Aufgaben zur Volumenberechnung

Mit diesen Aufgaben kannst du üben, das Volumen von Körpern in einem Koordinatensystem zu berechnen.

1
Berechne das Volumen des Parallelotops, das
durch die Punkte $A (0 | 0 | 0)$ , $B (5 | 0 | 0)$ , $C (0 | 5 | 0)$ , $D (0 | 0 | 5)$ aufgespannt wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Parallelotops
Berechne zuerst die Vektoren $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ und $\vec{AD}$ .
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 0 \end{array})$
$\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array})$
Setze in die Formel für das Volumen eines Parallelotops ein: $V_{Parallelotop} = \det (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})$ .
Und benutze die Eigenschaften der Determinante einer Diagonalmatrix .
$V = | \det (\begin{array}{ccc} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}) |$
$= | 5 \cdot 5 \cdot 5 | = | 125 | = 125$
Hinweis: Das durch die Punkte $A$ , $B$ , $C$ und $D$ aufgespannte Parallelotop ist ein Würfel. Man hätte daher auch das Volumen mit der Formel $V_{W \ddot{u} r f e l} = a^{3}$ berechnen können, wobei $a$ die Seitenlänge des Würfels ist.

durch die Punkte $A (0 | 0 | 0)$ , $B (5 | 1 | 1)$ , $C (0 | 7 | 2)$ , $D (1 | 0 | 6)$ aufgespannt wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Parallelotops
Berechne zuerst die Vektoren $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ und $\vec{AD}$ .
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 1 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 7 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 7 \\ 2 \end{array})$
$\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 6 \end{array})$
Setze in die Formel für das Volumen eines Parallelotops ein: $V_{Parallelotop} = | \det (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) |$ .
$V = | \det (\begin{array}{ccc} 5 & 0 & 1 \\ 1 & 7 & 0 \\ 1 & 2 & 6 \end{array}) |$
Benutze nun die Laplacesche Entwicklung nach 2. Spalte und berechne die daraus entstehenden $2 \times 2 - Matrizen$ mit Hilfe der Formel $\det (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) = ad - bc$ .
$V = | \det (\begin{array}{ccc} 5 & 0 & 1 \\ 1 & 7 & 0 \\ 1 & 2 & 6 \end{array}) | = | 0 \cdot (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 6 \end{array}) + 7 \cdot (\begin{array}{cc} 5 & 1 \\ 1 & 6 \end{array}) - 2 \cdot (\begin{array}{cc} 5 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) |$
$= | 7 \cdot (30 - 1) - 2 \cdot (- 1) |$
$= | 203 + 2 | = | 205 | = 205$

durch die Punkte $A (1 | 1 | 1)$ , $B (3 | 1 | 1)$ , $C (1 | 3 | 1)$ , $D (1 | 1 | 3)$ aufgespannt wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Parallelotops
Berechne zuerst die Vektoren $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ und $\vec{AD}$ .
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
$\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array})$
Setze in die Formel für das Volumen eines Parallelotops ein: $V_{Parallelotop} = \det (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})$ .
Benutze die Eigenschaften der Determinante einer Diagonalmatrix .
$V = | \det (\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}) |$
$= | 2 \cdot 2 \cdot 2 | = | 8 | = 8$
Hinweis: Das durch die Punkte $A$ , $B$ , $C$ und $D$ aufgespannte Parallelotop ist ein Würfel . Man hätte daher auch das Volumen mit der Formel $V_{W \ddot{u} r f e l} = a^{3}$ berechnen können, wobei $a$ die Seitenlänge des Würfels ist.

durch die Punkte $A (2 | 2 | 1)$ , $B (4 | 0 | 0)$ , $C (0 | 4 | 0)$ , $D (0 | 0 | 5)$ aufgespannt wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Parallelotops
Berechne zuerst die Vektoren $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ und $\vec{AD}$ .
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$
$\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 4 \end{array})$
Setze in die Formel für das Volumen eines Parallelotops ein: $V_{Parallelotop} = \det (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})$ .
Wende die Regel von Sarrus an.
$V = | \det (\begin{array}{ccc} 2 & - 2 & - 2 \\ - 2 & 2 & - 2 \\ - 1 & - 1 & 4 \end{array}) |$
$= | 16 - 4 - 4 - 4 - 4 - 16 | = | - 16 | = 16$

