2022

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Löse folgende Aufgaben:
Gib die Gleichung der eingezeichneten Ursprungsgerade $g$ an.
$g : y =$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Allgemeine Geradengleichung: $y = m \cdot x + t$
$m$ : Steigung
$t$ : ist der $y$ -Wert, in dem die Gerade die $y$ -Achse schneidet.
An der Zeichnung kannst du die Steigung einfach ablesen. $m = \frac{3}{2} = 1,5$ (2 Kästchen nach rechts und 3 Kästchen nach oben).
Da die Gerade durch den 0-Punkt geht, folgt außerdem $t = 0$ .
$g : y = 1,5 x$

Die Ursprungsgerade $h$ hat die Gleichung $y = - \frac{1}{2} \cdot x$ . Die Ursprungsgerade $f$ verläuft senkrecht zur Gerade $h$ . Kreuze die Gleichung der Gerade f an.
$y = – 2 \cdot x$
$y = 2 \cdot x$
$y = - \frac{1}{5} \cdot x$
$y = - \frac{1}{2} \cdot x$
$y = 5 \cdot x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zwei zueinander senkrechte Geraden
$\frac{1}{2} \cdot 2 = - 1$ $\Rightarrow$
Die Geraden mit den Gleichungen $y = - \frac{1}{2} \cdot x$ und $y = 2 \cdot x$ stehen senkrecht aufeinander.
Zwei Geraden stehen aufeinander senkrecht, wenn ihre Steigungen multipliziert
$- 1$ ergeben.
2
Vervollständige die Zeichnung zum gleichseitigen Dreieck $A B C$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecke konstruieren
Zeichne einen Kreis um $A$ mit dem Radius $r = | A B |$ und einen Kreis um $B$ mit dem Radius $r = | A B | .$ Die beiden Kreise scheiden sich in 2 Punkten. Das Dreieck ABC ist ein gleichseitiges Dreieck.
Anmerkung: Das Dreieck $A D B$ wäre natürlich auch ein gleichseitiges Dreieck.
3
Ergänze die fehlenden Terme in den Kästchen, so dass eine wahre Aussage bei Anwendung des Distributivgesetzes entsteht.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
Kästchen linke Gleichungsseite:
$3 a \cdot (- x)$ $=$ $- 9 a^{3} b$ $: (- 3 a)$
↓
Dividiere
$x$ $=$ $3 a^{2} b$
Kästchen rechte Gleichungsseite:
$3 a \cdot (- 2 a)$ $=$ $y$
↓
Löse die Klammer auf
$- 6 a^{2}$ $=$ $y$
4
Gib die Lösungsmenge L der Gleichung an:
$3 \cdot (x^{2} + x) – 3 x^{2} = x + 4$
L = { }

