ ∡ 90^{o}} = \frac{1}{2} y^{2}$
Das ist die Fläche für eines der beiden Dreiecke.
Formel für die Fläche des Pfeils aufstellen:
$A_{\Leftrightarrow} = A_{□} - 2 A_{△} =$
Substrahiere die Fläche der beiden Dreiecke von der Fläche des Quadrats.
$= {(x + y)}^{2} - y^{2}$
1.Binomische Formel anwenden.
$= (x^{2} + 2 xy + y^{2}) - y^{2}$
$= x^{2} + 2 x y$
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In einem Geschäft kostet ein Hammer $e$ Euro und $c$ Cent. Dazu kommen noch 19% MWSt.
Wie viel Cent kosten $h$ Hämmer einschließlich MWSt.? Welche Formel(n) ist /sind richtig?
$19 \cdot h \cdot (100 c + e)$
$1,19 \cdot h \cdot (100 c + e)$
$1,19 \cdot h \cdot (100 e + c)$
$1,19 \cdot \frac{h \cdot e + c}{100}$
$h \cdot (100 c + e) + 19 %$
$0,19 \cdot (100 c \cdot e + h)$
$1,19 \cdot (100 c \cdot h + e \cdot h)$
$0,19 + 100 c \cdot h + e \cdot h$
$\sqrt{19 c \cdot e \cdot h + 100}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mit Formeln
Zur Lösung der Aufgabe benötigst du weiter noch Grundwissen über den vermehrten Grundwert.
Nur die 3. Formel ist korrekt.
Prüfe in den Formeln, ob mit gleichen Währungseinheiten gerechnet wird bzw. ob die Währungseinheiten korrekt umgerechnet wurden. Beispiel: $(100 c + e)$ ist falsch, da Cent nicht korrekt in Euro umgerechnet werden.
Prüfe in den Formeln, ob der Preis für die Hämmer korrekt berechnet wird. Beispiel: $h \cdot e + c$ ist falsch, da die Anzahl der Hämmer nur mit dem Euro Betrag multipliziert wird.
Prüfe in den Formeln, ob Preis incl. MWSt korrekt berechnet wird.
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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Beim Zerschneiden einer rechteckigen Pizza in $n$ waagrechte und $n$ senkrechte Streifen entstehen
Eckstücke (E),
reine Randstücke (R)
und Innenstücke (I),
siehe Abbildung für $n = 4$ .
Stelle Terme auf, die die Zahl der Randstücke bzw. die Zahl der Innenstücke in Abhängigkeit von der Streifenzahl $n$ beschreiben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme aufstellen
Term für Randstücke
$T_{R} (n) = 4 \cdot (n - 2)$
$n - 2$ ist die Anzahl der Randstücke auf einer Seite des Quadrats. Das musst du dann noch mit 4 multiplizieren, weil das Rechteck 4 Seiten hat.
Term für Innenstücke
$T_{I} (n) = (n - 2) \cdot (n - 2)$
$(n - 2)$ ist die Anzahl der Pizzastücke in einer Reihe minus die Rand- oder Endstücke in der Reihe.
Zur Kontrolle kannst du zur Zahl der Innen-und Randstücke die Zahl der Eckstücke ( 4 Stück ) dazuzählen und vereinfachen, dann muss sich die Gesamtzahl der Stücke $(n^{2})$ ergeben.
$\Rightarrow 4 (n - 2) + {(n - 2)}^{2} + 4 =$
$= 4 n - 8 + n^{2} - 2 n - 2 n + 4 + 4$
$= n^{2}$
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In einem Hotel kostet die Übernachtung 70€. Hinzu kommen möglicherweise sonstige Kosten (Restaurant, Telefon, etc.) Auf all das werden noch 16% MWSt erhoben. Gesucht ist eine Formel für den Rechnungsbetrag $R$ (in €) als Funktion der Zahl der Nächte $N$ und den sonstigen Kosten $S$ (in €). Welche Formel ist richtig?
$R = 0,16 \cdot (70 N + S)$
$R = 1,16 \cdot (70 N + S)$
$R = 70 N + S + 16 %$
$R = 16 \cdot (70 N + S)$
$R = 70 N + S + 0,16$
$R = 70 N^{S} - 16 π$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Ansatz 3 ist Richtg, der Rechnungsbetrag ergibt sich aus den Kosten für die Näche $(70 € \cdot N)$ und den Sonstigen Kosten (S) multipliziert mit 1,16 (Nettobetrag+16% vom Nettobetrag).
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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Verlängert man jede Seite eines Dreiecks, so erhält man die Nebenwinkel der Innenwinkel $α, β, γ$ , die sogenannten Außenwinkel $α^{*}, β^{*}, γ^{*}$ . Was stellt der Term $(180^{\circ} - α) + (180^{\circ} - β) + (180^{\circ} - γ)$ dar? Dieser Term lässt sich umformen zu $540^{\circ} - (α + β + γ)$ . Was kann man daraus folgern?