durch die Punkte $A (- 2 | - 3 | - 1)$ , $B (- 5 | 3 | 0)$ , $C (1 | 4 | 2)$ , $D (- 2 | 3 | 3)$ aufgespannt wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Parallelotops
Eine Skizze zu zeichnen ist hier vergleichsweise schwierig, das Volumen des Parallelotops lässt sich jedoch einfach berechnen.
Berechne zuerst die Vektoren $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ und $\vec{AD}$ .
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 3 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ 3 \end{array})$
$\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array})$
Setze in die Formel für das Volumen eines Parallelotops ein: $V_{Parallelotop} = \det (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})$ .
Nutze dann die Laplacesche Entwicklung nach 3. Spalte und berechne dann die $2 \times 2 - Matrix$ mit Hilfe der Formel $\det (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) = ad - bc$
$V = | \det (\begin{array}{ccc} - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 1 & 3 & 4 \end{array}) |$
$= | 0 \cdot (\begin{array}{cc} 0 & 7 \\ 1 & 3 \end{array}) - 0 \cdot (\begin{array}{cc} - 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array}) + 4 \cdot (\begin{array}{cc} - 3 & 3 \\ 0 & 7 \end{array}) |$
$= | 4 \cdot (- 21) | = | - 84 | = 84$
2
Berechne das Volumen des Tetraeders, das
durch die Eckpunkte $A (0 | 0 | 0)$ , $B (6 | 0 | 0)$ , $C (0 | 6 | 0)$ , $D (0 | 0 | 6)$ gegeben ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Tetraeders
Berechne die Vektoren $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ , $\vec{AD}$ .
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array})$
$\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array})$
Setze in die Formel für das Volumen eines Tetraeders ein: $V_{Tetraeder} = \frac{1}{6} \cdot \det (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})$
$V = \frac{1}{6} \cdot | \begin{array}{ccc} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{array} |$
Benutze nun die Eigenschaften der Determinante einer Diagonalmatrix .
$V = \frac{1}{6} \cdot | \begin{array}{ccc} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{array} | = \frac{1}{6} \cdot | 6 \cdot 6 \cdot 6 | = \frac{1}{6} \cdot | 216 | = 36$

durch die Eckpunkte $A (- 2 | - 2 | 0)$ , $B (- 2 | 2 | 0)$ , $C (- 1 | 5 | 0)$ , $D (0 | - 3 | 3)$ gegeben ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Tetraeders
Berechne die Vektoren $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ , $\vec{AD}$ .
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 5 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 7 \\ 0 \end{array})$
$\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$
Setze in die Formel für das Volumen eines Tetraeders ein: $V_{Tetraeder} = \frac{1}{6} \cdot \det (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})$
$V = \frac{1}{6} \cdot | \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\ 4 & 7 & - 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} |$
Verwende die Laplacesche Entwicklung nach der 1. Spalte und benutze die Eigenschaften der Determinante einer oberen Dreiecksmatrix .
$V = \frac{1}{6} \cdot | \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\ 4 & 7 & - 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} |$ $= \frac{1}{6} \cdot | 0 \cdot (\begin{array}{cc} 7 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array}) - 4 \cdot (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{array}) + 0 \cdot (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 7 & - 1 \end{array}) |$
$= \frac{1}{6} \cdot | - 4 \cdot (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{array}) |$
$= \frac{1}{6} \cdot | - 4 \cdot 3 |$
$= \frac{1}{6} \cdot | - 12 | = \frac{12}{6} = 2$

durch die Eckpunkte $A (- 3 | - 4 | - 1)$ , $B (- 4 | - 1 | - 3)$ , $C (- 1 | - 3 | - 4)$ , $D (- 2 | - 1 | 0)$ gegeben ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Tetraeders
Berechne die Vektoren $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ , $\vec{AD}$ .
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 4 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 3 \\ - 4 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 3 \\ - 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 3 \\ - 4 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array})$
$\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 3 \\ - 4 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array})$
Setze in die Formel für das Volumen eines Tetraeders ein: $V_{Tetraeder} = \frac{1}{6} \cdot \det (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})$ und wende die Regel von Sarrus an.
$V = \frac{1}{6} \cdot | \begin{array}{ccc} - 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \\ - 2 & - 3 & 1 \end{array} |$
$= \frac{1}{6} \cdot | - 1 - 12 - 9 + 2 - 9 - 6 |$
$= \frac{1}{6} \cdot | - 35 | = \frac{35}{6}$

