Aufgaben zur Umwandlung der Ebenendarstellung

Wandle die folgenden Ebenen von Parameterform in Normalenform um.

$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
$\vec{n} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ - 1 \\ - 4 \end{array})$
Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})$ als Aufpunkt der Ebene.
$E : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0$
Setze $\vec{n}$ und $\vec{a}$ ein.
$E : (\begin{array}{c} 6 \\ - 1 \\ - 4 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})] = 0$
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ - 7 \\ 2 \end{array})$
Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array})$ als Aufpunkt der Ebene.
$E : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0$
$E : (\begin{array}{c} 4 \\ - 7 \\ 2 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array})] = 0$
$E : \vec{x} = λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 6 \\ - 3 \\ 2 \end{array})$
Wähle den Punkt Koordinatenursprung als Aufpunkt der Ebene.
$E : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{0}] = 0$
$E : (\begin{array}{c} - 6 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array})] = 0$
$\Leftrightarrow E : (\begin{array}{c} - 6 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = 0$
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$
Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$ als Aufpunkt der Ebene.
$E : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0$
Setze $\vec{n}$ und $\vec{a}$ ein.
$E : (\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array})] = 0$
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
$\vec{n} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 4 \end{array})$
Klammere $\frac{1}{4}$ aus, um einen möglichst einfachen Normalenvektor zu erhalten.
$\Rightarrow \vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$
Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array})$ als Aufpunkt der Ebene.
$E : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0$
Setze $\vec{n}$ und $\vec{a}$ ein.
$E : (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array})] = 0$
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
(Hinweis: Die Ebene ist parallel zur $x_{1} x_{3} - Ebene$ )
$\vec{n}$ $=$ $(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})$
$=$ $(\begin{array}{c} 0 \\ - 7 \\ 0 \end{array})$
$=$
Klammere $- 7$ aus, um einen möglichst einfachen Normalenvektor zu erhalten.
$\Rightarrow \vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})$
Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array})$ als Aufpunkt der Ebene.
$E : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0$
Setze $\vec{n}$ und $\vec{a}$ ein.
$E : (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array})] = 0$
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 40 \\ 80 \\ 0 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 20 \\ - 20 \\ 10 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 15 \\ 10 \\ 20 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln
Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene als
Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
$\vec{n} = (\begin{array}{c} - 20 \\ - 20 \\ 10 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 15 \\ 10 \\ 20 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 500 \\ 550 \\ 100 \end{array})$
Klammere $50$ aus, um einen möglichst einfachen Normalenvektor zu erhalten.
$\Rightarrow \vec{n} = (\begin{array}{c} - 10 \\ 11 \\ 2 \end{array})$
Alternative: Meistens ist es einfacher, zuerst die
Richtungsvektoren der Ebene zu vereinfachen
und dann erst das Kreuzprodukt zu berechnen.
Klammere im ersten Richtungsvektor $10$ und im zweiten Richtungsvektor $5$ aus.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 10 \\ 11 \\ 2 \end{array})$
Wähle den Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a} = (\begin{array}{c} 40 \\ 80 \\ 0 \end{array})$
als Aufpunkt der Ebene.
$E : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0$
Setze $\vec{n}$ und $\vec{a}$ ein.
$E : (\begin{array}{c} - 10 \\ 11 \\ 2 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 40 \\ 80 \\ 0 \end{array})] = 0$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch → Was bedeutet das? serlo.org

$\vec{n}$	$=$	$(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} 0 \\ - 7 \\ 0 \end{array})$
	$=$