Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

Zeichnen Sie die beiden Geraden in die Abbildung ein

Geben Sie die Bedeutung der beiden Graphen an

Die Gerade $x=-3$ ist eine senkrechte Asymptote bei der Definitionslücke und die Gerade $y=x-3$ ist eine schiefe Asymptote für $x\to \pm \infty$.

Die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden angeben

Die beiden Geraden schneiden sich für $x=-3$.

Setze $x=-3$ in die Geradengleichung $y=x-3$ ein:

$\Rightarrow y=-3-3=-6$

Der Schnittpunkt der beiden Geraden hat somit die Koordinaten $S(-3|-6)$.

Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts von $G$ mit der y-Achse

Setze $x=0$ in $f(x)$ ein:

$G$ verläuft für $x>-3$ oberhalb der Geraden mit der Gleichung $y=x-3$

Zu zeigen ist, dass der Term ${\displaystyle \frac{5}{x+3}}$ für $x>-3$ größer null ist.

Für $x>-3$ ist der Nenner des Bruches größer null:

${\displaystyle \frac{5}{\underset{>0}{\underbrace{x+3}}}}\Rightarrow$5 geteilt durch eine Zahl größer null ist ebenfalls größer null.

Also verläuft $G$ für $x>-3$ oberhalb der Geraden mit der Gleichung $y=x-3$.

Zeige ${\displaystyle \frac{x^2-4}{x+3}}$ ist gleich $x-3+{\displaystyle \frac{5}{x+3}}$

Bringe den Term $x-3+{\displaystyle \frac{5}{x+3}}$ auf Hauptnenner:

Damit ist gezeigt, dass der Term $x-3+{\displaystyle \frac{5}{x+3}}$ gleich dem Term ${\displaystyle \frac{x^2-4}{x+3}}$ ist.

Begründe, dass $f$ genau die Nullstellen $-2$ und $2$ hat

Der Zähler von $f$ kann mithilfe der 3. binomischen Formel umgeformt werden.

$x^2-4=(x+2)\cdot (x-2)$

Berechne die Nullstellen von $f$:

$(x+2)\cdot (x-2)=0$

Verwende den Satz vom Nullprodukt:

$x+2=0\Rightarrow x=-2$

$x-2=0\Rightarrow x=2$

Beide x-Werte liegen im Definitionsbereich von $f$, sind also die gesuchten Nullstellen.

Term der ersten Ableitungsfunktion f'

Gegeben ist $f(x)=x-3+{\displaystyle \frac{5}{x+3}}=x-3+5\cdot (x+3{)}^{-1}$

Leite nach den Regeln für Potenzfunktionen ab:

Berechne die x-Koordinate von $T$

$f^{\prime }(x)=0$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

Die beiden Lösungen sind $x_1=-3-\sqrt{5}\approx -\mathrm{5,24}$ und $x_2=-3+\sqrt{5}\approx -\mathrm{0,76}$.

Da in der gegebenen Abbildung die x-Koordinate des Tiefpunkts etwa $-\mathrm{0,8}$ beträgt, ist $x_2=-3+\sqrt{5}$ die gesuchte Lösung.

$\Rightarrow TP(-3+\sqrt{5}|f(-3+\sqrt{5}))$

Näherungswert für das Integral $${\displaystyle {\int }_{-2}^{2}f(x)\mathrm{d}x}$$

Zählt man die kleinen Kästchen (Seitenlänge $\mathrm{0,5}\text{LE}$) unterhalb der x-Achse, so kommt man auf etwa $16$ Kästchen.

Da $4$ kleine Kästchen $1\text{FE}$ ergeben, erhält man also ${\displaystyle \frac{16}{4}}=4\text{FE}$.

Da sich die Fläche unterhalb der x-Achse befindet, erhält man als Näherungswert für das Integral $${\displaystyle {\int }_{-2}^{2}f(x)\mathrm{d}x\approx -4}$$.

$F$ ist eine Stammfunktion von $f$

Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, dann muss $F^{\prime }(x)=f(x)$ sein.

Zeige damit, dass $\underset{x\to -3}{\lim }J(x)=-\infty$ gilt

Wegen $]-3;+\infty [$ geht der Grenzwert gegen $-3^{+}$.

Zu zeigen ist also $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }J(x)=-\infty$.

Es ist $$J(x)={\displaystyle {\int }_{-2}^{x}f(t)\mathrm{d}t=F(x)-F(-2)}$$

Betrachte $F(x)-F(-2)$:

$F(x)-F(-2)=\underset{F(x)}{\underbrace{\mathrm{0,5}{x}^2-3x+5\cdot \ln (x+3)}}-\underset{F(-2)}{\underbrace{(2+6+5\cdot 0)}}$

$\Rightarrow F(x)-F(2)=\mathrm{0,5}{x}^2-3x+5\cdot \ln (x+3)-8$

Untersuche nun das Verhalten des Terms $\mathrm{0,5}{x}^2-3x+5\cdot \ln (x+3)-8$ für $x\to -3^{+}$:

$\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\mathrm{0,5}{x}^2-3x+5\cdot \ln (x+3)-8=\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\underset{\to \mathrm{4,5}}{\underbrace{\mathrm{0,5}{x}^2}}\underset{\to +9}{\underbrace{-3x}}+\underset{\to -\infty }{\underbrace{5\cdot \ln (\underset{\to 0^{+}}{\underbrace{x+3}})}}-8=-\infty$

Damit ist gezeigt, dass $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }J(x)=-\infty$ ist.

Deute diese Aussage geometrisch

In der Abbildung ist die Fläche $A_1$ markiert.