durch die Eckpunkte $A (4 | 1 | 0)$ , $B (4 | 6 | - 1)$ , $C (0 | 4 | - 1)$ , $D (5 | 5 | - 2,5)$ gegeben ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Tetraeders
Berechne die Vektoren $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ , $\vec{AD}$ .
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ - 1 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ 3 \\ - 1 \end{array})$
$\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 5 \\ 5 \\ - 2,5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 2,5 \end{array})$
Setze in die Formel für das Volumen eines Tetraeders ein: $V_{Tetraeder} = \frac{1}{6} \cdot \det (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})$
$V = \frac{1}{6} \cdot | \begin{array}{ccc} 0 & - 4 & 1 \\ 5 & 3 & 4 \\ - 1 & - 1 & - 2,5 \end{array} |$
Wende die Laplacesche Entwicklung nach der 1. Spalte an.
Berechne dann die $2 \times 2 - Matrizen$ mit Hilfe der Formel $\det (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) = ad - bc$ .
$V = \frac{1}{6} \cdot | \begin{array}{ccc} 0 & - 4 & 1 \\ 5 & 3 & 4 \\ - 1 & - 1 & - 2,5 \end{array} |$ $= \frac{1}{6} \cdot | 0 \cdot (\begin{array}{cc} 3 & 4 \\ - 1 & - 2,5 \end{array}) - 5 \cdot (\begin{array}{cc} - 4 & 1 \\ - 1 & - 2,5 \end{array}) + (- 1) \cdot (\begin{array}{cc} - 4 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}) |$
$= \frac{1}{6} \cdot | - 5 \cdot (10 + 1) + (- 1) \cdot (- 16 - 3) |$
$= \frac{1}{6} \cdot | - 55 + 19 |$
$= \frac{1}{6} \cdot | - 36 | = 6$
3
Berechne das Volumen der Pyramide, die
durch die Eckpunkte $A (0 | 0 | 0)$ , $B (6 | 0 | 0)$ , $C (0 | 6 | 0)$ , $D (6 | 6 | 0)$ und die Spitze $S (3 | 3 | 6)$ gegeben ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Berechne zuerst die Vektoren $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ und $\vec{AS}$ .
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array})$
$\vec{AS} = \vec{S} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 6 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 6 \end{array})$
Setze in die Formel für das Volumen einer Pyramide ein: $V_{Pyramide} = \frac{1}{3} \cdot \det (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})$ .
$V = \frac{1}{3} \cdot | \det (\begin{array}{ccc} 6 & 0 & 3 \\ 0 & 6 & 3 \\ 0 & 0 & 6 \end{array}) |$
Benutze die Eigenschaften der Determinante einer oberen Dreiecksmatrix .
$\begin{array}{l} V = \frac{1}{3} \cdot | \det (\begin{array}{ccc} 6 & 0 & 3 \\ 0 & 6 & 3 \\ 0 & 0 & 6 \end{array}) | \\ = \frac{1}{3} \cdot | 6 \cdot 6 \cdot 6 | \\ = \frac{1}{3} \cdot | 216 | \\ = 72 \end{array}$

durch die Eckpunkte $A (0 | 0 | 1)$ , $B (- 4 | - 1 | - 1)$ , $C (- 2 | 6 | 1)$ , $D (- 6 | 5 | - 1)$ und die Spitze $S (- 3 | - 1 | - 4)$ gegeben ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Für das Volumen einer Pyramide mit einem Parallelogramm als Grundfläche gibt es diese Formel:
$V_{Pyramide} = \frac{1}{3} \cdot | \det (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AS}) |$