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vereinfachen von Termen mit Klammern
$3 \cdot (x^{2} + x) - 3 x^{2}$ $=$ $x + 4$
↓
Löse die Klammer auf
$3 x^{2} + 3 x - 3 x^{2}$ $=$ $x + 4$
↓
Fasse zusammen
$3 x$ $=$ $x + 4$ $- x$
↓
Subtrahiere
$2 x$ $=$ $4$ $: 2$
↓
Dividiere
$x$ $=$ $2$
L={ $2$ }
5
Löse die Klammer auf und fasse so weit wie möglich zusammen.
$(2 x + 5)^{2} – 25 =$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$(2 x + 5)^{2} - 25$ $=$ $4 x^{2} + 20 x + 25 - 25$
↓
Fasse zusammen
$=$ $4 x^{2} + 20 x$
6
Gegeben sind die Punkte $A (- 2 | 3)$ und $B (1 | 5$ ). Gib die Koordinaten von $\vec{A B}$ an.
$\vec{A B} = (\begin{matrix} \end{matrix})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
$\vec{A B} = (\begin{array}{c} 1 - (- 2) \\ 5 - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array})$
7
Ein Rechteck mit der Breite $x$ cm ist doppelt so lang wie breit ( $x \in ℚ^{+}$ ).
Nur drei der folgenden Terme beschreiben den Umfang $u$ dieses Rechtecks in Abhängigkeit von $x$ richtig. Kreuze den Term an, der den Umfang $u$ nicht korrekt beschreibt.
$u (x) = (x + x + 2 x + 2 x) c m$
$u (x) = 6 x c m$
$u (x) = 2 x \cdot (2 + x) c m$
$u (x) = 2 \cdot (2 x + x) c m$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umfang von Rechteck
Länge des Rechtecks:
$2 x cm$
Umfang des Rechtecks:
$2 \cdot (x cm + 2 x cm) = 6 x cm$
Terme 1,2 und 4 ergibt je $6 x cm$ und somit sind sie richtig
Term 3 ergibt $(4 x + 2 x^{2}) cm$ und somit ist er falsch
Berechne den Umfang des Rechtecks in Abhängigkeit von x
8
Für das gleichschenklige Trapez $A B C D$ mit der Höhe $h$ gilt:
$A B | | C D; ∢ C B A = 70 °; h = 2 c m$ .
Vervollständige die Zeichnung zum gleichschenkligen Trapez $A B C D$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Trapez
Zeichne eine Parallele zu $A B$ mit Abstand $h = 2 c m .$ Trage dann in $A$ und in $B$ jeweils einen $70 °$ Winkel an. Die Schnittpunkte der freien Schenkel dieser Winkel mit der Parallelen zu $A B$ sind die Punkte $C$ und $D$ des gleichschenkligen Trapezes.
9
Der Flächeninhalt $A$ des Dreiecks $P Q R$ soll mit Hilfe einer Determinante ermittelt werden. Entnimm der Zeichnung die notwendigen Angaben für die Einträge in der Determinante.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
$A_{D r e i e c k} = \frac{1}{2} | \vec{P Q} \times \vec{P R} |$ ; $\vec{P Q} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array})$ ; $\vec{P R} = (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array})$
$A_{D r e i e c k} = \frac{1}{2} | \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ - 1 & 1 \end{array} |$ FE
Nicht verlangt: Damit ergibt sich ein Flächeninhalt von $A_{Dreieck} = \frac{1}{2} (2 + 4) FE = 3 FE$ .
10
Ein quaderförmiges Schwimmbecken hat eine Länge von $25$ m und ist $10$ m breit. Bei der Befüllung fließen $20$ m³ Wasser pro Stunde in das zu Beginn leere Becken. Gib an, wie hoch das Becken nach $15$ Stunden mit Wasser gefüllt ist.
m

$V_{Quader} = l \cdot b \cdot h$
In einer Stunde fließen $20 m^{3}$ Wasser in das Schwimmbecken.
$25 m \cdot 10 m \cdot h = 20 m^{3}$
$h = 20 m^{3} : 250 m^{2} = 0,08 m$
In einer Stunde wird das quaderförmige Schwimmbecken $0,08 m$ hoch gefüllt.
$0,08 m \cdot 15 = 1,2 m$
In 15 Stunden wird das quaderförmige Schwimmbecken $1,2 m$ hoch gefüllt.
Berechne zunächst, wie hoch das Becken in einer Stunde gefüllt wird.
11
Welche Definitionsmenge D gehört zum Bruchterm $T (x) = \frac{3 + x}{x - 4}$ ?
Kreuze diese an.
$D = ℚ$ \{ -3 }
$D = ℚ$ \{ 0 }
$D = ℚ$ \{ 4 }
$D = ℚ$ \{ $- 3; 4$ }

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Ein Bruch ist nur dann definiert, wenn denn Nenner ungleich 0 ist.
$x - 4 = 0$
$x = 4$
D= $ℚ$ \{ $4$ }
12
Gib die Lösungsmenge L der Bruchgleichung $\frac{3}{5 x + 5} = \frac{1}{2 x}$ mit $D = ℚ$ \{ $- 1; 0$ }
L={ }

