Aufgaben zur Umwandlung der Ebenendarstellung

Lerne mit diesen Aufgaben, die Darstellungsformen von Ebenen umzuwandeln. Schaffst du sie alle?

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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Wandle die folgenden Ebenen von Parameterform in Normalenform um.
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
$\vec{n} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ - 1 \\ - 4 \end{array})$
Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})$ als Aufpunkt der Ebene.
$E : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0$
Setze $\vec{n}$ und $\vec{a}$ ein.
$E : (\begin{array}{c} 6 \\ - 1 \\ - 4 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})] = 0$

$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ - 7 \\ 2 \end{array})$
Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array})$ als Aufpunkt der Ebene.
$E : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0$
$E : (\begin{array}{c} 4 \\ - 7 \\ 2 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array})] = 0$

$E : \vec{x} = λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 6 \\ - 3 \\ 2 \end{array})$
Wähle den Punkt Koordinatenursprung als Aufpunkt der Ebene.
$E : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{0}] = 0$
$E : (\begin{array}{c} - 6 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array})] = 0$
$\Leftrightarrow E : (\begin{array}{c} - 6 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = 0$

$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$
Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$ als Aufpunkt der Ebene.
$E : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0$
Setze $\vec{n}$ und $\vec{a}$ ein.
$E : (\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array})] = 0$

$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
$\vec{n} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 4 \end{array})$
Klammere $\frac{1}{4}$ aus, um einen möglichst einfachen Normalenvektor zu erhalten.
$\Rightarrow \vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$
Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array})$ als Aufpunkt der Ebene.
$E : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0$
Setze $\vec{n}$ und $\vec{a}$ ein.
$E : (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array})] = 0$

$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
(Hinweis: Die Ebene ist parallel zur $x_{1} x_{3} - Ebene$ )
$\vec{n}$ $=$ $(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})$
$=$ $(\begin{array}{c} 0 \\ - 7 \\ 0 \end{array})$
$=$
Klammere $- 7$ aus, um einen möglichst einfachen Normalenvektor zu erhalten.
$\Rightarrow \vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})$
Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array})$ als Aufpunkt der Ebene.
$E : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0$
Setze $\vec{n}$ und $\vec{a}$ ein.
$E : (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array})] = 0$

$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 40 \\ 80 \\ 0 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 20 \\ - 20 \\ 10 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 15 \\ 10 \\ 20 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als
Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
$\vec{n} = (\begin{array}{c} - 20 \\ - 20 \\ 10 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 15 \\ 10 \\ 20 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 500 \\ 550 \\ 100 \end{array})$
Klammere $50$ aus, um einen möglichst einfachen Normalenvektor zu erhalten.
$\Rightarrow \vec{n} = (\begin{array}{c} - 10 \\ 11 \\ 2 \end{array})$
Alternative: Meistens ist es einfacher, zuerst die
Richtungsvektoren der Ebene zu vereinfachen
und dann erst das Kreuzprodukt zu berechnen.
Klammere im ersten Richtungsvektor $10$ und im zweiten Richtungsvektor $5$ aus.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 10 \\ 11 \\ 2 \end{array})$
Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a} = (\begin{array}{c} 40 \\ 80 \\ 0 \end{array})$
als Aufpunkt der Ebene.
$E : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0$
Setze $\vec{n}$ und $\vec{a}$ ein.
$E : (\begin{array}{c} - 10 \\ 11 \\ 2 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 40 \\ 80 \\ 0 \end{array})] = 0$
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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Wandle die folgenden Ebenen von Normalenform in Koordinatenform um.
$E : (\begin{array}{c} 6 \\ - 1 \\ - 4 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})] = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Musterbeispiel
$E : (\begin{array}{c} 6 \\ - 1 \\ - 4 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})] = 0$
Multipliziere die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes aus und berechne das Skalarprodukt.
$E : 6 x_{1} - 6 - x_{2} - 4 x_{3} + 12 = 0$
Fasse zusammen.
$E : 6 x_{1} - x_{2} - 4 x_{3} + 6 = 0$

$E : (\begin{array}{c} 4 \\ - 7 \\ 2 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array})] = 0$