Um sie anwenden zu können musst du aber erst zeigen, dass die Grundfläche ein Parallelogramm ist.
Berechne dazu die Vektoren $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ , $\vec{BD}$ , $\vec{CD}$ und $\vec{AS}$ .
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 4 \\ - 1 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 6 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ 6 \\ 0 \end{array})$
$\vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} = (\begin{array}{c} - 6 \\ 5 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 4 \\ - 1 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ 6 \\ 0 \end{array})$
$\vec{CD} = \vec{D} - \vec{C} = (\begin{array}{c} - 6 \\ 5 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ 6 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})$
Du siehst, dass mit $\vec{AB}$ und $\vec{CD}$ , sowie $\vec{AC}$ und $\vec{BD}$ jeweils Vektoren gegenüberliegender Seiten gleich sind. Deshalb sind diese Seiten parallel und die Grundfläche ist ein Parallelogramm.
$\vec{AS} = \vec{S} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 1 \\ - 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 1 \\ - 5 \end{array})$
Setze in die Formel für das Volumen einer Pyramide ein: $V_{Pyramide} = \frac{1}{3} \cdot | \det (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AS}) |$ .
$V = \frac{1}{3} \cdot | \det (\begin{array}{ccc} - 4 & - 2 & - 3 \\ - 1 & 6 & - 1 \\ - 2 & 0 & - 5 \end{array}) |$
Berechne die Determinante mit der Laplace-schen Entwicklung nach 2. Spalte.
$\begin{array}{l} V = \frac{1}{3} \cdot | \det (\begin{array}{ccc} - 4 & - 2 & - 3 \\ - 1 & 6 & - 1 \\ - 2 & 0 & - 5 \end{array}) | \\ = \frac{1}{3} \cdot | - (- 2) \cdot (\begin{array}{cc} - 1 & - 1 \\ - 2 & - 5 \end{array}) + 6 \cdot (\begin{array}{cc} - 4 & - 3 \\ - 2 & - 5 \end{array}) - 0 \cdot (\begin{array}{cc} - 4 & - 3 \\ - 1 & - 1 \end{array}) | \end{array}$
Berechne die $2 \times 2 - Matrizen$ mit Hilfe der Formel $\det (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) = ad - bc$ .
$V = . . . = \frac{1}{3} \cdot | 2 \cdot (5 - 2) + 6 \cdot (20 - 6) |$
$= \frac{1}{3} \cdot | 6 + 84 | = \frac{90}{3} = 30$
4
Ein Tetraeder hat eine Grundfläche, die durch die Eckpunkte $A (0 | 0 | 0)$ , $B (6 | 0 | 0)$ und $C (0 | 6 | 0)$ festgelegt ist. Die Spitze $S$ liegt mittig über $\vec{AB}$ .
Bestimme mögliche Koordinaten von $S$ so, dass das Volumen des Tetraeders $A B C S$ genau $51$ Volumeneinheiten ( $VE$ ) beträgt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung in der analytischen Geometrie
Gegeben:
$A (0 | 0 | 0)$ , $B (6 | 0 | 0)$ , $C (0 | 6 | 0)$
$V = 51 VE$
Überlege dir die Volumenformel.
Das Volumen kannst du mit der elementargeometrischen Formel $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ rechnen.
Vektoriell kannst du das Volumen auch über diese Formel bestimmen:
$V = \frac{1}{6} | \vec{A S} \circ [\vec{A B} \times \vec{A C}] |$
Da du bisher nicht viele Informationen über den Punkt S hast, verwendest du am Besten die elementargeometrische Formel.
Grundfläche G berechnen
$G = A_{D r e i e c k} = \frac{1}{2} | \vec{A B} \times \vec{A C} |$
Bestimme zunächst die Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A C}$ .
$\vec{A B} = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
$\vec{A C} = (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array})$
Setze in die Formel ein.
$A_{D r e i e c k}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot | (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}) |$
↓
Berechne zuerst das Kreuzprodukt.
$=$ $\frac{1}{2} \cdot | (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 36 \end{array}) |$
↓
Berechne dann den Betrag des Vektors.
$=$ $\frac{1}{2} \cdot | \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 36^{2}} |$
$=$ $18$
Jetzt hast du die Grundfläche der Pyramide!
Setze das gegebene Volumen und die Grundfläche ein.
Berechnung der Höhe
Löse die elementargeometrische Volumenformel nach $h$ auf.
$V$ $=$ $\frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ $\cdot 3$
$3 V$ $=$ $G \cdot h$ $: G$
$\frac{3 V}{G}$ $=$ $h$
Setze das gegebene Volumen und die zuvor berechnete Grundfläche ein.
$h$ $=$ $\frac{3 V}{G}$
↓
Setze $V = 51 VE$ und $G = A_{Dreieck} = 18$ ein.
$=$ $\frac{3 \cdot 51}{18}$
$=$ $8,5$
Bestimmen der Koordinaten von S
Bestimme den Höhenfußpunkt $M$ . Du weißt aus der Angabe, das die Spitze mittig über $\vec{A B}$ liegt.
Berechne den Mittelpunkt $\vec{M}$ der Strecke $A B$ .
$A (0 | 0 | 0)$ , $B (6 | 0 | 0)$
$\vec{M}$ $=$ $\frac{1}{2} (\vec{A} + \vec{B})$
↓
Setze die Punkte $A$ und $B$ ein.
$=$ $\frac{1}{2} [(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array})]$
$=$ $(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
Bringe den Höhenvektor auf die richtige Länge
Das Vektorprodukt liefert dir nicht nur eine Fläche, sondern auch einen Vektor, der auf beide Vektoren der Grundfläche senkrecht steht. Diese Eigenschaft muss die Höhe haben!
Allerdings hat der Vektor $\vec{h} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 36 \end{array})$ noch nicht die richtige Länge!
Im Moment hat er die Länge $36 L E$ , wir wollen nur $8,5 L E$ .
Teile dafür durch die aktuelle Länge und multipliziere mit der gewünschten Länge.
$\vec{h} = \frac{8,5}{36} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 36 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 8,5 \end{array})$
Setze den Vektor $\vec{h}$ an den Punkt $M$
$\vec{S}$ $=$ $\vec{M} + \vec{h}$
$=$ $(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 8,5 \end{array})$
$=$ $(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 8,5 \end{array})$