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen lösen
$\frac{3}{5 x + 5}$ $=$ $\frac{1}{2 x}$ $\cdot (5 x + 5) \cdot 2 x$
↓
Multipliziere und kürze
$3 \cdot 2 x$ $=$ $1 \cdot (5 x + 5)$
↓
Löse die Klammer auf
$6 x$ $=$ $5 x + 5$ $- 5 x$
↓
Subtrahiere
$x$ $=$ $5$
L={ $5$ }
Multipliziere mit dem Hauptnenner und kürze
13
Die folgende Wertetabelle beschreibt einen indirekt proportionalen Zusammenhang. Ergänze den fehlenden Wert.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Indirekte Proportionalität
$6 \cdot 4 = 24$ . Stelle nun eine Gleichung für die fehlende Zahl in der Tabelle auf.
$8 \cdot y = 24$
$y = 3$
Bestimme zunächst das Produkt $x \cdot y$ , z.B. der ersten beiden Zahlen.
14
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15
Ein Spielwürfel mit den Zahlen $1$ bis $6$ wurde $200$ -mal geworfen. Die Zahl $3$ wurde mit einer relativen Häufigkeit von $12,5$ % gewürfelt. Gib an, wie oft die Zahl $3$ gewürfelt wurde.
mal

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit
relative Häufigkeit = absolute Häufigkeit : Anzahl der Versuche.
Die absolute Häufigkeit wird mit $x$ bezeichnet.
$\frac{12,5}{100}$ $=$ $\frac{x}{200}$ $\cdot 200$
↓
multipliziere und kürze
$25$ $=$ $x$
Die Zahl 3 wurde 25-mal gewürfelt.
16
Die Pyramide $A B C D S$ hat eine rechteckige Grundfläche $A B C D$ und wurde im Schrägbild (siehe unten) mit dem Verzerrungsmaßstab $q = 0,5$ und dem Verzerrungswinkel $ω = 45 °$ dargestellt. Bestimme den Flächeninhalt $A$ der rechteckigen Grundfläche $A B C D$ mithilfe des Schrägbilds.
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Der Flächeninhalt des Rechtecks berechnest du mit $A = Länge \cdot Breite$ .
Die Länge ist hier die Länge der Strecke $A B = 4 cm$ ( $2$ Kästchen entsprechen $1 cm$ ).
Die Breite ist hier die Länge der Strecke $B C$ . Sie beträgt gemessen (Geodreieck) etwa $1,5 cm$ . Da der Verzerrungsmaßstab $q = 0,5$ beträgt, ist die Strecke $B C$ in Wirklichkeit $3 cm$ lang. (⁣ $3 cm \cdot q = 3 cm \cdot 0,5 = 1,5 cm$ ).
Der Flächeninhalt der Grundseite der Pyramide ist dann:
$A_{A B C D} = 4 cm \cdot 3 cm = 12 {cm}^{2}$
17
Ein quadratischer Term $T (x)$ hat für $x = 2$ den minimalen Termwert $T_{m i n} = 7$ . Auf welchen der angegebenen quadratischen Terme trifft dies zu? Kreuze an.
$T (x) = – 2 \cdot (x + 2)^{2} + 7$
$T (x) = (x – 7)^{2} + 2$
$T (x) = 7 \cdot (x – 2)^{2}$
$T (x) = (x – 2)^{2} + 7$
$T (x) = (x + 2)^{2} – 7$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Term
$T (2) = - 2 \cdot (2 + 2)^{2} + 7 = - 2 \cdot 16 + 7 = 25$
$T (2) = (2 – 7)^{2} + 2 = 25 + 2 = 27$
$T (2) = 7 \cdot (2 – 2)^{2} = 0$
$T (2) = (2 – 2)^{2} + 7 = 7$
$T (2) = (2 + 2)^{2} – 7 = 16 - 7 = 9$
18
Eine Jeans kostete im Mai 50 €. Zum 1. Juni wurde der Preis um 10% erhöht. Bei einer Rabattaktion im Oktober wurde der Preis vom Juni wieder um 10% gesenkt. Micha behauptet: „Dann hatte die Jeans im Oktober wieder den gleichen Preis wie im Mai.“ Begründe mathematisch, warum Micha nicht recht hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz
Die Jeans kostet im Mai $50$ €.
$1$ % $\hat{=}$ $0,5$ €
$10$ % $\hat{=}$ $5$ €
Im Juni kostet die Jeans $55$ €.
$1$ % $\hat{=} 0,55$ €
$10$ % $\hat{=}$ $5,50$ €
Im Oktober kostet die Jeans $49,50$ €.
19
Die Abbildung stellt maßstabsgetreu einen Aussichtsturm mit zwei Plattformen dar. Zu beiden gelangen die Besucher mit einem Fahrstuhl, der pro Sekunde 3 Meter nach oben fährt. Plattform B erreicht der Fahrstuhl ohne Zwischenhalt nach genau zwei Minuten. In welcher Höhe befindet sich Plattform A? Gib deinen Lösungsweg an.
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab
Höhe Plattform $B ({HP}_{B}) :$
$v = 3 \frac{m}{s}; t = 2 min = 120 s$
${HP}_{B} = 120 s \cdot 3 \frac{m}{s} = 360 m$
Höhe Plattform $A ({HP}_{A}) :$
$\frac{{HP}_{B}}{{HP}_{A}} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{360 m}{{HP}_{A}} = \frac{3}{2}$
$\Rightarrow 3 {HP}_{A} = 720 m \Rightarrow {HP}_{A} = \frac{720 m}{3}$
$\Rightarrow {HP}_{A} = 240 m$
Plattform $A$ befindet sich in einer Höhe von $240 m$ .
Berechne zuerst, mit den Angaben aus der Aufgabenstellung, die Höhe von Plattform $B$ .
Ermittle das Streckenverhältnis durch Messen aus der Zeichnung.
20
Gib die Winkelmaße α und β an. Es gilt: $g | | h$ und $| A C | = | B C |$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
Im Punkt $A$ sind oberhalb der Geraden durch $A$ und $C$ 3 Winkel eingezeichnet. Der Winkel, der nicht bezeichnet ist, ist ein Stufenwinkel zu $α$ und damit genauso groß. Der gesamte Winkel oberhalb der Geraden ist ein gestreckter Winkel. Dieser hat immer 180°. Also gilt:
$30 ° + α + 90 °$ $=$ $180 °$
↓
Fasse zusammen
$120 ° + α$ $=$ $180 °$ $- 120 °$
↓
Subtrahiere
$α$ $=$ $60 °$
$∢ B A C$ ist ein Scheitelwinkel zu dem $30 °$ Winkel und somit ebenfalls $30 °$ . Das Dreieck $A B C$ ist ein gleichschenkliges Dreieck. Also gilt: $∢ B A C = ∢ C B A$ . Da in einem Dreieck die Winkelsumme 180° ist, gilt:
$β = 180 ° - 30 ° - 30 ° = 120 °$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$3 a \cdot (- x)$	$=$	$- 9 a^{3} b$	$: (- 3 a)$
	↓	Dividiere
$x$	$=$	$3 a^{2} b$