$E : (\begin{array}{c} 4 \\ - 7 \\ 2 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array})] = 0$
Berechne zunächst das Skalarprodukt :
$E : 4 \cdot x_{1} + (- 7) \cdot (x_{2} - 1) + 2 \cdot (x_{3} - 2) = 0$
Multipliziere nun die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes aus:
$E : 4 x_{1} - 7 x_{2} + 7 + 2 x_{3} - 4 = 0$
Fasse zusammen:
$E : 4 x_{1} - 7 x_{2} + 2 x_{3} + 3 = 0$

$E : (\begin{array}{c} - 6 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = 0$

$E : (\begin{array}{c} - 6 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = 0$
Der zweite Faktor enthält keine Differenz. Berechne daher nur das Skalarprodukt :
$E : - 6 x_{1} - 3 x_{2} + 2 x_{3} = 0 | \cdot (- 1)$
$E : 6 x_{1} + 3 x_{2} - 2 x_{3} = 0$

$E : (\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array})] = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Musterbeispiel
$E : (\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array})] = 0$
Berechne das Skalarprodukt :
$E : - 4 \cdot (x_{1} - 1) + (- 2) \cdot (x_{2} - 1) + 1 \cdot (x_{3} + 1) = 0$
Multipliziere die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes aus:
$E : - 4 x_{1} + 4 - 2 x_{2} + 2 + x_{3} + 1 = 0$
Fasse zusammen:
$E : - 4 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + 7 = 0$

$E : (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array})] = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Musterbeispiel
$E : (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array})] = 0$
Berechne das Skalarprodukt :
$E : 1 \cdot (x_{1} - 3) + (- 1) \cdot (x_{3} - 2) = 0$
Multipliziere die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes aus:
$E : x_{1} - 3 - x_{3} + 2 = 0$
Fasse zusammen:
$E : x_{1} - x_{3} - 1 = 0$

$E : (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array})] = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Musterbeispiel
$E : (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array})] = 0$
Berechne das Skalarprodukt :
$E : 1 \cdot (x_{2} - 2) = 0$
$E : x_{2} - 2 = 0$
(Hinweis: Die Ebene ist parallel zur $x_{1} - x_{3} - Ebene$ )

$E : (\begin{array}{c} - 500 \\ 550 \\ 100 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 40 \\ 80 \\ 0 \end{array})] = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Musterbeispiel
$E : (\begin{array}{c} - 500 \\ 550 \\ 100 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 40 \\ 80 \\ 0 \end{array})] = 0$
Berechne das Skalarprodukt .
$E : - 500 \cdot (x_{1} - 40) + 550 \cdot (x_{2} - 80) + 100 \cdot x_{3} = 0$
Multipliziere die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes aus.
$E : - 500 x_{1} + 20000 + 550 x_{2} - 44000 + 100 x_{3} = 0$
Fasse zusammen.
$E : - 500 x_{1} + 550 x_{2} + 100 x_{3} - 24000 = 0$
Um die Gleichung noch zu vereinfachen, kann man sie auf beide Seiten durch $50$ dividieren.
$E : - 10 x_{1} + 11 x_{2} + 2 x_{3} - 480 = 0$
Alternative Lösung:
Meistens ist es einfacher, zuerst den Normalenvektor der Ebene zu vereinfachen und dann erst das Skalarprodukt zu berechnen.
Klammere $50$ im Normalenvektor aus, teile durch $50$ und berechne dann das Skalarprodukt:
$E : (\begin{array}{c} - 10 \\ 11 \\ 22 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 40 \\ 80 \\ 0 \end{array})] = 0$
Multipliziere die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes aus:
$E : - 10 \cdot (x_{1} - 40) + 11 \cdot (x_{2} - 80) + 2 \cdot x_{3} = 0_{}^{}$
Multipliziere die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes aus:
$E : - 10 x_{1} + 400 + 11 x_{2} - 880 + 2 x_{3} = 0$
Fasse zusammen.
$E : - 10 x_{1} + 11 x_{2} + 2 x_{3} - 480 = 0$
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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Wandle die folgenden Ebenen von Koordinatenform in Parameterform um.
$E : 2 x_{1} - x_{2} + 3 x_{3} - 5 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenendarstellung
Löse die Ebenengleichung nach $x_{3}$ auf:
$x_{3} = - \frac{2}{3} x_{1} + \frac{1}{3} x_{2} + \frac{5}{3}$
Ersetze $x_{1}$ durch $λ$ und $x_{2}$ durch $μ$ .
$x_{3} = - \frac{2}{3} λ + \frac{1}{3} μ + \frac{5}{3}$
Schreibe $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ passend übereinander.
$\begin{array}{l} x_{1} = 0 + 1 \cdot λ + 0 \cdot μ \\ x_{2} = 0 + 0 \cdot λ + 1 \cdot μ \\ x_{3} = \frac{5}{3} - \frac{2}{3} \cdot λ + \frac{1}{3} \cdot μ \end{array}$
Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \frac{5}{3} \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - \frac{2}{3} \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \frac{1}{3} \end{array})$
Die beiden Richtungsvektoren können noch mit $3$ multipliziert werden.
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \frac{5}{3} \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array})$