Welcher weitere Punkt $S$ erfüllt die Vorgabe, dass der Tetraeder ein Volumen von $51 V E$ hat und $M$ als Höhenfußpunkt besitzt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung in der analytischen Geometrie
Versuche dir die Situation erst vorzustellen:
Die Spitze des fertigen Tetraeders liegt über der Grundfläche $A B C$ .
Man bekommt das gleiche Volumen, wenn man vom Punkt $M$ aus nach unten statt nach oben geht.
$\begin{array}{rcl} \vec{S_{2}} & = & \vec{M} - \vec{h} \\ = & (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 8,5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 8,5 \end{array}) \end{array}$
zusätzliche Visualisierung

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$A_{D r e i e c k}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot \| (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}) \|$
	↓	Berechne zuerst das Kreuzprodukt.
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot \| (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 36 \end{array}) \|$
	↓	Berechne dann den Betrag des Vektors.
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot \| \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 36^{2}} \|$
	$=$	$18$

$V$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot G \cdot h$	$\cdot 3$
$3 V$	$=$	$G \cdot h$	$: G$
$\frac{3 V}{G}$	$=$	$h$

$h$	$=$	$\frac{3 V}{G}$
	↓	Setze $V = 51 VE$ und $G = A_{Dreieck} = 18$ ein.
	$=$	$\frac{3 \cdot 51}{18}$
	$=$	$8,5$

$\vec{M}$	$=$	$\frac{1}{2} (\vec{A} + \vec{B})$
	↓	Setze die Punkte $A$ und $B$ ein.
	$=$	$\frac{1}{2} [(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array})]$
	$=$	$(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array})$

$\vec{S}$	$=$	$\vec{M} + \vec{h}$
	$=$	$(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 8,5 \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 8,5 \end{array})$

Aufgaben zur Volumenberechnung

Grundfläche G berechnen

Berechnung der Höhe

Bestimmen der Koordinaten von S

Bestimme den Höhenfußpunkt M. Du weißt aus der Angabe, das die Spitze mittig über AB→ liegt.

Bringe den Höhenvektor auf die richtige Länge

Setze den Vektor h→ an den Punkt M

zusätzliche Visualisierung

Bestimme den Höhenfußpunkt $M$ . Du weißt aus der Angabe, das die Spitze mittig über $\vec{A B}$ liegt.

Setze den Vektor $\vec{h}$ an den Punkt $M$