Gezeigt wurde $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }J(x)=-\infty$ mit $$J(x)={\displaystyle {\int }_{-2}^{x}f(t)\mathrm{d}t}$$

Die markierte Fläche $A_1$ ist somit unendlich groß.

Sie hat keinen endlichen Flächeninhalt. Der Graph schneidet die senkrechte Asymptote nicht.

Anmerkung: Beachte $${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=-{\displaystyle {\int }_b^{a}f(x)\mathrm{d}x}}$$

$J$ besitzt mindestens zwei Nullstellen

Jede Integralfunktion $$F(x)={\displaystyle {\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t}$$ hat an der Stelle $x=a$ eine Nullstelle, also besitzt jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle.

$J$ hat also eine Nullstelle für $x_1=-2$.

Eine zweite Nullstelle kann man finden, wenn man sich den Verlauf des Graphens von $f$ ansieht.

In der obigen Abbildung sind zwei Flächen gekennzeichnet, $A_2$ und $A_3$.

Beide Flächen haben den gleichen Flächeninhalt, sodass die Flächenbilanz null ist. Bei $x_2$ liegt demnach die zweite Nullstelle von $J$.

Hinweis:

Im Bereich von $-3<x<-2$ gibt es ein weiteres Flächenstück, das den gleichen Flächeninhalt wie $A_2$ hat.

Allerdings ergibt hier das Integral $$J(x)={\displaystyle {\int }_{-2}^{-\mathrm{2,81}}f(t)\mathrm{d}t\approx -4}$$, sodass sich die beiden Integrale nicht gegenseitig aufheben.

Es gibt also keine weitere Nullstelle von $J(x)$.

Die Anzahl der Nullstellen von $f_k$ in Abhängigkeit von $k$

Gegeben ist $f_k(x)={\displaystyle \frac{x^2-k}{x+3}}$:

Die Nullstellen von $f_k(x)$ sind die Nullstellen des Zählers für $x\ne -3$.

$k>0\Rightarrow$es gibt 2 Nullstellen $x_{\mathrm{1,2}}=\pm \sqrt{k}$

$k=0\Rightarrow$ es gibt 1 Nullstelle $x=0$

$k<0\Rightarrow$es gibt keine Nullstellen

Die Funktion $f_0$ der Schar hat eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel

$k=0\Rightarrow f_0(x)={\displaystyle \frac{x^2}{x+3}}$$\Rightarrow x^2=0$

$\Rightarrow$ Es gibt eine Nullstelle $x=0$ ohne Vorzeichenwechsel (Berührpunkt mit der x-Achse im Ursprung), da der Zähler von $f_k$ einen geraden Exponenten hat.

Begründe, dass $G_k$ für $k>9$ keine Extrempunkte besitzt

Gegeben ist $f_k^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{x^2+6x+k}{(x+3{)}^2}}$:

Für einen Extrempunkt muss $f_k^{\prime }(x)=0$ sein:

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel:

Für $k>9$ ist der Radikand negativ, d.h. es gibt keine Lösung für die quadratische Gleichung und damit besitzt $f_k$ für $k>9$ keine Extrempunkte.

Zeige, dass die Tangente $t_k$ die Steigung ${\displaystyle \frac{k}{9}}$ hat

Die Tangente an $G_k$ im Punkt $(0|f_k(0))$ soll die Steigung ${\displaystyle \frac{k}{9}}$ haben.

Es ist $f_k^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{x^2+6x+k}{(x+3{)}^2}}$.

Dann folgt:

$f_k^{\prime }(0)={\displaystyle \frac{0^2+6\cdot 0+k}{(0+3{)}^2}}={\displaystyle \frac{k}{9}}$

Die Tangente an $G_k$ im Punkt $(0|f_k(0))$ hat die Steigung ${\displaystyle \frac{k}{9}}$.

Bestimme denjenigen Wert von $k$, für den $t_k$ senkrecht zur Geraden mit der Gleichung $y=x-3$ steht

$t_k⟂y$, wenn $m_{t_k}\cdot m_y=-1$ ist.

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{k}{9}}\cdot 1=-1\Rightarrow k=-9$

Für $k=-9$ steht $t_k$ senkrecht zur Geraden mit der Gleichung $y=x-3$.

Gib eine Gleichung von $t_k$ an

Allgemeine Tangentengleichung:

$y_T=m_T\cdot x+b$

Mit $m_T={\displaystyle \frac{k}{9}}$, dem Punkt $(0|f_k(0))$, d.h. $f_k(0)={\displaystyle \frac{0^2-k}{0+3}}=-{\displaystyle \frac{k}{3}}$ folgt dann:

$t_k:y={\displaystyle \frac{k}{9}}\cdot x+b$

Setze den Punkt $\left(0\right|-{\displaystyle \frac{k}{3}})$ in $t_k$ ein:

$-{\displaystyle \frac{k}{3}}={\displaystyle \frac{k}{9}}\cdot 0+b\Rightarrow b=-{\displaystyle \frac{k}{3}}$

Die Tangentengleichung lautet dann:

Es gibt einen Punkt, der für alle $k\in ℝ\backslash \{9\}$ auf $t_k$ liegt

Es ist $t_k:y={\displaystyle \frac{k}{9}}\cdot x-{\displaystyle \frac{k}{3}}$.

Für welchen Wert von $x$ erhält man immer dasselbe Ergebnis unabhängig von $k$?

Schreibe $${\displaystyle y=\frac{k}{9}\cdot x-\frac{k}{3}=\frac{k}{9}(x-3)}$$. Damit dieser Ausdruck unabhängig von $k$ ist, muss $x=3$ sein. Dann ist immer $y=0$.

Der gesuchte Punkt hat die Koordinaten $(3|0)$ und liegt für alle $k\in ℝ\backslash \{9\}$ auf $t_k$.