Nebenwinkel ergänzen sich zu $180^{\circ}$ .
Daher ist $α^{*} = 180^{\circ} - α$ und genauso $β^{*} = 180^{\circ} - β$ und $γ^{*} = 180^{\circ} - γ$ .
Der Term $(180^{\circ} - α) + (180^{\circ} - β) + (180^{\circ} - γ)$ ist also die Summe der Außenwinkel.
Wenn du dies als $540^{\circ} - (α + β + γ)$ schreibst, und beachtest, dass die Summe der Winkel im Dreieck $α + β + γ = 180^{\circ}$ ist, erhältst du, dass die Summe der Außenwinkel gleich $540^{\circ} - 180^{\circ} = 360^{\circ}$ ist.
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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Stelle einen Term auf für den Mittelwert des Preises einer Ware in drei verschiedenen Geschäften:
Preis im ersten Geschäft: $x$ .
Preis im zweiten Geschäft: $12 %$ billiger als im ersten.
Preis im ersten Geschäft ist im $25 %$ höher als im dritten Geschäft.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme aufstellen
1. Berechnung der Preise in Abhängigkeit von $x$
Erstes Geschäft
Der Preis im ersten Geschäft beträgt $x$ .
Zweites Geschäft
Der Preis im zweiten Geschäft ist um $12 %$ niedriger als im ersten Geschäft. Also musst du $12 %$ von $x$ abziehen, um auf den Preis im zweiten Geschäft zu kommen. $12 %$ von $x$ sind: $0,12 \cdot x$ . Also ist der Preis im zweiten Geschäft:
$x - 0,12 \cdot x = 0,88 \cdot x .$
Drittes Geschäft
Der Preis im ersten Geschäft ist um $25 %$ höher als der Preis im dritten Geschäft. Das kannst du mathematisch so aufschreiben:
$\begin{array}{rcr} x = Preis im ersten Geschäft & = & 1 \cdot Preis im dritten Geschäft \\ + 0,25 \cdot Preis im dritten Geschäft \\ = & 1,25 \cdot Preis im dritten Geschäft \end{array}$
Diese Gleichung kannst du nun nach dem Preis im dritten Geschäft umstellen:
$Preis im dritten Geschäft = \frac{x}{1,25}$
Dabei ist $1,25 = \frac{5}{4}$ . Damit kannst du den Preis im dritten Geschäft nun berechnen:
$\begin{array}{rcl} Preis im dritten Geschäft & = & \frac{x}{\frac{5}{4}} \\ = & x \cdot \frac{4}{5} \\ = & 0,8 \cdot x \end{array}$
Beim zweiten "=" wird mit dem Kehrbruch multipliziert. Wenn du nicht wusstest, dass man das hier machen muss, dann hilft dir der Artikel zur Division von Brüchen.
2. Berechnung des Mittelwerts
Nun hast du drei Terme, die jeweils den Preis in einem der Geschäfte beschreiben:
Preis im ersten Geschäft: $x$
Preis im zweiten Geschäft: $0,88 x$
Preis im dritten Geschäft: $0,8 x$
Um den Mittelwert dieser drei Terme zu berechnen, musst du sie addieren und anschließend durch $3$ (das ist die Anzahl der Terme) teilen:
$\frac{x + 0,88 x + 0,8 x}{3} = \frac{2,68 x}{3} \approx 0,893 x$
Der Mittelwert der Terme ist also etwa $0,893 x$ .
Du kannst hier wie folgt vorgehen:
Berechne zuerst den Preis im zweiten und dritten Geschäft in Abhängigkeit von $x$ . Dann hast du drei Terme: Für jedes Geschäft den Term, der den Preis in diesem Geschäft angibt.
Berechne den Mittelwert (auch bekannt als "Durchschnitt") dieser Terme.
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Für ein Festessen sollen Einzeltische für je sechs Personen zu einer großen Tafel zusammengestellt werden. Es werden zwei Möglichkeiten betrachtet, dies zu tun: Die Tische können an den Schmal- oder Längsseiten zusammengestellt werden.
Wie viele Personen können bei jeder Tischanordnung insgesamt Platz nehmen, wenn eine bestimmte Anzahl $(n)$ Tische zusammengestellt werden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Belegung von Variablen
$ n =$ Anzahl Tische
$ p =$ Anzahl Personen
Schmalseiten zusammengestellt:
$p = n \cdot 4 + 2$
Längsseiten zusammengestellt:
$p = n \cdot 2 + 4$

Der Gastgeber hat so viele Gäste eingeladen, dass bei keiner der beiden möglichen Tischanordnungen $5$ Tische genügen. Wenn er einen weiteren Tisch hinzufügt, ist die Anzahl der Plätze genau ausreichend. Es wird davon ausgegangen, dass die Tische so aufgestellt werden, dass möglichst viele an einem Tisch Platz haben. Wie viele Personen nehmen am Festessen teil?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Belegung von Variablen
$p = n \cdot 4 + 2$
$n = 5 + 1$
$p = 6 \cdot 4 + 2$
$p = 26$
$\Rightarrow$ Es nehmen $26$ Leute an dem Festessen teil.
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Verbinde die Zahlen $- 25, - 9, 11$ und $- 4$ mit Addition, Subtraktion oder Multiplikation (ohne Klammern zu setzen) und stelle so einen Term auf, dessen Wert …
positiv bzw. negativ ist,

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundrechenarten
Term mit positivem Wert: $(- 9) \cdot (- 4) - (- 25) \cdot 11 = 311$
Term mit negativem Wert: $(- 25) + (- 9) + 11 + (- 4) = - 27$

so groß wie möglich ist,

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundrechenarten
Term mit maximalem Wert: $(- 25) \cdot (- 9) \cdot 11 - (- 4) = 2479$

so klein wie möglich ist,

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundrechenarten
Term mit minimalem Wert: $(- 25) \cdot (- 9) \cdot 11 \cdot (- 4) = - 9900$

möglichst nahe bei 0 liegt

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundrechenarten
Term mit einem Wert, der möglichst nahe bei Null liegt:
$(- 25) - 11 + (- 9) \cdot (- 4) = 0$