Aufgaben zur Volumenberechnung

Berechne zuerst die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AS}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{C}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 0\end{array}\right)$

$\overrightarrow{\mathrm{AS}}=\overrightarrow{\mathrm{S}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 6\end{array}\right)$

Setze in die Formel für das Volumen einer Pyramide ein:  ${\mathrm{V}}_{\mathrm{Pyramide}}=\frac{1}{3}\cdot \det (\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}})$.

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}\cdot \left|\det \left(\begin{array}{ccc}6& 0& 3\\ 0& 6& 3\\ 0& 0& 6\end{array}\right)\right|$

Benutze die Eigenschaften der Determinante einer oberen Dreiecksmatrix .

$\begin{array}{l}\mathrm{V}=\frac{1}{3}\cdot \left|\det \left(\begin{array}{ccc}6& 0& 3\\ 0& 6& 3\\ 0& 0& 6\end{array}\right)\right|\\ =\frac{1}{3}\cdot |6\cdot 6\cdot 6|\\ =\frac{1}{3}\cdot \left|216\right|\\ =72\end{array}$

Berechne dazu die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ , $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{BD}}$, $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AS}}$.

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ -2\end{array}\right)$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{C}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 0\end{array}\right)$

$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\overrightarrow{\mathrm{D}}-\overrightarrow{\mathrm{B}}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 5\\ -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 0\end{array}\right)$

$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{\mathrm{D}}-\overrightarrow{\mathrm{C}}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 5\\ -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ -2\end{array}\right)$

$\overrightarrow{\mathrm{AS}}=\overrightarrow{\mathrm{S}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -5\end{array}\right)$

Setze in die Formel für das Volumen einer Pyramide ein:  ${\mathrm{V}}_{\mathrm{Pyramide}}=\frac{1}{3}\cdot \left|\det (\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AS}})\right|$.

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}\cdot \left|\det \left(\begin{array}{ccc}-4& -2& -3\\ -1& 6& -1\\ -2& 0& -5\end{array}\right)\right|$

Berechne die Determinante mit der Laplace-schen Entwicklung nach 2. Spalte.

$\begin{array}{l}\mathrm{V}=\frac{1}{3}\cdot \left|\det \left(\begin{array}{ccc}-4& -2& -3\\ -1& 6& -1\\ -2& 0& -5\end{array}\right)\right|\\ =\frac{1}{3}\cdot |-(-2)\cdot \left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -2& -5\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{cc}-4& -3\\ -2& -5\end{array}\right)-0\cdot \left(\begin{array}{cc}-4& -3\\ -1& -1\end{array}\right)|\end{array}$

Berechne die $2\times 2-\mathrm{Matrizen}$ mit Hilfe der Formel  $\det \left(\begin{array}{cc}\mathrm{a}& \mathrm{b}\\ \mathrm{c}& \mathrm{d}\end{array}\right)=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}$.

$V=...=\frac{1}{3}\cdot |2\cdot (5-2)+6\cdot (20-6)|$

$=\frac{1}{3}\cdot |6+84|=\frac{90}{3}=30$