$E : - x_{1} + 2 x_{2} + 4 x_{3} = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenendarstellung
Löse die Ebenengleichung nach $x_{3}$ auf:
$x_{3} = \frac{1}{4} x_{1} - \frac{1}{2} x_{2}$
Ersetze $x_{1}$ durch $λ$ und $x_{2}$ durch $μ$ .
$x_{3} = \frac{1}{4} λ - \frac{1}{2} μ$
Schreibe $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ passend übereinander.
$\begin{array}{l} x_{1} = 0 + 1 \cdot λ + 0 \cdot μ \\ x_{2} = 0 + 0 \cdot λ + 1 \cdot μ \\ x_{3} = 0 + \frac{1}{4} \cdot λ - \frac{1}{2} \cdot μ \end{array}$
Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \frac{1}{4} \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - \frac{1}{2} \end{array})$
Die beiden Richtungsvektoren können noch mit $4$ bzw. $2$ multipliziert werden.
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$
$E : \vec{x} = λ \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$

$E : 3 x_{1} + 4 x_{3} - 5 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenendarstellung
Löse die Ebenengleichung nach $x_{3}$ auf:
$x_{3} = - \frac{3}{4} x_{1} + \frac{5}{4}$
Ersetze $x_{1}$ durch $λ$ und setze $x_{2} = μ$ .
$x_{3} = - \frac{3}{4} λ + \frac{5}{4}$
Schreibe $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ passend übereinander.
$\begin{array}{l} x_{1} = 0 + 1 \cdot λ + 0 \cdot μ \\ x_{2} = 0 + 0 \cdot λ + 1 \cdot μ \\ x_{3} = \frac{5}{4} - \frac{3}{4} \cdot λ + 0 \cdot μ \end{array}$
Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \frac{5}{4} \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - \frac{3}{4} \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})$
Die erste Richtungsvektor kann noch mit $4$ multipliziert werden.
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \frac{5}{4} \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})$

$E : 2 x_{1} + 3 x_{2} - 1 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenendarstellung
Die Ebenengleichung kann nicht nach $x_{3}$ aufgelöst werden. Löse deshalb nach $x_{2}$ auf:
$x_{2} = - \frac{2}{3} x_{1} + \frac{1}{3}$
Ersetze $x_{1}$ durch $λ$ und setze $x_{3} = μ$ .
$x_{2} = - \frac{2}{3} λ + \frac{1}{3}$
Schreibe $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ passend übereinander.
$\begin{array}{l} x_{1} = 0 + 1 \cdot λ + 0 \cdot μ \\ x_{2} = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} λ + 0 \cdot μ \\ x_{3} = 0 + 0 \cdot λ + 1 \cdot μ \end{array}$
Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ \frac{1}{3} \\ 0 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - \frac{2}{3} \\ 0 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
Die erste Richtungsvektor kann noch mit $3$ multipliziert werden.
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ \frac{1}{3} \\ 0 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 0 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$

$E : 2 x_{2} - 3 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenendarstellung
Die Ebenengleichung kann nicht nach $x_{3}$ aufgelöst werden. Löse deshalb nach $x_{2}$ auf:
$x_{2} = \frac{3}{2}$
Setze $x_{1} = λ$ und $x_{3} = μ$ und schreibe $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ passend übereinander.
$\begin{array}{l} x_{1} = 0 + 1 \cdot λ + 0 \cdot μ \\ x_{2} = \frac{3}{2} + 0 \cdot λ + 0 \cdot μ \\ x_{3} = 0 + 0 \cdot λ + 1 \cdot μ \end{array}$
Lese den Aufpunkt und die Richtungsvektoren ab.
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ \frac{3}{2} \\ 0 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$\vec{n}$	$=$	$(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} 0 \\ - 7 \\ 0 \end{array})$
	$=$