$3 a \cdot (- 2 a)$	$=$	$y$
	↓	Löse die Klammer auf
$- 6 a^{2}$	$=$	$y$

$3 \cdot (x^{2} + x) - 3 x^{2}$	$=$	$x + 4$
	↓	Löse die Klammer auf
$3 x^{2} + 3 x - 3 x^{2}$	$=$	$x + 4$
	↓	Fasse zusammen
$3 x$	$=$	$x + 4$	$- x$
	↓	Subtrahiere
$2 x$	$=$	$4$	$: 2$
	↓	Dividiere
$x$	$=$	$2$

$(2 x + 5)^{2} - 25$	$=$	$4 x^{2} + 20 x + 25 - 25$
	↓	Fasse zusammen
	$=$	$4 x^{2} + 20 x$

$\frac{3}{5 x + 5}$	$=$	$\frac{1}{2 x}$	$\cdot (5 x + 5) \cdot 2 x$
	↓	Multipliziere und kürze
$3 \cdot 2 x$	$=$	$1 \cdot (5 x + 5)$
	↓	Löse die Klammer auf
$6 x$	$=$	$5 x + 5$	$- 5 x$
	↓	Subtrahiere
$x$	$=$	$5$

$\frac{12,5}{100}$	$=$	$\frac{x}{200}$	$\cdot 200$
	↓	multipliziere und kürze
$25$	$=$	$x$

$30 ° + α + 90 °$	$=$	$180 °$
	↓	Fasse zusammen
$120 ° + α$	$=$	$180 °$	$- 120 °$
	↓	Subtrahiere
$α$	$=$	$60 °$