Aufgaben zur Volumenberechnung

Berechne das Volumen des Parallelotops, das

durch die Punkte $A (0 | 0 | 0)$ , $B (5 | 0 | 0)$ , $C (0 | 5 | 0)$ , $D (0 | 0 | 5)$ aufgespannt wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Parallelotops
Berechne zuerst die Vektoren $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ und $\vec{AD}$ .
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 0 \end{array})$
$\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array})$
Setze in die Formel für das Volumen eines Parallelotops ein: $V_{Parallelotop} = \det (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})$ .
Und benutze die Eigenschaften der Determinante einer Diagonalmatrix .
$V = | \det (\begin{array}{ccc} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}) |$
$= | 5 \cdot 5 \cdot 5 | = | 125 | = 125$
Hinweis: Das durch die Punkte $A$ , $B$ , $C$ und $D$ aufgespannte Parallelotop ist ein Würfel. Man hätte daher auch das Volumen mit der Formel $V_{W \ddot{u} r f e l} = a^{3}$ berechnen können, wobei $a$ die Seitenlänge des Würfels ist.
durch die Punkte $A (0 | 0 | 0)$ , $B (5 | 1 | 1)$ , $C (0 | 7 | 2)$ , $D (1 | 0 | 6)$ aufgespannt wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Parallelotops
Berechne zuerst die Vektoren $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ und $\vec{AD}$ .
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 1 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 7 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 7 \\ 2 \end{array})$
$\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 6 \end{array})$
Setze in die Formel für das Volumen eines Parallelotops ein: $V_{Parallelotop} = | \det (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) |$ .
$V = | \det (\begin{array}{ccc} 5 & 0 & 1 \\ 1 & 7 & 0 \\ 1 & 2 & 6 \end{array}) |$
Benutze nun die Laplacesche Entwicklung nach 2. Spalte und berechne die daraus entstehenden $2 \times 2 - Matrizen$ mit Hilfe der Formel $\det (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) = ad - bc$ .
$V = | \det (\begin{array}{ccc} 5 & 0 & 1 \\ 1 & 7 & 0 \\ 1 & 2 & 6 \end{array}) | = | 0 \cdot (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 6 \end{array}) + 7 \cdot (\begin{array}{cc} 5 & 1 \\ 1 & 6 \end{array}) - 2 \cdot (\begin{array}{cc} 5 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) |$
$= | 7 \cdot (30 - 1) - 2 \cdot (- 1) |$
$= | 203 + 2 | = | 205 | = 205$
durch die Punkte $A (1 | 1 | 1)$ , $B (3 | 1 | 1)$ , $C (1 | 3 | 1)$ , $D (1 | 1 | 3)$ aufgespannt wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Parallelotops
Berechne zuerst die Vektoren $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ und $\vec{AD}$ .
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
$\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array})$
Setze in die Formel für das Volumen eines Parallelotops ein: $V_{Parallelotop} = \det (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})$ .
Benutze die Eigenschaften der Determinante einer Diagonalmatrix .
$V = | \det (\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}) |$
$= | 2 \cdot 2 \cdot 2 | = | 8 | = 8$
Hinweis: Das durch die Punkte $A$ , $B$ , $C$ und $D$ aufgespannte Parallelotop ist ein Würfel . Man hätte daher auch das Volumen mit der Formel $V_{W \ddot{u} r f e l} = a^{3}$ berechnen können, wobei $a$ die Seitenlänge des Würfels ist.
durch die Punkte $A (2 | 2 | 1)$ , $B (4 | 0 | 0)$ , $C (0 | 4 | 0)$ , $D (0 | 0 | 5)$ aufgespannt wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Parallelotops
Berechne zuerst die Vektoren $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ und $\vec{AD}$ .
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$
$\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 4 \end{array})$
Setze in die Formel für das Volumen eines Parallelotops ein: $V_{Parallelotop} = \det (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})$ .
Wende die Regel von Sarrus an.
$V = | \det (\begin{array}{ccc} 2 & - 2 & - 2 \\ - 2 & 2 & - 2 \\ - 1 & - 1 & 4 \end{array}) |$
$= | 16 - 4 - 4 - 4 - 4 - 16 | = | - 16 | = 16$
durch die Punkte $A (- 2 | - 3 | - 1)$ , $B (- 5 | 3 | 0)$ , $C (1 | 4 | 2)$ , $D (- 2 | 3 | 3)$ aufgespannt wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Parallelotops
Eine Skizze zu zeichnen ist hier vergleichsweise schwierig, das Volumen des Parallelotops lässt sich jedoch einfach berechnen.
Berechne zuerst die Vektoren $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ und $\vec{AD}$ .
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 3 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ 3 \end{array})$
$\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array})$
Setze in die Formel für das Volumen eines Parallelotops ein: $V_{Parallelotop} = \det (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})$ .
Nutze dann die Laplacesche Entwicklung nach 3. Spalte und berechne dann die $2 \times 2 - Matrix$ mit Hilfe der Formel $\det (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) = ad - bc$
$V = | \det (\begin{array}{ccc} - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 1 & 3 & 4 \end{array}) |$
$= | 0 \cdot (\begin{array}{cc} 0 & 7 \\ 1 & 3 \end{array}) - 0 \cdot (\begin{array}{cc} - 3 & 3 \\ 1 & 3 \end{array}) + 4 \cdot (\begin{array}{cc} - 3 & 3 \\ 0 & 7 \end{array}) |$
$= | 4 \cdot (- 21) | = | - 84 | = 84$

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