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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Drei Bereiche $R, S$ und $T$ eines Betriebes sind untereinander und mit dem Markt nach dem Leontief-Modell mit der Inputmatrix $A = (\begin{array}{ccc} 0,1 & a & 0 \\ a & 2 a & 0,3 \\ 0 & 0,3 & 0,4 \end{array})$
mit $a \in ℝ$ und $a \geq 0,05$ verflochten.
Berechnen Sie für $a = 0,2$ und einer Produktion von $100$ ME im Bereich $R$ , $120$ ME im Bereich $S$ und $150$ ME im Bereich $T$ die Marktabgaben der einzelnen Bereiche und zeichnen Sie das Verflechtungsdiagramm (Gozintograph).

Durch Modernisierungsmaßnahmen verändert sich a zu $a = 0,1$ . Die drei Bereiche setzen nun folgende Mengen am Markt ab: Bereich $R$ $14$ 0 ME, Bereich $S$ $15$ 0 ME und Bereich $T$ $180$ ME. Berechnen Sie die dazugehörigen Produktionsmengen.

Bei einer überschlägigen Rechnung zur Gewinnoptimierung mit variablem $a$ nimmt der Betriebsinhaber folgende Werte an: die Bereiche $R$ und $S$ produzieren je $12$ 0 ME und der Bereich $T$ $140$ ME. Je verkaufte Mengeneinheit beträgt der Gewinn im Bereich $R$ $15, –$ € und in den Bereichen $S$ und $T$ je $10, –$ €. Berechnen Sie, für welchen Wert von $a$ die Gewinnsumme maximal wird.
2
In einem kartesischen Koordinatensystem des IR3 sind die Punkte $A (2 | 1 | 0)$ , $B (- 4 | 3 | 2)$ , $C (- 2 | 2 | 2)$ und die Punktemenge $D_{k} (k | 2 k | - 1)$ mit $k \in ℝ$ sowie die Gerade $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ mit r $\in ℝ$ gegeben.
Überprüfen Sie, ob es ein $k \in ℝ$ gibt, so dass die Punkte $A, B, C$ und $D_{k}$ Eckpunkte des abgebildeten Trapezes sein können.

Die drei Punkte $A, B$ und $C$ spannen die Ebene $E$ auf. Bestimmen Sie je eine Gleichung der Ebene $E$ in Parameter- und Koordinatenform.
[ mögliches Teilergebnis: $E : x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} - 4 = 0$ ]

Prüfen Sie durch Rechnung, ob es einen Wert für $k$ gibt, für den ein Punkt der Punktemenge $D_{k}$ sowohl in $E$ als auch in $g$ liegt.

Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte der Ebene $E$ und erstellen Sie eine Schrägbildskizze der Ebene $E$ im Koordinatensystem.

Die Ebene $E$ schließt mit den Koordinatenebenen eine Pyramide ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Pyramidenvolumens.

Die Ebene $E$ und die $x_{1} - x_{2} -$ Koordinatenebene schneiden sich in der Geraden $h$ . Bestimmen Sie die gegenseitige Lage von $g$ und $h$ .

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